Integrazione per parti. II

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1 Integrzione per prti. II L regol di integrzione per prti f xgx dx [ f xgx] b f xg x dx f, g funzioni derivbili con funzione derivt continu su [, b], pplict ripetutmente, permette in prticolre di integrre le seguenti fmglie di funzioni. - Potenze d esponente numero nturle per esponenzile. L integrle di e x è e x dx [e x ] b ; l integrle di xe x si puo ricondurre ll integrle di e x in qunto xe x dx [xe x ] b e x dx regol pplict con f x e x e gx x; l integrle di x 2 e x si puo ricondurre ll integrle di xe x in qunto x 2 e x dx [x 2 e x ] b 2xe x dx regol pplict con f x e x e gx x 2 ;... Per ogni numero nturle positivo n, 2, 3,... l integrle di x n e x si puo ricondurre ll integrle di x n e x in qunto x n e x dx [x n e x ] b nx n e x dx. - Potenze d esponente rele per logritmo. L integrle di un funzione del tipo x log x, con, si puo ricondurre ll integrle di un funzione potenz in qunto [ x x + log x dx + log x regol pplict con f x x e gx log x. Inoltre, per si h x log x dx [ ] b ] log 2 b x. 2 x + + x dx

2 Integrzione per sostituzione Un ultimo metodo di integrzione è dto dll seguente Proposizione Si f : I R un funzione continu e si φ : [, β] I un funzione derivbile con funzione derivt continu. Allor φβ φ f x dx β f φu φ u du Esempio. Considerimo l integrle 4 e x dx L funzione integrnd è defnit e continu su R 0. Si h 4 e x dx β e φu φ u du, per ciscun funzione φ : [, β] R 0 derivbile con funzione derivt continu, tle che φ e φβ 4. Scelt l funzione φu u 2 e scelti i punti e β 2 si h 4 e x dx e u 2 2u du e u 2u du e u 2u du 2 [ue u e u ] 2 2e2. Esempio. In modo nlogo si può clcolre l integrle lo si lsci come compito l lettore. 0 e 3 x dx; Integrli generlizzti. II Di seguito considerimo integrli generlizzti, su intervlli del tipo [, + [ di funzioni potenz ed esponenzili.

3 Funzione potenz con esponente su [, + [. x dx x dx [ x + ] b + b Funzione potenz con esponente su [, + [. Funzione esponenzili su [0, + [. e x dx In generle, si h l seguente 0 x dx 0 { + se + < 0 cioè < + se > x dx [log x]b log b + [ e x e b e x dx ] b { se < 0 + se > 0 Proposizione 2 Si f : [, + [ R un funzione continu non negtiv su un intervllo chiuso inferiormente itto e superiormente ilitto. Allor: esiste l integrle generlizzto f x dx, ed è finito mggiore-ugule 0 o + ; 2 l integrle generlizzto f x dx è finito se e solo se l insieme degli integrli f x dx ottenuti l vrire di b, con b è superiormente itto; in tl cso, l integrle generlizzto è ugule ll estremo superiore degli integrli. Quest proposizione è un conseguenz del ftto che, sotto le ipotesi ftte, l funzione integrle I f, : [, + [ R è crescente Vlgono risultti nloghi per fun- Essendo f non negtiv su [, + [, per ogni x 2 x si h x2 x I f, x 2 I f, x f x dx f x dx x2 x2 f x dx + x f x dx 0 x f x dx

4 zioni non negtive su intervlli chiusi inferiormente ilitti e superiormente itti, o su intervlli itti contenenti uno solo dei due estremi. Un ltr primitiv elementre Si è visto che l funzione tngente con dominio ristretto tn :] π 2, π 2 [ R è invertibile; l su funzione invers R ] π 2, π 2 [ si è dett rco tngente e denott rctn. Si è inoltre visto che queste funzioni sono derivbili nel loro dominio, con funzioni derivt tn x + tn x 2 x ] π 2, π 2 [ rctn x + x 2 x R. In prticolre, si h che l funzione h come funzioni primitive le funzioni Integrli generlizzti. III R R, x + x 2 R R, x rctn x + c c costnte R. Sotto dovute condizioni, si possono dre nozioni più generli di integrle generlizzto. In quest sezione mostrimo solo come si poss definire l integrle generlizzto su R di un funzione non negtiv. Proposizione 3 Si f : R R un funzione continu non negtiv. Allor le seguenti ffermzioni sono equivlenti per ogni R esiste finito f x dx, ed esiste finito il ite f x dx 2 per ogni b R esiste finito f x dx, ed esiste finito il ite f x dx In cso ffermtivo, i due iti sono uguli; il loro vlore comune si dice integrle generlizzto su R dell funzione f e si indic con f x dx.

5 In ltri termini, si pone f x dx f x dx f x dx. Esempio Per l funzione non negtiv R R, x / + x 2 si h Dunque dx + x 2 [rctn x]b rctn b rctn. dx + x 2 dx + x 2 rctn b rctn π 2 rctn π 2 π 2 π. Integrbilità e integrle per funzioni non necessrimente continue Si f : [, b] R un funzione itt. In modo nlogo qunto ftto in precedenz nel cso f funzione continu, m usndo estremi superiori l posto dei mssimi ed estremi inferiori l posto dei minimi, si possono definire le somme inferiori di f s s 2 s 4 e si possono definire le somme superiori di f S S 2 S 4 Si dice che f è integrbile su [, b] se l estremo superiore delle somme inferiori è ugule ll estremo inferiore delle somme superiori Sup n s n Inf n S n ; in tl cso, il vlore comune dei due estremi si dice integrle di f su [, b] e si indic con f x dx. Un funzione f : [, b] R si dice continu trtti se esiste un suddivisione x 0 < x < x 2 <... < x p b dell intervllo [, b] tle che f è continu in ogni intervllo [x 0, x [, ]x, x 2 [,..., ]x p2, x p [, ]x p, x p ]; 2 esistono finiti x x i f x e x x + i f x, per ogni i,..., p. Ogni funzione continu su un intervllo [, b] è continu trtti su tle intervllo con suddivisione x 0 < x b.

6 Teorem Fr le funzioni itte su un intervllo [, b], in prticolre sono integrbili: - le funzioni continue trtti su [, b]; - le funzioni monotone su [, b]. Non tutte le funzioni itte su un intervllo chiuso e itto sono integrbili. 2 Le proprietà di linerità, monotoni e dditività, evidenzite per gli integrli delle funzioni continue, continuno vlere per le funzioni integrbili. Il teorem fondmentle vle nell form seguente Teorem 2 Si f : I R un funzione definit su un intervllo I ed integrbile su ogni intervllo [, b] I, e si I f,c un su funzione integrle. Allor: - I f,c è continu su I; - I f,c è derivbile in ogni punto x 0 I nel qule f è continu, inoltre I f,c x 0 f x 0. 2 Ad esempio, per l funzione f : [0, ] R, f x { se x Q 0 se x Q si h che: tutte le somm inferiori vlgono 0 in qunto intervllo non ridotto un punto contiene qulche numero irrzionle e tutte le somm superiori vlgono in qunto intervllo non ridotto un punto contiene qulche numero rzionle ; dunque l estremo superiore delle somme inferiori è 0 e l estremo inferiore delle somme superiori è, e i due estremi sono diversi.