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1 Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml (versione ggiornt il 29 gennio 29) Integrli definiti. Vlor medio integrle Definizione.. Si f: [, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn sull intervllo [, b]. L quntità b si dice vlore medio integrle di f su [, b]. f(x) dx Osservzione.2. Se indicimo con µ il vlore medio di f su [, b], bbimo ce f(x) dx = µ(b ) = µ dx. Tle formul ci dice ce l integrle di f su [, b] coincide con l integrle dell funzione costnte g(x) := µ sempre su [, b]. Inoltre bbimo ce ( ) b f(x) µ dx = f(x) dx µ(b ) =. Geometricmente, questo ci dice ce sull intervllo [, b] l re dell porzione di pino ce st sopr l rett y = µ e sotto l curv del grfico y = f(x) è ugule ll re dell porzione di pino ce st sotto l rett y = µ e sopr l curv del grfico y = f(x). f(x) µ

2 Esercizio.3. Determin il vlore medio delle seguenti funzioni sugli intervlli indicti: f(x) = x, [, 2]; f(x) = x, [ 2, 2]; f(x) = (x) +, [, 2]; f(x) = (x) +, [ 2, 2]; f(x) = x, [, 3]; f(x) = x, [ 2, 2]; f(x) = x 2, [, 2]; f(x) = x 2, [ 2, 2]; f(x) = x x, [, 3]; f(x) = x x, [ 2, 2]. Teorem.4 (Teorem del vlor medio integrle). Se f: [, b] R è un funzione continu llor esiste (lmeno) un punto c [, b] in corrispondenz del qule l funzione ssume il suo vlor medio, ovvero f(c) = b f(x) dx. Dimostrzione. Sino m := min [,b] f e M := mx [,b] f il minimo e il mssimo dei vlori ce f ssume. (L esistenz del minimo e del mssimo è ssicurt dl teorem Weierstrss, essendo f continu.) Si inoltre µ := b b f(x) dx il vlor medio di f su [, b]. Integrndo le relzioni m f(x) M, x [, b], per l proprietà di monotoni dell integrle di Riemnn, segue ce m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ). Dividendo per b, ottenimo ce m µ M. Dunque il vlor medio è compreso tr il minimo e il mssimo dei vlori dell funzione. Per il teorem dei vlori intermedi per funzioni continue ne segue ce f ssume in qulce punto il vlore µ, ovvero esiste un punto c [, b] tle f(c) = µ. Osservzione.5. Se rimuovimo l ipotesi di continuità le conclusioni del teorem non sono più vlide. Si consideri d esempio l funzione discontinu f(x) := sgn(x) sull intervllo I := [, 2]. 2

3 Il vlore medio vle µ = 2 ( ) sgn(x) dx = ( ( ) dx + 3 ce è un vlore ce l funzione non ssume mi..2 Teorem fondmentle del clcolo ) dx = 3 ( + 2) = 3, Definizione.6. Si I un intervllo di R e si f: I R un funzione integrbile secondo Riemnn su ogni intervllo ciuso e limitto contenuto in I, si inoltre I. Cimimo funzione integrle di f di punto bse l funzione F : I R definit d F (x) := f(t) dt. L prim prte del teorem fondmentle del clcolo ci dice ce le funzioni integrli di funzioni continue sono primitive. Ovvero, trmite le funzioni integrli si possono costruire delle primitive. Teorem.7 (Teorem fondmentle del clcolo, prte A). Si I un intervllo di R e si f: I R un funzione continu, si inoltre I. Allor l funzione integrle F (x) := f(t) dt è un primitiv di f su I, ovvero F è derivbile e F (x) = f(x) per ogni punto x I. Dimostrzione. Per provre ce F è derivbile in un punto x I, clcolimo il rpporto F (x+) F (x) incrementle, qundo x+ I, e mostrimo ce esso come limite f(x) per. Per definizione di F, e per l proprietà di ddittività dell integrle di Riemnn, bbimo ce F (x + ) F (x) = ( + f(t) dt ) f(t) dt = + x f(t) dt. Osservimo ce l quntità destr non è ltro ce il vlore medio di f sull intervllo di estremi x e x +. Per ogni tle ce x + I, siccome f è continu, possimo 3

4 pplicre il teorem del vlor medio integrle, teorem.4, ce ci ssicur l esistenz di un punto c, compreso tr x ed x +, tle ce f(c ) coincid con il vlor medio di f sull intervllo di estremi x e x +. + x f(t) dt = f(c ). Inoltre bbimo ce lim c = x, essendo c compreso tr x ed x +. Dunque, utilizzndo ncor il ftto ce f è continu, per le proprietà dei limiti di funzioni composte ottenimo ce F (x + ) F (x) ( ) lim = lim f(c ) = f lim c = f(x). Questo prov ce F è derivbile in x e ce F (x) = f(x), ovvero F è primitiv di f. Esercizio.8. Determin le derivte delle seguenti funzioni: B(x) := D(x) := F (x) := H(x) := 2 x 3 (t 3 t 5 ) dt; C(x) := e t2 dt; e t2 dt; E(x) := x G(x) := x x 2 cos(t 4 ) dt; I(x) := 2 (t 3 t 5 ) dt; x cos(x) sin(x) (3 + 4t 5 ) dt; (3 + 4t 5 ) dt; dt + t 2. Esercizio.9. Spieg percé il seguente clcolo è sbglito: 2 [ dx x 4 = ] 2 3x 3 = ( 2) 3 = 2. L second prte del teorem fondmentle del clcolo ci dice ce trmite le primitive possimo clcolre gli integrli definiti di funzioni continue. Teorem. (Teorem fondmentle del clcolo, prte B). Si f: [, b] R un funzione continu e si F : [, b] R un su primitiv. Allor si ce f(x) dx = F (b) F (). 4

5 Dimostrzione. Considerimo l funzione integrle G(x) := f(t) dt. In prticolre bbimo G() = f(t) dt =, G(b) = f(x) dx. Siccome f è continu, come conseguenz dell prim prte del teorem fondmentle del clcolo, teorem.7, sppimo ce nce G è primitiv di f. Sppimo ce due primitive di un stess funzione su uno stesso intervllo differiscono per un costnte; dunque esisterà k inr tle ce F (x) = G(x) + k. Ne segue ce F (b) F () = ( G(b) + k ) ( G() + k ) = G(b) G() = f(x) dx = f(x) dx..3 Clcolo di integrli definiti Esercizio.. Clcol il vlore dei seguenti integrli definiti: sgn(x) dx, ( x + x + x + 2 ) dx, x sgn(x 2) dx. Esercizio.2. Servendoti dell regol di integrzione per prti clcol i seguenti integrli definiti π e e x cos(2x) dx, e log(x) x dx, ( ) 3 log(x) dx, rccos(x) dx. Esercizio.3. Clcol il vlore dei seguenti integrli definiti utilizzndo per i clcoli 5

6 le sostituzioni suggerite: 9 x x 2 dx, x 2 = t, dx e x + e x, x x dx, 4 x2 dx, 4 + x2 dx, x = log(t), x = t, x = 2 sin(t), x = 2 sin(t). Esercizio.4. Clcol, pplicndo il metodo di sostituzione i seguenti integrli: 4 / 2 (x + 2) sin(x 2 + 4x π) dx, x rcsin(x 2 ) x 4 dx, 2 x tn(2 x ) dx. Esercizio.5. Clcol il vlore medio delle seguenti funzioni sugli intervlli indicti: f(x) := rccos(x), I := [, ]; f(x) := 9 x 2, I := [, 3]; f(x) := cos(x) dx, I := [ π, π]. Esercizio.6. Determin due costnti k ed u, con u compres tr e, in modo ce per ogni polinomio cubico p(x) = x 3 + bx 2 + cx + d si bbi p(x) dx = k ( p( u) + p(u) ). 6

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