PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

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1 PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre che il tringolo vente per vertici questo punto e gli estremi del lto obliquo è rettngolo e trovre qule relzione leg il lto obliquo lle bsi del trpezio. Risult: 2α + 2β = π quindi α + β = π pertnto il tringolo ABE è rettngolo in E. 2 Il tringolo ABE è simile i tringoli BCE e ADE; risult in prticolre: AB BE = BE BC d cui AB = BE2 BC d cui AB BC = BE 2 AB AE = AE AD d cui AB = AE2 AD d cui AB AD = AE 2 Sommndo membro membro nelle ultime due uguglinze si h: AB BC + AB AD = BE 2 + AE 2 AB(BC + AD) = AB 2, BC + AD = AB Il lto obliquo è ugule ll somm delle due bsi. Suppletiv 2005 PNI - Questionrio / 8

2 QUESITO 2 Sino AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Spendo che uno spigolo è lungo s, clcolre l distnz del vertice A dl pino dei punti B, C, D. Il piede dell ltezz G reltiv ll bse BCD dell pirmide (rett) ABCD è l ncentro del tringolo equiltero BCD, quindi nche il bricentro; per un not proprietà del bricentro di un tringolo si h che CG è i 2/3 dell medin uscente d C, che è nche ltezz del tringolo equiltero BCD di lto s 2; l ltezz del tringolo BCD vle quindi: (s 2) 3 = s 6. Pertnto: 2 2 CG = 2 3 ( 2 s 6) = 3 s 6 Essendo AG perpendicolre l pino BCD, risult AG perpendicolre CG: il tringolo ACG è quindi rettngolo in G. Si h llor: AG 2 = AC 2 CG 2 = s 2 ( 3 s 6) 2 = s s2 = 3 s2 AG = s 3 3 QUESITO 3 Alberto e Ginn sono chimti risolvere l seguente equzione: sinx cosx = 4. Alberto ottiene come soluzione gli ngoli x tli che: x = π 5π + kπ oppure x = + kπ 2 2 (k intero qulsisi); Ginn trov l seguente soluzione: x = ( ) k π + k π (k intero 2 2 qulsisi). È vero o è flso che Alberto h risolto correttmente e Ginn no? Fornire un rispost esuriente. Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 2 / 8

3 Risolvimo l equzione: sinx cosx = 4, equivlente 2sinx cosx = 2, sen(2x) = 2 d cui: 2x = π 6 + 2kπ oppure 2x = 5 π + 2kπ 6 quindi: x = π + kπ oppure x = 5 π + kπ quindi Alberto h risposto correttmente. 2 2 Anlizzimo l soluzione di Ginn. Se k è pri l soluzione indict d Ginn divent: x = ( ) k π + k π = π + (2h) π = π + hπ (ugule ll prim soluzione dt d Alberto) Se k è dispri l soluzione indict d Ginn divent: x = ( ) k π + k π = π + (2h + ) π = 5 π + hπ (ugule ll second soluzione dt d Alberto). Quindi si Alberto si Ginn hnno risolto correttmente l equzione. QUESITO 4 Si consideri l seguente equzione in x: (k 2) x 2 (2k )x + (k + ) = 0 dove k è un prmetro rele diverso d 2. Indicte con x ed x" le sue rdici, clcolre i limiti di x + x" qundo k tende 2, + e. (k 2) x 2 (2k )x + (k + ) = 0, con k 2. Determinimo l somm delle rdici, dopo ver verificto che il discriminnte dell equzione è non negtivo: = (2k ) 2 4(k 2)(k + ) = 9 0 per ogni k x + x" = b/ = 2k k 2 Clcolimo i limiti richiesti: 2k lim(x + x") = lim k 2 k 2 k 2 = 2k lim (x + x") = lim k ± k ± k 2 = 2 Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 3 / 8

4 Il limite dell funzione ( x) x per x 0: [A] è ugule d ; [B] è ugule + ; [C] non esiste; [D] è ugule d e; [E] è ugule d e, QUESITO 5 essendo e l bse dei logritmi nturli. Un sol rispost è corrett. Individurl e fornirne un spiegzione esuriente. Clcolimo il limite proposto: x ] lim ( x 0 x) = lim( + ( x)) x ( ) = lim [( + ( x)) = e = x 0 x 0 e Ricordimo che, se f(x) 0 llor [ + f(x)] f(x) tende d e (conseguenz del limite notevole lim x ( + x )x = e ). L rispost corrett è quindi l [E]. QUESITO 6 Dimostrre che, se l derivt di un funzione rele di vribile rele f(x) è null per ogni x di un dto intervllo J, llor f(x) è costnte in J. Supponimo che f (x) = 0, x J e dimostrimo che f(x) = costnte in J Considerimo l intervllo chiuso [;x] contenuto in J; essendo l funzione derivbile in J lo è nche in [;x]; in tle intervllo l funzione è llor continu. Per il Teorem di Lgrnge risult: f(x) f() x = f (c), con c interno ll intervllo [;x]. M per ipotesi f (c) = 0, quindi f(x) f() = 0 e pertnto f(x) = f() per ogni x: l funzione è quindi costnte in J. Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 4 / 8

5 QUESITO 7 Spiegre in mnier esuriente perché un funzione rele di vribile rele integrbile in un intervllo chiuso e limitto [, b] non necessrimente mmette primitiv in [, b]. Ricordimo che (per il Teorem fondmentle del clcolo integrle, detto nche di Torricelli) se un funzione f è continu in un intervllo chiuso e limitto [;b] llor è integrbile in tle intervllo, cioè esiste un funzione F, derivbile nel suddetto intervllo, tle che: F x (x) = f(x), con F(x) = f(t)dt ; F è quindi un primitiv di f. Quindi: se un funzione è continu in un intervllo chiuso e limitto mmette primitiv. L integrbilità di un funzione viene estes l cso di un funzione non continu in un intervllo. Se per esempio bbimo un punto di discontinuità nel punto c interno ll intervllo, l funzione si dice integrbile (in senso improprio) se esistono finiti i seguenti limiti: k lim k c f(x)dx e si pone: e b lim k c + f(x)dx k b f(x)dx = k lim f(x)dx + lim f(x)dx k c k c + k b Dimo un esempio di funzione integrbile (in senso improprio) in un intervllo [;b] che non mmette primitiv nell intervllo: x + se x < 0 f(x) = { x + se 0 < x 0 se x = 0 Il grfico dell funzione è il seguente: Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 5 / 8

6 L funzione è chirmente integrbile nell intervllo [-;] e l integrle vle ( si pensi l significto geometrico dell integrle definito), m non mmette primitiv in tle intervllo. Un eventule primitiv F(x) dovrebbe inftti essere derivbile in [-;] con F (x)=f(x). Quindi: F (x) = x + se x < 0, F (x) = x + se 0 < x e poiché l derivt destr e sinistr di F(x) in x=0 è, dovrà essere F (0) = M F (0) = f(0) = 0, quindi f(x) non mmette primitiv. un funzione rele di vribile rele integrbile in un intervllo chiuso e limitto [, b] non necessrimente mmette primitiv in [, b]. QUESITO 8 In un urn ci sono due plline binche, in un second urn ci sono due plline nere e in un terz urn ci sono un pllin binc e un pllin ner. Scegli cso un urn ed estri, sempre cso, un delle due plline in ess contenute: è binc. Sresti disposto scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn che hi scelto si ess pure binc? BB NN BN 2 3 Scelt cso un urn, l probbilità che l pllin estrtt si binc è dt d: p(prim binc) = = = 2 Quindi l probbilità che l pllin rimst si nch ess binc è /3, pri ll probbilità che l prim estrtt proveng dll urn. Quindi, spendo che l prim estrtt è binc, l probbilità che nche l second nell urn scelt si binc è dt d: p = p(prim binc second binc) p(prim binc) quindi è conveniente scommettere ll pri che l pllin rimst nell urn scelt si pure binc. N.B. Si trtt di un tipico esempio di ppliczione del teorem di Byes, in cui, detto B l evento l pllin estrtt è binc ed A l evento l pllin è stt estrtt dll urn, dobbimo trovre l probbilità condiziont: p(a B) = p(a B) p(b) = 3 2 = 2 3 = 3 2 = 2 3 Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 6 / 8

7 QUESITO 9 Si consideri il seguente sistem nelle incognite x, y, z: x + y + z = { x + y + z = x + y + z = dove è un prmetro rele. Il sistem è: [A] determinto per ogni vlore di ; [B] indeterminto per un vlore di ed impossibile per un vlore di ; [C] indeterminto per nessun vlore di, m impossibile per un vlore di ; [D] impossibile per nessun vlore di, m indeterminto per un vlore di. Un sol rispost è corrett: individurl e fornire un esuriente spiegzione dell scelt opert. Indichimo con A l mtrice dei coefficienti e con B l mtrice ottenut d A orlndol con l colonn dei termini noti. A = [ ] B = [ ] Qundo il determinnte di A è diverso d zero il sistem mmette un sol soluzione. det A = ( 2 ) ( ) + ( ) = ( )( + ) ( ) ( ) = = ( )( 2 + ) = ( )( 2 + 2) = ( )( + 2)( ) Risult: det A = 0 se = oppure = 2. Quindi se e 2 il sistem mmette un sol soluzione. Anlizzimo il sistem se =. A tl proposito è necessrio utilizzre il teorem di Rouchè-Cpelli. Per tle vlore di risult: A = [ ] B = [ ] Il rngo r di A è ugule d come il rngo di B, quindi il sistem è comptibile ed mmette n r soluzioni, dove n è il numero delle incognite ed r il rngo comune d A e B. Nel nostro cso bbimo 3 = 2 soluzioni. Anlizzimo il sistem se = 2. Per tle vlore di risult: Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 7 / 8

8 2 2 A = [ 2 ] B = [ ] 2 Il rngo di A è 2, e si deduce dl ftto che c è un minore di ordine 2 (quello formto, per esempio, dlle prime due righe e dlle prime due colonne) non nullo. Il rngo dell mtrice B è 3, e si deduce dl ftto che c è un minore di ordine 3 (quello formto, per esempio, dll prim, second e qurt colonn) non nullo (-8): per tle vlore di il sistem è quindi impossibile. Riepilogndo: - Se se e 2: sistem determinto - Se = : sistem indeterminto. - Se = 2: sistem impossibile. L rispost corrett è quindi l [B]. QUESITO 0 Si consideri l trsformzione geometric di equzioni: x = 2x + my y = mx 2y 2 dove m è un prmetro rele. Trovre l equzione del luogo geometrico dei suoi punti uniti. I punti uniti si ottengono ponendo x = x e y = y. m = x x = 2x + my x + my = y y = mx 2y 2 mx 3y = 2 { { Per y 0 il luogo h equzione: { x y (per y 0) x 3y = 2 x y x 3y = 2, x x2 3y 2 2y = 0, x 2 + 3y 2 x + 2y = 0 che è un ellisse trslt. Se y = 0 il sistem che dà i punti uniti divent: x + my = { { x = d cui { x = mx 3y = 2 m = 2 y = 0 precedentemente trovto, quindi: ; tle punto pprtiene l luogo il luogo dei punti uniti è l ellisse di equzione x 2 + 3y 2 x + 2y = 0. Con l collborzione di Angel Sntmri, Simon Scoleri e Stefno Scoleri Suppletiv 2005 PNI - Questionrio 8 / 8

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