Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

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1 Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per ogni x 2 A. Proposizione 9.2 Se esiste F primitiv di f, llor ne esistono in nite. Dimostrzione. Si c 2 R e si consideri l funzione F 1 (x) = F (x) + c... De nizione 9.3 Si de nisce integrle inde nito di f l insieme di tutte le primitive di f. Tle insieme si denot con il simbolo Proposizione 9.4 Se l funzione f è de nit su un intervllo, llor due qulsisi primitive di f di eriscono tr loro per un costnte. Dimostrzione. Sino F 1 ed F 2 primitive di f.... In forz dell proposizione precedente, se f è de nit su intervllo ed mmette un primitiv F, si può scrivere f(x)dx = ff (x) + cg o, più semplicemente f(x)dx = F (x) + c: Voglimo ribdire che, se non simo su un intervllo, non è tto detto che due primitive di eriscno per un costnte. Quindi le precedenti scritture non sono vlide, oppure si intendono riferite d un unico intervllo. 1

2 2 CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE 9.2 Clcolo di primitive L esistenz di primitive per un funzione continu costituisce l tesi del cosiddetto Teorem fondmentle del Clcolo che vedremo in seguito. Detto teorem fornisce un ricett per il clcolo di un primitiv, m in prtic si trtt di un ricett non utilizzbile. In reltà l determinzione di un primitiv non è tto un problem bnle, nzi si può dimostrre che lcune funzioni reltivmente semplici e di uso comune (d esempio f(x) = e x2 ) non mmettono un primitiv esprimibile in termini di funzioni elementri. Per clcolre le primitive il punto di prtenz sono le derivte delle funzioni elementri. In secondo luogo si sfruttno l contrrio le regole di derivzione: linerità integrzione per sostituzione integrzione per prti 9.3 Integrle di Riemnn Si ssegnt un funzione f : [; b]! R limitt. De nizione 9.5 Si de nisce prtizione di [; b] un insieme nito e ordinto di punti P = f = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = bg : De nizione 9.6 Si de nisce somm inferiore di f reltiv ll prtizione P il numero nx s(f; P ) = (x i x i 1 ) inf f(x): x ixx i+1 i=1 Si de nisce somm superiore di f reltiv ll prtizione P il numero S(f; P ) = nx i=1 Esempio 9.7 Considerimo l funzione (x i x i 1 ) sup x ixx i+1 f(x): f : [0; 3]! R f(x) = x 3 3x Rppresentimo geometricmente e clcolimo le somme inferiori reltive due diverse prtizioni P 1 = f0; 3=2; 3g ; P 2 = f0; 1=2; 3=2; 5=2; 3g : Anzitutto dobbimo conoscere l ndmento dell funzione, quindi bbimo riportto il gr co nell g

3 9.3. INTEGRALE DI RIEMANN x Fig. 10.1: f(x) = x 3 3x Per P 1 l rppresentzione geometric dell somm inferiore è riportt nell g x Fig. 10.2: s(f; P 1 ) e quindi s(f; P 1 ) = (3=2 0)f(3=2) + (3 3=2)f(2) = 63=16: Per P 2 l rppresentzione geometric dell somm inferiore è riportt nell g. 10.3

4 4 CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE x Fig. 10.3: s(f; P 2 ) e quindi s(f; P 2 ) = (1=2 0)f(1=2) + (3=2 1=2)f(3=2) + +(5=2 3=2)f(2) + (3 5=2)f(5=2) = 23=4 Dunque, come evidenzito nche dl simbolo utilizzto, le quntità s(f; P ) e S(f; P ) dipendono in mnier essenzile, oltre che d f, dll prtizione P. Indichimo con s(f) l insieme di tutte le somme inferiori di f l vrire dell prtizione P ; nlogmente indichimo con S(f) l insieme di tutte le somme superiori. Proposizione 9.8 Per ogni prtizione P risult s(f; P ) S(f; P ): Quli che sino P 1 e P 2 prtizioni di [; b] risult s(f; P 1 ) S(f; P 2 ): In bse l teorem precedente si dice che gli insiemi s(f) e S(f) sono seprti. De nizione 9.9 L funzione f si dice integrbile (secondo Riemnn) in [; b] se esiste un unico elemento di seprzione tr l insieme delle somme inferiori e l insieme delle somme superiori. Tle elemento prende il nome di integrle di Riemnn e si denot con il simbolo f(x)dx (9.1) [;b] In ltri termini l integrle di Riemnn, se esiste, è l unico numero rele minore di tutte le somme superiori e mggiore di tutte le somme inferiori.

5 9.3. INTEGRALE DI RIEMANN Interpretzione geometric In genere si dice che l integrle (di funzioni positive) si interpret come re dell regione (dett rettngoloide) vente per bse [; b] e delimitt dl gr co di f. In reltà, come già vveniv in ltri contesti, non è tto chiro ciò che debb intendersi per re di un regione del pino delimitt d un curv. Nel cso di un rettngolo rgionevolmente si ssume, per de nizione, che l re si dt dl prodotto delle lunghezze dei lti. Se bbimo un regione compost d due o più rettngoli non sovrpposti, l re di tle regione si pone ugule ll somm delle ree dei rettngoli. Rimne d de nire l nozione di re per un regione generic, in prticolre per il rettngoloide. D ltr prte bbimo un esempio semplice ed interessnte. Esempio 9.10 L funzione f : [; b]! R di costnte vlore h è integrbile e risult f(x)dx = h(b ): [;b] Dunque, lmeno nel cso elementre di un funzione costnte (con h > 0), bbimo ottenuto l uguglinz integrle = bse ltezz = re del rettngoloide (in questo cso un rettngolo vero e proprio). All luce di tutto questo ssumimo, per de nizione, che l re del rettngoloide reltivo d un funzione (integrbile e) positiv coincid con il vlore dell integrle. Sul cso di un funzione non positiv torneremo in seguito. Possimo chirire nche il signi cto di integrbilità: l re del rettngoloide può essere pprossimt d somme di ree di rettngoli: dll interno, per difetto (somme inferiori); dll esterno, per eccesso (somme superiori). L condizione di integrbilità secondo Riemnn (unicità dell elemento di seprzione) vuol dire che i due processi di pprossimzione (per difetto e per eccesso) conducono llo stesso risultto. L interpretzione dell integrle come re è ll bse del simbolo stesso di integrle: bbimo un somm in nit ( R è un S stilizzt) delle ree di rettngolini in nitesimi venti bse dx e ltezz f(x); tle somm è estes d b. Come nelle somme, l vribile di integrzione non è rilevnte e quindi, d esempio, bbimo f(x)dx = f(t)dt: [;b] Funzioni integrbili L nozione di integrle di Riemnn h senso per funzioni limitte. Tuttvi dobbimo precisre subito che non tutte le funzioni limitte sono integrbili secondo Riemnn. Sussistono i seguenti risultti Teorem 9.11 Se f : [; b]! R è monoton, llor f è integrbile. Teorem 9.12 Se f : [; b]! R è continu, llor f è integrbile. [;b]

6 6 CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE Teorem 9.13 Se f : [; b]! R è limitt e present un numero nito di punti di discontinuità, llor f è integrbile. Sussiste un proprietà di linerità. Proposizione 9.14 Se le funzioni f 1 ; f 2 : [; b]! R sono integrbili, llor nche l funzione somm è integrbile e risult (f 1 (x) + f 2 (x))dx = f 1 (x)dx + f 2 (x)dx: [;b] Se f : [; b]! R è integrbile e c 2 R, llor c f è integrbile e risult c f (x)dx = c f(x) dx [;b] [;b] Osservzione 9.15 Se le funzioni f 1 ; f 2 : [; b]! R sono integrbili, llor nche l funzione prodotto è integrbile, m è ssolutmente flso che l integrle del prodotto è ugule l prodotto degli integrli. [;b] Sussiste l proprietà dditiv rispetto l dominio. Proposizione 9.16 Se f : [; b]! R è integrbile e c 2 (; b), llor f è integrbile negli intervlli [; c] e [c; b] e risult f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx: [;c] [c;b] Proprietà dell integrle Si f : [; b]! R integrbile, si de nisce medi (integrle) di f il numero rele f = 1 b Teorem 9.17 (dell medi) Se f : [; b]! R è integrbile, risult [;b] [;b] inf f(x) f sup f(x): x2[;b] x2[;b] Inoltre, se f è continu, esiste x 0 2 [; b] tle che f = f(x 0 ): [;b] Dl Teorem dell medi consegue l proprietà di positività. Proposizione 9.18 Se f : [; b]! R è integrbile e per ogni x 2 [; b] risult f(x) 0, llor f(x)dx 0: [;b] Dll linerità e dll positività consegue l proprietà di confronto. Proposizione 9.19 Se le funzioni f 1 ; f 2 : [; b]! R sono integrbili e per ogni x 2 [; b] risult f 1 (x) f 2 (x); llor [;b] f 1 (x)dx [;b] f 2 (x)dx:

7 9.4. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO Teorem fondmentle del Clcolo Sino I intervllo, f : I! R integrbile (secondo Riemnn) in ogni intervllo chiuso e limitto contenuto in I. De nizione 9.20 Per ogni ; b 2 I, si de nisce integrle de nito di f tr e b il numero rele 8 R b < [;b] f(x)dx se < b f(x)dx = 0 se = b : R [b;] f(x)dx se b < A meno del segno, l integrle de nito coincide con l integrle di Riemnn, pertnto si riportno ll integrle de nito le proprietà di linerità, l proprietà dditiv rispetto l dominio. Di ftto il simbolo di integrle de nito (il più simile quello di somm) si preferisce l simbolo (9.1). Fissto 2 I, l integrle de nito consente di de nire un nuov funzione F (x) = denomint funzione integrle di f. x f(t)dt (9.2) Teorem 9.21 (di esistenz di primitive) Se f è continu, llor l funzione integrle F de nit d (9.2) è un primitiv di f. Questo teorem prende il nome di Teorem Fondmentle del Clcolo. Esso, inftti mette in relzione due nozioni pprentemente del tutto indipendenti (quell di primitiv, collegt con l derivt, e l integrle de nito, collegto con l misurzione di ree). D teorem precedente si deduce l cosiddett Formul Fondmentle del Clcolo integrle. Teorem 9.22 Se f è continu, denott con G un rbitrri primitiv di f, per ogni ; b 2 I si h b f(x)dx = G(b) Integrzione pprossimt G(): L formul fondmentle del clcolo consente di vlutre gli integrli de niti qundo si conosce un primitiv dell funzione integrnd; d ltr prte sono bbstnz frequenti i csi in cui un primitiv non è not. Per queste ultime situzioni si è sviluppt, nell mbito dell nlisi mtemtic e del clcolo numerico, un teori dett integrzione numeric. Nell gur seguente, titolo di esempio, presentimo, il metodo dei rettngoli mid-point composto: si pprossim R b f(x)dx con l somm s n delle ree di rettngolini venti bse ugule (l intervllo [; b] diviso in n prti uguli) e come ltezz l funzione vlutt nel punto medio di ciscun intervllino. E evidente che quest procedur si può pplicre d un funzione qulsisi; ovvimente ess h senso solo per funzioni di cui si not l integrbilità. Se l

8 8 CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE funzione funzione integrnd è continu (dunque integrbile), si può dimostrre che lim n s n = b Con ulteriori ipotesi su f si dispone nche di formule che vlutno l errore, cioè l di erenz b s n x Ovvimente quest e tutte le ltre procedure di integrzione numeric risultno estremmente lboriose se utilizzte senz un pprto di clcolo utomtico: quindi o si è in grdo scrivere un progrmm di clcolo, oppure si utilizz un softwre mtemtico che già contiene quest funzione. A proposito di softwre dobbimo sottolinere che i Computer Algebr System sono in grdo di clcolre (nei csi in cui è possibile) le primitive, quindi per vlutre gli integrli de niti fnno ricorso direttmente ll formul fondmentle del clcolo integrle. In questo modo risultno drsticmente ridotti gli errori di pprossimzione. 9.5 Clcolo di ree Nel cso di un funzione integrbile e positiv, ci simo già so ermti sull interpretzione dell integrle come re. Nel cso di un generic funzione integrbile l integrle si interpret come somm (lgebric) delle ree prese con segno positivo dove f(x) 0 e con segno negtivo dove f(x) 0. Se simo interessti ll re totle dell regione compres tr il gr co di un funzione, l sse delle scisse e delimitt dlle rette verticli x = ed x = b, dobbimo clcolre b jf(x)j dx:

9 9.6. INTEGRALI IMPROPRI 9 Anlogmente l re dell regione compres tr i gr ci di due funzioni f 1 (x) f 2 (x); delimitt dlle rette verticli x = ed x = b; si ottiene come b (f 2 (x) f 1 (x)) dx: (9.3) Se eliminimo l ipotesi (9.3), llor l re si ottiene come b jf 2 (x) 9.6 Integrli impropri f 1 (x)j dx: Sussiste un proprietà di continuità rispetto l dominio. Proposizione 9.23 Si f : [; b]! R integrbile secondo Riemnn. Risult b f(x)dx = lim c!b = lim c! + c b c f(x)dx A prtire d quest proprietà, voglimo dre signi cto ll integrle per un clsse più mpi di funzioni f(x)dx I con I intervllo illimitto e/o f : I! R illimitt. In qunto segue ; b 2 R, con < b e con le opportune restrizioni nel cso di estremi inclusi. Per semplicità ssumeremo le funzioni continue, quindi vremo immeditmente l integrbilità secondo Riemnn sui sottointervlli chiusi e limitti. Possimo distinguere tre situzioni. Nelle prime due l de nizione viene suggerit direttmente dll proprietà di continuità rispetto l dominio. ) Si f : [; b)! R; si pone b f(x)dx = lim c!b c b) Anlogmente nel cso f : (; b]! R; si pone b f(x)dx = lim c! + b c c) Si f : (; b)! R. Ci si riconduce i csi precedenti ) e b): ssto x 0 2 (; b) si pone b x0 b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = x 0 = lim c! + x0 c f(x)dx + lim c!b c x 0 f(x)dx sotto l condizione che non si trtti di in niti di segno opposto.

10 10 CAPITOLO 9. CALCOLO INTEGRALE De nizione 9.24 In tutti i csi suddetti l funzione f si dice integrbile in senso improprio se i limiti esistono e sono niti. Osservzione 9.25 Nell de nizione e nel clcolo degli integrli impropri non è consentito rimpizzre due limiti seprti con uno simultneo. Ad esempio, se voglimo clcolre R +1 f(x) dx, il risultto di 1 x0 lim c! 1 c f(x) dx + lim c!+1 c f(x) dx x 0 (corretto), potrebbe essere ben diverso d c lim f(x) dx c!+1 c (errto).