lim n2 + an n e è limitata. (5) Studiare la convergenza della seguente successione definita per ricorrenza,

Transcript

1 (1) Si consideri l trsfomzione del pino complesso T : C C dt d T (z) = 1/z e si studino come vengono trsformte le rette e le circonferenze. () Si dimostri che le trsformzioni del pino complesso T (z) = z 1 z dove è un numero complesso di modulo minore di 1, portno il cerchio unitrio di C in se stesso in mnier biunivoc. Si provi inoltre che l circonferenz del disco unitrio v in se stess. (3) Clcolre i seguenti iti n! n n n + n n n tn 1/n dove è un numero rele. (4) Sino n e b n due successioni di numeri positivi che tendono +. Si provino le impliczioni tr le seguenti proposizioni o si mostri con un controesempio qundo non vlgono, () n bn = 1 e (b) n e = 1 bn log (c) n log b n = 1 (d) l successione en e è itt. bn (5) Studire l convergenz dell seguente successione definit per ricorrenz, { = x n+1 = sin n l vrire del prmetro rele x. (6) Dre un esempio di un funzione u : R R tle che i suoi punti di discontinuità sino tutti e soli i numeri rzionli. Un funzione u con quest proprietà può essere monoton? (7) Si f : (, + ) R un funzione Lipschitzin. Si provi che llor esiste finito il ite x + f(x). (8) Clcolre i iti per x delle seguenti funzioni e sin x 1 log(x + 1) ; log(cos x) x sin x ; tn x x + x 3 ; (e x + 1 x ) 1/x ; (cos x) 1/x. (9) Si f : R R un funzione continu tle che f(x) = f(x). x x + Si dimostri che llor f h minimo o mssimo in R (nel senso che potrebbe nche verli entrmbi). (1) Si u : R R un funzione continu tle che ogni punto di R è un punto di mssimo reltivo per u. Si provi che llor l funzione u è costnte. (11) Dimostrre che l successione definit d 1 = 1, n+1 = n + 1 n 1

2 diverge +. (1) L successione x n + px n 1 converge se e solo se l successione x n converge. Dire per quli vlori del prmetro rele p tle ffermzione è corrett. (13) Clcolre i seguenti iti n ( ) 3 n 1 n + 1 (1 1n ) n 3 dove x è un numero rele positivo. (14) Trovre tutte le funzioni continue f : R R tli che f(f(x)) = x n ( n x 1 ) per ogni x R. (15) Studire il grfico dell funzione y = x x, nel suo dominio di definizione. (16) Dimostrre che e x è l unic funzione u : R R derivbile in ogni punto di R e tle che u = u u() = 1 u(1) = e (17) Dire se esistono funzioni derivbili f : R R tli che f (x) = 1 f(x) per ogni x R. (18) Si x n un successione di numeri positivi. Provre che è sempre possibile trovre o un sottosuccessione convergente o un sottosuccessione che diverge +. (19) Studire l seguente successione definit per ricorrenz determinndone, se esiste, il ite l vrire del prmetro α rele () Clcolre il seguente ite = 1, 1 = α, n+ = n n n + n i=1 1 i log n (1) Si nx n un serie di potenze con rggio di convergenz ugule 1. Provre che llor l serie di potenze nx n h rggio di convergenz lmeno 1. Si fcci inoltre vedere con un esempio che quest ultim serie può effettivmente vere un rggio di convergenz mggiore di 1. () Dire se le seguenti serie sono convergenti n n (n)! 1 n n n log n

3 3 (3) Studire l vrire del prmetro x l convergenz dell serie ( ) ( ) n + x n x (4) Studire l convergenz dell serie (5) Sino n, b n tli che ( ) n n n + 3 n+1 n b n+1 b n n N. Provre che se n converge llor b n converge e che se b n diverge llor n diverge. (6) Dt un serie termini positivi n si consideri l serie b n dove i termini b n sono dti d b n = n n Si discutno le relzioni tr le convergenze delle due serie. (7) Si u : [, 1] R un funzione C tle che { u (t) = u 7 (t) per ogni t (, 1) u() = u(1) = Si provi che llor u =. Suggerimento: si considerino i punti di mssimo e minimo dell funzione u. (8) Si f : [, b] R un funzione continu e positiv. Si dimostri llor che ( b [f(t)] n dt) 1/n = mx [,b] f (9) Dt un funzione u : [, 1] [, 1] continu, invertibile e monoton non decrescente, si dimostri che vle 1 u(x) dx + 1 u 1 (x) dx = 1 dove u 1 è l invers di u. Cos succede se invece u è un funzione continu, invertibile e monoton non crescente? (3) Dti n numeri reli 1,..., n, si studi l funzione f(x) = n x i i=1 con prticolre ttenzione i punti di minimo.

4 4 (31) Studire l convergenz semplice e ssolut delle seguenti serie l vrire del prmetro x R, ( log(x + 1/) ) n n n k x n (n)! dove k è un intero positivo. (3) Si dic per quli vlori del prmetro rele α l seguente serie converge 1 1 α α α +... (33) Studire l convergenz semplice ed ssolut dell serie sin n (34) Dimostrre che se l serie n è convergente, llor nche l serie nn converge. (35) Dimostrre l seguente formul di somm per prti di Abel n n k b k = S n b n+1 + S k (b k b k+1 ) k=1 dove S n = n k=1 k. Si sfrutti quest formul per dimostrre che se un serie n converge, nche l serie nn converge. (36) Si studi l seguente successione definit per ricorrenz { n+1 = 7 n =. k=1 (37) Dti tre numeri reli, b, c, si provi che l equzione x 3 + bx + cx = 4 + b 3 + c h lmeno un soluzione nell intervllo (, 1). (38) Si f : R R un funzione continu e monoton non decrescente. Fissto R, si dimostri llor che vle l disuguglinz x f(t) dt + y f(t) dt x+y f(t) dt per ogni x, y R. (39) Si f(x) = 1 sin x + sin x + + n sin nx per certi vlori reli 1,..., n. Si provi llor che implic f(x) sin x x R n n 1.

5 5 (4) Si u : [, + ) R un funzione regolre e non negtiv. Si dimostri che + e u (t) dt = +. (41) Si dic per quli x R l serie ( ) n ( x + 1 n x è convergente. (4) Si studino qulittivmente le soluzioni del seguente sistem differenzile, { x = y x 3 y = 1 xy (43) ) Si risolv l equzione differenzile ) n x (t) = b x (t) (, b > ) con l condizione x() =. b) In regime vorticoso l resistenz del mezzo è proporzionle l qudrto dell velocitá. Si trovi l velocità con cui cde un gocci di pioggi di mss m: prendendo un sse verticle orientto verso il bsso l equzione dinmic è my = mg λ (y ). (44) (Teorem di Bire) Non è possibile ottenere R n come un unione numerbile di sottoinsiemi chiusi con prte intern vuot. (45) Un sottoinsieme perfetto e non vuoto di R n non può essere numerbile. (46) Si f : R + R un funzione tle che, per ogni x R + f(nx) =. Si può concludere llor che f(x) =? x + E se f è continu? (47) Si provi che l funzione di Dirichlet, l indictrice dei rzionli, non è ite puntule di un successione di funzioni continue d R in R. (48) Si f : R R un funzione nlitic in con rggio di convergenz R e tle che f() = e f (), llor in un intorno di zero f(x) è invertibile e h un invers f 1 (y) nch ess nlitic in un intorno di zero. (49) Si f : R R un funzione bigettiv e nlitic in con rggio di convergenz R = +. L funzione f 1 h rggio di convergenz ugule +? (5) Si f : R R un funzione qulunque, si dimostri che l insieme dei punti x R dove f h un discontinuità slto oppure un discontinuità einbile è l più numerbile.

6 6 (51) Si f : R R un funzione ovunque derivbile con derivt f : R R. Allor f non h discontuinità slto o einbili. (5) (Teorem di Drboux) Si f : R R un funzione ovunque derivbile con derivt f : R R. Allor f h l proprietà del vlor intermedio: nell intervllo (, b) l funzione f ssume tutti i vlori reli compresi tr f() e f(b). (53) Dire dove è definit e studire il grfico dell seguente funzione f(x) = (sin x ) log 1 1 log x (54) Dimostrre che l funzione f : (, + ) R definit d f(x) = sin x + x sin (1/x) x è itt e ssume mssimo e minimo. (55) Dt un funzione f : [, + ) R si consideri l funzione g : [, + ) R definit d g(x) = sup f(t) t x e si rispond lle seguenti domnde, giustificndo l rispost: () se f è itt llor g è itt? (b) se f è continu llor g è continu? (c) se f è Lipschitz llor g è Lipschitz? (d) se f è derivbile llor g è derivbile? (e) se f h l proprietà del vlor intermedio llor nche g? (f) se f è monoton llor g è monoton? (g) se f è integrbile llor g è integrbile? Si ripet l esercizio scmbindo il ruolo di f e g nelle domnde. (56) Si f : R R un funzione derivbile e surgettiv con derivt sempre divers d zero, si quindi g : R R l su invers. Si dimostri llor l relzione g(y) dy = g() g() g() f(x) dx per ogni R. (57) Si f : [, 1] R un funzione C tle che f() = f(1) = e f (x) = f(x)f (x) 1 per ogni x [, 1]. Si provi che f è identicmente null. (58) Si f : [, b] R un funzione integrbile secondo Riemnn, si dimostri che per ogni ε > esistono due funzioni continue g, h : [, b] R tli che g(x) f(x) h(x) per ogni x [, b] e b (h(x) g(x)) dx < ε (59) Si trovi l ordine di infinitesimo per x dell funzione f(x) = (x + 1) 1/x 1 + x e

7 7 (6) Si clcoli il ite 1 x x x sin(1/t) dt (61) Si studi l seguente successione per ricorrenz x = 1 x n+1 = 1 ) (x n + αxn l vrire di α R +. (6) Si studi l funzione f(x) = log x 1 + x log x (63) Si f : R R un funzione tle che f(x + y) = f(x) + f(y) per ogni x, y R e f(1) = 1. Dimostrre che se f è itt in un intervllo di R llor f(x) = x per ogni x R. (64) Si f : R R un funzione C 3, dimostrre che esiste un punto x R tle che f(x)f (x)f (x)f (x). (65) L funzione F (x) = x sin(1/t) dt (con F () = ) è derivbile in x =? Se sì, che vlore h l derivt? (66) Si (X, d) uno spzio metrico comptto e si A un fmigli di perti tli che l loro unione è tutto X. Si provi che esiste un vlore ε > tle che per ogni punto x X l pll pert di rggio ε e centro x è contenut in lmeno un perto dell fmigli A. (67) Si p n (x) un successione di polinomi coefficienti reli di grdo minore o ugule due. Si dimostri che se tle successione converge uniformemente sull intervllo [, 1] d un funzione f : [, 1] R llor f è ncor un polinomio di grdo minore o ugule due. (68) Si trovi l ordine di infinitesimo per x dell funzione f(x) = 1 + x cos x 1 + sin x. (69) Si studi il grfico dell funzione F : (, + ) R definit d F (x) = 1 x x (7) Si provi che l funzione f : R + R e t 1 + e t dt. f(x) = e x log x x è positiv per ogni x >. (71) Trovre i vlori x R per i quli vle l disuguglinz e x 1 1 x. (7) Si studi l convergenz semplice ed ssolut dell seguente serie ( 1) n n log n. n= (73) Si stimi il resto di Tylor di ordine 4 dell funzione f(x) = sin x log(1 + x) rispetto l punto x =, nell intervllo [, 1].

8 8 (74) Si studi l seguente funzione F : R R F (x) = x e t sin(1/t) dt. (75) Si A un sottoinsieme di [, 1] e si X A : [, 1] R l funzione indictrice di A così definit: { X A (x) = 1 se x A X A (x) = se x [, 1] \ A. Supponendo che X A si Riemnn integrbile su [, 1] e 1 X A(x) dx > si dimostri che esiste un punto x A tle che X A è continu in x. (76) Si provi che l funzione f : R + R f(x) = e x log x x è positiv per ogni x >. (77) Sino (X, d) e (Y, δ) due spzi metrici di cui X comptto, T : X Y e S : Y X due isometrie (cioè δ(t (x), T (y)) = d(x, y) per ogni coppi x, y X e lo stesso per S). Provre che llor T ed S sono iniettive e surgettive. (78) Si f : [, + ) R un funzione itt tle che f e f(x) = se e solo se x =, x + f(x) =. Dimostrre che esiste un funzione g : [, + ) R continu tle che g(x) f(x) per ogni x [, + ) e g() =. Si può trovre un funzione g come sopr che si nche C 1 in (, + )?. (79) Determinre i punti ite del seguente sottoinsieme di R, { 1 A = n + 1 } m n, m N. (8) Determinre gli estremi superiore, inferiore e il ite dell successione x n = n + 1 n n + 1. (81) Determinre gli estremi superiore e inferiore dell insieme { A = x + 1 } x n x >, n N. (8) Determinre gli estremi superiore e inferiore dell insieme { n λ + m 1/λ } A λ = n + m n, m N l vrire di λ R. (83) Clcolre i seguenti iti, () ( 1 e 1/n ) log n! (n (b) )! n! log n! (c) n (n+sin n) (d) 1/n (+sin n) n n! (e) ( (n+1) n+ (n+) n+1 n 3 ) sin 1 n

9 9 ) (n!) n n (f) ( 1 + n! (en) n (84) Si dimostri che il ite dell successione ( x n = sin π 4n + ) n è zero. Si provi l nlogo per l successione ( x n = sin π ) 4n + f(n) dove f : N R + f(n) è un funzione tle che n =. Si studi inoltre l ordine di infinitesimo di quest successione second dell ordine di infinitesimo di f. (85) Clcolre il ite dell successione ( x n = sin π ) n + n. (86) Studire il ite di ( x n = sin π ) n + λn l vrire del prmetro λ R. Nel cso il ite si zero si studi l ordine di infinitesimo dell successione. (87) Studire il ite sin(πen!). (88) Supponimo che per un cert successione di numeri reli n si bbi sin(π n) = L. Cos si può dire sull successione n? Esiste un successione di interi k n tle che n k n converge? (89) Quli sono i possibili iti dell successione delle prti frzionrie di n. Prte frzionri di x = x prte inter di x. (9) Si provi che esistono due costnti reli A e B tli che ( 4 n (n!) ) 1 + na nb (n)! per ogni n N. (91) Ponimo, per ogni n N, n = sup k 1 ( n k k! ). Si clcolino n e n 3 n. (9) Se x n è un successione di numeri reli tle che per ogni k N si h (x n x n+k ) =, si può concludere che x n è un successione di Cuchy? (93) Si x n un successione di numeri reli tle che (x n x n+ ) =. Si provi che llor x n x n+1 = n

10 1 (94) Si provi che l equzione x n = cos x n h un sol soluzione x n > e si studi il ite di x n per n. (95) Si studi il ite dell successione x n = π/4 (tn x) n dx. (96) Studire il comportmento delle seguenti successioni definite per ricorrenz, l vrire del prmetro λ, () 1 = λ, n+1 = n 1+ n (b) 1 = λ, n+1 = 1 1+ n (c) 1 = λ, n+1 = e n e (d) 1 = λ (, π), n+1 = n + sin n (e) 1 = λ, n+1 = mx { n, 1/4 } (f) 1 = λ, n+1 = 1 n + n (g) 1 = λ, n+1 = n 3 n (h) 1 = λ >, n+1 = log 1 + n (i) 1 =, = λ >, n+1 = n + n 1 (j) 1 = λ, n+1 = sin n (k) 1 = λ, n+1 = n + n (l) 1 = λ, n+1 = 1 n (97) Si n un successione di numeri reli tle che 1 =, = b e n+1 = n + n 1 Si studi l convergenz di n e si clcoli l eventule ite. (98) Si n un successione di numeri reli tle che n+1 n + 1 n. Si provi che l insieme dei punti ite è un intervllo. (99) Studire il comportmento delle seguenti successioni definite per ricorrenz, () 1 = 1, n+1 = n e t dt (b) 1 = 1, n+1 = 1 + / n (c) 1 =, n+1 = n...,,,... (1) Si consideri l seguente successione definit per ricorrenz, { =, 1 = 1 n = 4 n 1 + n se n > 1. Trovre n n. (11) Dti due numeri reli e positivi e b, definimo A(, b) = + b G(, b) = b Medi Aritmetic, Medi Geometric, H(, b) = ( b ) 1 = b + b Medi Armonic.

11 11 Cosiderimo le successioni x n e y n, definite per ricorrenz d x =, y = b x n = A(x n 1, y n 1 ) y n = G(x n 1, y n 1 ) Si provi che entrmbe le successioni convergono d uno stesso ite (tle ite si dice Medi Aritmo Geometric di e b). (1) Con le stesse notzioni del problem precedente, considerimo or le seguenti successioni x n e y n, x =, y = b x n = H(x n 1, y n 1 ) y n = A(x n 1, y n 1 ) Si provi che entrmbe convergono ll medi geometric G(, b) di e b. (13) Mostrre che l successione definit d x = 1, x n+1 = x n + 1 x n diverge + e vlutrne l ordine di crescit. (14) L successione x n + px n 1 converge se e solo se converge x n. Dire per quli vlori di p tle ffermzione è corrett. (15) Si n un successione di reli positivi tli che n < n 1 + n 1. Dimostrre che llor n converge. (16) Si C un insieme convesso chiuso di R n, llor per ogni punto x C esiste un iperpino H che sepr x e C senz toccrli. (17) Sino C e D due insiemi convessi chiusi e disgiunti di R n. Esiste un iperpino H che li sepr senz toccrli? E se lmeno uno di essi è comptto? (18) Si L : R n R m linere e C R n, D R m convessi. Si provi che L(C) e L 1 (D) sono convessi. (19) Sino C e D due insiemi convessi di R n. Dimostrre che llor l insieme C + D = {x + y x C, y D} è convesso. E l insieme C D? (11) Si C un insieme convesso di R n e si C δ = {x R n distnz(x, C) < δ } per ogni δ >. Si provi che C δ è convesso. (111) Si provi che ogni insieme convesso chiuso di R n è l intersezione di tutti i semispzi chiusi che lo contengono. (11) Se f : R n R è convess, g(x) = f(x c) e h(x) = f( x) sono convesse? (113) Sino f, g : R R due funzioni convesse, f g è convess? E se un delle due è nche monoton? (114) Sino f, g : R R due funzioni convesse. Si discut l convessitá delle funzioni λf, f + g, f g, fg e f/g. (115) Si f : R n R convess. Si dimostri che llor per ogni x R n si h f(x) = sup {L(x) L : R R linere e L f }. Si provi l inverso: se f è sup di funzioni lineri llor f è convess.

12 1 (116) Si f : [, + ) R monoton, si provi che llor g(x) = x f(t) dt è un funzione convess. Vle il vicevers? (117) Sino p, q R positivi e vlg 1 p + 1 q = 1. Allor per ogni x, y reli positivi si h x p p + yq q xy. (118) Si provi che se 1,..., n sono positivi si h ) n n ( n (119) Si dimostrino le seguenti disuguglinze con, b, c, d 4 3 bc + 3 bd + 3 cd + 3 bcd bcd 4 b + bc + cd + d + c + bd + b + c + d 6 4 (1) Si P un punto interno d un tringolo ABC, si cerchi il minimo dell somm dei qudrti delle distnze di P di tre lti, l vrire di P. (11) Dimostrre che e x +nx4 1 per ogni x R ed n intero mggiore o ugule 1. (1) Dimostrre che e x > 1 sin x per ogni x (, π/).