Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 13 a.a

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Beata Fumagalli
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1 Anlisi Mtemtic per Bio-Informtici Esercitzione Dott. Simone Zuccher 28 Febbrio 28 Not. Queste pgine potrebbero contenere degli errori: chi li trov è pregto di segnlrli ll utore Integrli definiti Richimi utili sugli integrli definiti. Sino f(),g() limitte ed integrbili su I R e,b,c I, < b. Allor: c f() d f() d f() d. c f() d f() d. b f() d. f() d f() d. Se f() g() g() [,b con < b, g() d. [λf() + µg() d λ m [ b f() d + µ f() d g() d. g() d. f() d M con m inf [,b f() e M sup f(). [,b f() continu su [,b c [,b : b f() d f(c).

2 Integrzione per prti: Integrzione per sostituzione. continu. Allor: f() d [f () g() d [f() g() b [f() g () d. Si ϕ : [α, β [, b derivbile con derivt ϕ(β) ϕ(α) f() d ϕ(β) ϕ(α) [f(ϕ(t)) ϕ (t) dt Teorem fondmentle del clcolo integrle. Si f() continu ed integrbile su [,b e c, [,b, llor l funzione F() Inoltre, F() è derivbile e risult F () f(). c f(t) dt è un primitiv di f(). Formul fondmentle per il clcolo integrle. Se F() è un primitiv di f() llor f() d F b [F b [F() b F(b) F(). Significto geometrico: l integrle definito f() d di un funzione non negtiv f() rppresent l re compres tr il grfico dell funzione y f(), l sse e le rette verticli e b. Are tr due curve f() e g(). Se le curve hnno due o più punti di intersezione di sciss i,i,...,n, n 2, llor A 2 f() g() d f() g() d + + n n f() g() d. Si noti che f() g() f() g() se f() g() oppure f() g() g() f() se g() > f(). Quindi, bst considerre per ciscun intervllo l differenz tr l funzione mggiore e quell minore. Esercizio. Clcolre Risoluzione. Essendo 2π cos(2π) + cos() +. sin d. sin d cos + c, si h 2π sin d [ cos 2π Esercizio.2 Clcolre 2π (sin ) 2 d. Risoluzione. Essendo (sin ) 2 d 2 sin(2) + c (si vedno le esercitzioni 4 2π [ precedenti), si h (sin ) 2 d 2 sin(2) 2π π. 4 Esercizio.3 Clcolre 3 + d. 2

3 2( + )3/2 Risoluzione. Essendo d 2 + +c (si vedno le esercitzioni precedenti, integrli per sostituzione), si h d [ 2( + ) 3/2 + 3 [ 2(4) 3/2 2 [ 2() 3/ Esercizio.4 Clcolre 3 d. Risoluzione. Essendo per e 3 per < <, si h d [ [ Esercizio.5 Clcolre 2π sin d. ( ) d + 3 ( ) d Risoluzione. Si può procedere seprndo il sin nei due csi (come ftto nell esercizio precedente), oppure osservre che f() sin è periodic di periodo π per cui: 2π 2 π sin d sin d 2 π 2 cos() π sin d + 2π π sin d π sin d + sin d (sin [,π) [ 2 cos π π sin d 2 cos(π) + 3 Esercizio.6 Determinre l re dell regione di pino compres tr l curv y log, l sse delle scisse e l rett e. Risoluzione. A e log d [(log ) e. Esercizio.7 Determinre l re dell regione di pino compres tr l prbol y 2 e l rett y. Risoluzione. Si noti che le due curve si intersecno in due punti (, ) e (, ) e che nell intervllo [, si h 2. Quindi l re in questione è [ ( 2 ) d d Esercizio.8 Determinre l re dell regione di pino compres tr l prbol y 2 e l rett y

4 Risoluzione. Le due curve si intersecno in ( 3, 9) e (, ), inoltre nell intervllo [ 3, si h Quindi l re in questione è [ ( ) d Esercizio.9 Determinre l re dell regione di pino compres tr l prbol y 2 4, l rett 2 + y 4 e l sse delle scisse. Risoluzione. Si noti che l prbol h sse di simmetri prllelo ll sse delle e vertice nell origine. Inoltre, le due curve si intersecno in (, 2) e (4, 4), e l rett y intersec l sse in 2. Vi sono pertnto due possibili regioni: A 2 4 d + ( 2 + 4) d e A 2 [ ( 4 4) d + [( 2 + 4) ( 4) d Esercizio. Determinre l re dell regione di pino delimitt nell ellisse di equzione y2 b 2. Risoluzione. Ricvndo y b 2 2, l re in questione è dt d b A d (dopo ver posto sin t) π/2 [ π/2 [ t 4 b 2 2 sin 2 t cos t dt 4b (cost) 2 dt 2 + sin(2t) π/2 4b π 4 4 πb. 2 2 Integrli impropri Richimi utili sugli integrli impropri. Si α R. Allor l integrle improprio positivmente divergente per α. + d è convergente per α > e α Si α R. Allor l integrle improprio positivmente divergente per α. d è convergente per α < e ( ) α Criterio del confronto. Sino f(),g() due funzioni definite su [, + [ e integrbili in ogni intervllo limitto [,b con < b; se g() è integrbile su [, + [ ed esiste tle che f() g(), llor nche f() è integrbile su [, + [. 4

5 Se l integrle improprio f() d è ssolutmente convergente, llor l integrle + L integrle improprio improprio + f() d è convergente. + + f() d converge. f() d si dice ssolutmente convergente se l integrle Esercizio 2. Dopo verne discusso l convergenz, clcolre 2 d utilizzndo l definizione. 2 2 Risoluzione. Il problem si verific in 2. Si osservi che (2 ) /2, pertnto l integrle improprio converge (/2 < ). Per clcolrne il vlore si utilizz l definizione: indefinito [ t lim t 2 [ t d lim d. Clcolndo dpprim l integrle 2 t 2 2 d (2 ) /2 d c, si h d d lim t 2 [ 2 2 t lim t 2 [ 2 2 t Esercizio 2.2 Dopo verne discusso l convergenz, clcolre d utilizzndo l definizione. Risoluzione. Il problem si verific in 2. Si osservi che (2 )(2 + ) per 2, pertnto l integrle improprio converge (/2 < ). Si h 2(2 ) /2 2 [ t quindi d lim d lim [rcsin t lim 4 2 t t 2 2 rcsin t t 2 2 rcsin() π 2. Esercizio 2.3 Sino R, > e α R. Discutere, l vrire di α, l convergenz dell integrle improprio + (log ) d α. + [ t [ (log ) α+ Risoluzione. Se α si h d lim (log ) α t + (log ) d lim α t + [ α + (log t) α+ (log ) α+ lim. Pertnto l integrle converge se α + < ovvero t + α + α + per α >, mentre diverge se α + > ovvero per α <. 5 t

6 + Se α si h log d lim [log(log ) t + dt lim [log(log t) log(log ) t + +. In conclusione, l integrle dto converge per α > e diverge positivmente per α. Esercizio 2.4 Sino R, < < e α R. Discutere, l vrire di α, l convergenz dell integrle improprio (log ) α d Risoluzione. Si proced come nell esercizio precedente. Esercizio 2.5 Senz eseguire l integrzione, si discut l convergenz dell integrle improprio + d Risoluzione. 2 per +, pertnto l integrle converge. 23/ Esercizio 2.6 Senz eseguire l integrzione, si discut l convergenz dell integrle improprio d ( ) Risoluzione. per e ( ) ( ) per, pertnto l integrle converge. Esercizio 2.7 Senz eseguire l integrzione, si discut l convergenz dei seguenti integrli impropri: () + Risoluzione. () Essendo (b) Essendo ( log + ) ( log d (b) + + ( sin ) 2 per +, l integrle converge. 2 ) 6 ( sin ) 2 d per +, l integrle converge. 3/2

7 Esercizio 2.8 Senz eseguire l integrzione, si discut l convergenz dei seguenti integrli impropri: () π/2 tn d (b) e d Risoluzione. () Essendo per, l integrle converge. tn /2 (b) Essendo e per, l integrle converge. /2 Esercizio 2.9 Determinre il più piccolo vlore di n N ffinché l integrle improprio + ( d converg. 2 + ) n Risoluzione. Essendo ( 2 + ) per +, si h convergenz per n > n n, ovvero per n > 2. Quindi il minor n N ffinché l integrle improprio converg è n 3. Esercizio 2.2 Discutere l vrire di,b R l convergenz dell integrle improprio + d (2 + 3) b+ Risoluzione. Per + si h (2 + 3) b+ 3 b+, quindi l integrle converge per <. Per + si h (2 + 3) b+ 2 b+ +b+, pertnto l integrle converge per + b + >, ovvero b >. Globlmente l integrle converge per < b >. Esercizio 2.2 Discutere l vrire di R l convergenz dell integrle improprio + (log ) 2 d Risoluzione. Si noti che (log ) 2 (log ) ( )( + ). Eseguendo l sostituzione t + t, si h + (log ) + 2 d (log( + t)) t(t + 2) dt. 7

8 Per t + si h ovvero per > 3/2. Per + si h (log( + t)) t(t + 2) (log( + t)) t(t + 2), quindi l integrle converge per /2 <, 2t /2 t(log t), pertnto l integrle converge per > <. In conclusione, l integrle dto non converge, essendo > 3/2 < impossibile. 3 Funzione integrle Esercizio 3.22 Utilizzndo il teorem fondmentle del clcolo integrle ed il teorem per le derivte di funzioni composte, clcolre le derivte delle seguenti funzioni integrli:. () F() t dt Risoluzione. () F (),. (b) F () e ( ) 2 ( ) 2 e. (c) F() (cos t) 2 dt (b) F() e t2 dt (c) F() 2 (cost) 2 dt (cos t) 2 dt (cos t) 2 dt 3 (cos t) 2 dt (cost) 2 dt. Pertnto F () [cos(3) 2 (3) [cos(2) 2 (2) 3 cos 2 (3) 2 cos 2 (2). 8

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