INTEGRAZIONE NUMERICA

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1 INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

2 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt un f integrbile su [, b] considerimo I[f] := f(x)dx In lcuni csi non si conosce l primitiv Anche qundo si conosce l primitiv quest può essere troppo complict (mentre f può essere più semplice) ESEMPIO: +t dt = rctn(x) L funzione d integrre può essere dt non in form nlitic, m per punti Si cercno metodi numerici in grdo di fornire un pprossimzione di un integrle in termini di un numero finito di vlori dell funzione integrnd FORMULE DI QUADRATURA INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

3 INTEGRAZIONE NUMERICA Supponimo di conoscere (o di poter vlutre) l funzione integrnd f(x) in punti distinti {x 0, x,..., x n } (scelti o prefissti) in [, b] Costruimo formule del tipo I n+ [f] f(x)dx, I n+ [f] := n w i f(x i ) i=0 x i, i = 0,,..., n: nodi dell formul di qudrtur w i, i = 0,,..., n: pesi dell formul di qudrtur Si definisce l errore di qudrtur ssocito ll formul su n + punti: E n+ [f] = I[f] I n+ [f]. INTEGRAZIONE NUMERICA p.3/33

4 INTEGRAZIONE NUMERICA IDEA IMMEDIATA: Approssimre f(x) con il polinomio di grdo n interpolnte l funzione nei nodi {x i, i = 0,,..., n} (unico se i nodi sono distinti): f(x)dx = (L n (x) + e n (x))dx = L n (x)dx + e n (x)dx dove L n (x) è il polinomio inerpolnte i punti (x 0, f(x 0 )),..., (x n, f(x n )), Formule interpoltorie Se rppresentimo L n (x) nell form di Lgrnge L n (x; f) = f(x)dx = n i=0 f(x i )l (n) i (x), con l (n) i (x) = L n (x)dx+ e n (x)dx = nj=0 j i nj=0 j i n i=0 (x x j ), i = 0,,..., n (x i x j ) f(x i )l (n) i (x)dx+ e n (x)dx = n f(x i ) i=0 l (n) i (x)dx + e n (x)dx INTEGRAZIONE NUMERICA p.4/33

5 FORMULE INTERPOLATORIE D cui si ottiene un pprossimzione dell integrle con l formul di qudrtur: n n f(x)dx L n (x)dx = f(x i ) l (n) i (x)dx = w i f(x i ) i=0 i=0 CASO n =. Considerimo i punti (, f()) e (b, f(b)) e sostituimo ll funzione il polinomio di grdo (l rett) che pss per i punti dti w 0 = l () 0 (x)dx = x b b dx = (x b) b ] b = ( b) b = b w = l () (x)dx = x b dx = (x ) b ] b = (b ) b = b D cui si ottiene l Regol dei Trpezi f(x)dx I [f] := b [f() + f(b)] INTEGRAZIONE NUMERICA p.5/33

6 FORMULE INTERPOLATORIE ESEMPIO : pplichimo l regol dei trpezi per pprossimre l integrle seguente: I[f] = 0 dx + x = ln() In questo cso = 0 e b = e f(x) = ; pplichimo l formul: +x I [f] = b [f() + f(b)] = [f(0) + f()] = [ ] = ( + ) = = 0.75 f() y=f(x) f(b) b INTEGRAZIONE NUMERICA p.6/33

7 FORMULE INTERPOLATORIE CASO n =. Considerimo i punti ( h, f( h)), (0, f(0)) e (h, f(h)) e sostituimo ll funzione il polinomio di grdo che pss per i punti dti w 0 = w = w = h h h h h h l () 0 (x)dx = h h l () (x)dx = h h l () (x)dx = h h x(x h) h dx = h (x + h)(x h) h dx = h x(x + h) h dx = h ( 3 x3 )] h x h ( 3 x3 + h x = h h 3 )] h = 4 3 h h ( 3 x3 + )] h x h = h h 3 D cui si ottiene l Regol di Simpson h h f(x)dx I 3 [f] = h 3 [f( h) + 4f(0) + f(h)] e su un generico intervllo [, b]: f(x)dx I 3 [f] := b 6 [ f() + 4f ( ) + b ] + f(b) INTEGRAZIONE NUMERICA p.7/33

8 FORMULE INTERPOLATORIE ESEMPIO : pplichimo l regol di Simpson per pprossimre l integrle seguente: I[f] = 0 dx = ln() x In questo cso = 0 e b = e f(x) = +x d cui I 3 [f] = b 6 = 6 [ f() + 4f ( ) + b ] + f(b) [ / + ] + = 6 = 6 [ f(0) + 4f ( ) ( ) = ] + f() f() y=f(x) f(b) (+b)/ b INTEGRAZIONE NUMERICA p.8/33

9 FORMULE INTERPOLATORIE TRAPEZI SIMPSON f() f(b) b (+b)/ b INTEGRAZIONE NUMERICA p.9/33

10 GRADO DI PRECISIONE L precisione di un formul di qudrtur è legt ll bontà con cui I n+ [f] pprossim I[f] = f(x)dx, pertnto in generle è dipendente dll funzione integrnd. Si esmin per qule clsse di funzioni è estt (cioè I n+ [f] = I[f]) DEFINIZIONE: Un formul di qudrtur h grdo di precisione k se è estt qundo l funzione integrnd è un polinomio di grdo k, ed esiste lmeno un polinomio di grdo k + per cui l errore risulti non nullo. (Tle definizione è giustifict dl teorem di Weierstrss. ) Vle il teorem seguente TEOREMA: Le formule di qudrtur interpoltorie costruite su n + nodi, hnno grdo di precisione lmeno n. Deriv dll espressione dell errore di interpolzione: e n (x) = f(x) L n (x) = ω n+ (x)f[x 0, x,..., x n, x], tenendo presente che f[x 0, x,..., x n, x] = 0 per f IP n. INTEGRAZIONE NUMERICA p.0/33

11 GRADO DI PRECISIONE ES: L formul di Simpson h grdo di precisione 3: l formul è estt per f(x) = x 0 : h h x0 dx = x] h h = h I 3[x 0 ] = h [f( h) + 4f(0) + f(h)] = 3 h [ ] = h 3 f(x) = x ] h h h x dx = x = 0 I 3[x] = h h 3 [f( h)+4f(0)+f(h)] = h 3 [ h+h] = 0 f(x) = x ] h h h x dx = x3 3 h 3 [( h) + h ] = 3 h3 f(x) = x 3 ] h h h x3 dx = x4 4 = h 3 h3 I 3 [x ] = h [f( h) + 4f(0) + f(h)] = 3 = 0 I 3[x 3 ] = h [f( h) + 4f(0) + f(h)] = h 3 h 3 [ h3 + h 3 ] = 0 mentre non è estt per f(x) = x r con r 4 h h x4 dx = x5 5 ] h = h 5 h5 I 3 [x 4 ] = h [f( h) + 4f(0) + f(h)] = 3 h 3 [( h)4 + h 4 ] = 3 h5 INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

12 FORMULE di NEWTON-COTES Si trtt di formule di qudrtur di tipo interpoltorio su nodi equidistnti: dto [, b] posto h = b, considerimo i punti equispziti (tipo chiuso): n x i = + ih, i = 0,..., n cerchimo l espressione dei pesi delle formul interpoltori corrispondente: n w i f(x i ) : w i = i=0 xn x 0 l (n) i (x)dx = xn x 0 nj=0 j i nj=0 j i (x x j ) (x i x j ) dx utilizzimo il cmbimento di vribili x = + th d cui dx = hdt: w i = h n 0 nj=0 j i nj=0 j i ( + th ( + jh)) ( + ih ( + jh)) dt = h n 0 nj=0 j i nj=0 j i (t j)h (i j)h dt = hα i INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

13 FORMULE di NEWTON-COTES Quindi un formul di Newton-Cotes su [, b] generico può essere scritt nell form: n I n+ [f] = h α i f(x i ), h = b n dove gli α i sono pesi in [0, n]. i=0 Poichè gli α i non dipendono d h m solo d n, sono stti tbulti su delle tbelle l vrire di n nell form α i = cβ i. (si noti l simmetri centrle degli α i ovvero α i = α n i ): n c β 0 β β β 3 β 4 β 5 Errore h3 f () (η) h5 f (4) (η) h5 f (4) (η) h7 f (6) (η) h7 f (6) (η) INTEGRAZIONE NUMERICA p.3/33

14 FORMULE di NEWTON-COTES ESEMPIO 3: pplichimo l formul di Newton-Cotes con n = 3 per pprossimre l integrle seguente: I[f] = Si h: = 0, b = e n = 3 d cui h := b n = 3 0 dx + x = ln() x 0 = 0, x = 3, x = 3, x 3 = α 0 = 3 8, α = 3 8 3, α = 3 8 3, α 3 = 3 8 I 4 [f] := h[α 0 f(x 0 ) + α f(x ) + α f(x ) + α 3 f(x 3 )] = 3 3 [ ( ) ( ) ] f(0) + 3f + 3f + f() [ ( + 3 ) ( ) ] + /3 + /3 = 8 = INTEGRAZIONE NUMERICA p.4/33

15 ERRORE FORMULE di QUADRATURA Per formule di tipo interpoltorio: E n+ [f] = (f(x) L n (x))dx = e n (x)dx = f (n+) (η) (x x 0 ) (x x n )dx (n + )! Per formule di Newton-Cotes con h = b n : E n+ [f] = f (n+) (η) (n + )! n (x ( + jh))dx j=0 = x=+th dx=hdt = n 0 f (n+) (η) (n + )! n (t j)h hdt = j=0 hn+ (n + )! n 0 f (n+) (η) n (t j)dt j=0 ESEMPIO: per l formul dei trpezi: E [f] = h3! 0 f () (η)t( t)dt dove t( t) 0 in [0, ]. INTEGRAZIONE NUMERICA p.5/33

16 ERRORE FORMULE di QUADRATURA Studindo meglio l integrle si può ottenere il seguente (se l funzione non cmbi segno si può pplicre il teorem dell medi integrle) TEOREMA: Dt un formul di qudrtur di Newton-Cotes sui nodi x i = + ih, con h = b, i = 0,..., n, si h per l errore le seguenti espressioni n per n pri e f C n+ [, b] : E n+ [f] = f (n+) (η)h n+3 (n + )! n n 0 j=0 t(t j)dt per n dispri e f C n+ [, b] : E n+ [f] = f (n+) (η)h n+ (n + )! n n 0 j=0 (t j)dt dove η, η [, b] = [x 0, x n ]. INTEGRAZIONE NUMERICA p.6/33

17 ERRORE FORMULE di QUADRATURA Le formule di qudrtur con n pri (numero dispri di nodi) hnno grdo di precisione n + ESEMPIO: l formul di Simpson n = h grdo di precisione 3 in qunto l errore coinvolge l derivt f (4) (η) che è null per f IP 3 Le formule di qudrtur con n dispri (numero pri di nodi) hnno grdo di precisione n ESEMPIO: l formul dei Trpezi n = h grdo di precisione, in qunto l errore coinvolge l derivt f () (η) che è null per f IP È più conveniente usre formule con n pri. INTEGRAZIONE NUMERICA p.7/33

18 CONVERGENZA Dl teorem di Weierstrss discende nche il seguente TEOREMA: Si {I n+ [f]} un successione di formule di qudrtur tli che I n+ [f] bbi grdo di precisione lmeno n, ed equilimitte (i.e. C : I n+ < C, n). Allor si h lim I n+[f] = I[f] n DIM:Poichè l formul di qudrtur h grdo di precisione lmeno n si h che I n+ [p] = I[p], p IP n, ne segue E n+ [f] = I[f] I n+ [f] = I[f] I[p] + I n+ [p] I n+ [f] = I[f p] I n+ [f p] E n+ [f] ( I + I n+ ) f p ( I +C) f p Per il Teorem di Weierstrss p IP n convergente f E n+ [f] 0. TEOREMA: Dt un fmigli di formule di qudrtur interpoltorie I n+ [f] tli che H : n tle che i=0 w i < H. Allor lim E n+[f] = 0 n Per formule interpoltorie n i=0 w i = b : essendo estte su f(x) = si h b = dx = I[] = n i=0 w i. se w i 0 si h n i=0 w i = n i=0 w i = b : convergenz per formule interpoltorie con pesi positivi. INTEGRAZIONE NUMERICA p.8/33

19 CONVERGENZA Contrrimente qunto potrebbe sembrre prim vist non conviene usre formule di Newton-Cotes di grdo di precisione vi vi crescente I pesi tendono crescere in modulo e d essere di segno lterno, dndo luogo rilevnti errori di rrotondmento (per es. errori di cncellzione). Ad esempio per n = 0 si h β 0 = β 0 = 6067, β = β 9 = 06300, β = β 8 = 4855, β 3 = β 7 = 7400, β 4 = β 6 = 60550, β 5 = Pertnto un piccolo errore δ i nel clcolo di f(x i ) può dr luogo l crescere di n d un contributo oscillnte di mpiezz crescente, rendendo instbile il procedimento numerico. Si Ĩn+[f] l formul clcolt in precisione finit: Ĩ n+ [f] := n w i (f(x i ) + δ i ) Ĩn+[f] I n+ [f] = n n w i δ i < δ w i i=0 i=0 i=0 con δ = mx i δ i. Ne segue che l errore di rrotndmento ccumulto rimne limitto se d esempio i pesi w i sono segno costnte ed in prticolre positivo. Si sconsigli di utilizzre formule di Newton-Cotes di grdo elevto. INTEGRAZIONE NUMERICA p.9/33

20 FORMULE COMPOSITE (Newton-Cotes) Per vere l convergenz: n i=0 w i < H l stbilità: w i 0 conviene considerre n bsso e h piccolo, ossi suddividere [, b] in N sottointervlli [z k, z k+ ], k = 0,..., N su ciscuno pplicre un formul di qudrtur con bsso grdo (di precisione) f(x)dx = N k=0 zk+ z k f(x)dx N k=0 I (k) n+ [f] I (k) n+ [z k, z k+ ] può essere d esempio l formul di Newton-Cotes con n + nodi in INTEGRAZIONE NUMERICA p.0/33

21 FORMULA COMPOSITA dei TRAPEZI [z k, z k+ ] = [ + k b N b, + (k + ) N ] f(x)dx N k=0 (z k+ z k ) [f(z k ) + f(z k+ )] I N T [f] := (b ) N [ f() + N k= f(z k ) + f(b) ] INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

22 FORMULA COMPOSITA di SIMPSON [z k, z k+ ] = [ + k b N b, + (k + ) N ] f(x)dx N k=0 (z k+ z k ) 6 [ f(z k ) + 4f ( ) zk+ + z k ] + f(z k+ ) I N S [f] := (b ) 6N [ f() + 4 N k=0 f ( ) zk+ + z k + N k= f(z k ) + f(b) ] =z 0 z z z 3 z 4 =b INTEGRAZIONE NUMERICA p./33

23 FORMULE COMPOSITE ESEMPIO 4: pplichimo l formul dei Trpezi e di Simpson composit su intervlli per pprossimre l integrle seguente: I T I[f] = 0 dx + x = ln() = 0, b =, N =, z 0 = 0, z =, z = [f] := b N [f(z 0) + f(z ) + f(z )] = 4 4 IS b [f] := 6N = = [ ( + ) + ] + / [ f(z 0 ) + 4f [ f(0) + 4f [ ( + 4 [ f(0) + f = = ( ) ( ) ( ) z0 + z z + z + f(z ) + 4f ( ) ( ) ( ) ] 3 + f + 4f + f() 4 4 ] + f() ) ( ) ( ) ] + /4 + / + 3/4 ] + f(z ) = INTEGRAZIONE NUMERICA p.3/33

24 GRADO di PRECISIONE (Formule composite) Il grdo di precisione delle formule composite è lo stesso delle corrispondenti formule di Newton-Cotes semplici Si può fcilmente dimostrre che E N T [f] (b ) ( ) b f () (η) N E N S [f] (b ) 80 ( ) b 4 f (4) (η) N con η, η [, b] Per funzioni sufficientemente regolri, si h lim N EN n+[f] = 0, e quindi si h l convergenz ll umentre del numero di suddivisioni N. INTEGRAZIONE NUMERICA p.4/33

25 IMPLEMENTAZIONE In prtic è importnte determinre un vlore deguto del numero di suddivisioni dell intervllo che bisogn fre. Si prte d N piccolo e si ument itertivmente il numero di suddivisioni, stimndo l errore in modo utomtico: I N n+[f] I N n+[f] Di solito è conveniente considerre N = N, per sfruttre le vlutzioni di f ftte per costruire I N n+ [f] Le formule composite con suddivisione uniforme dell intervllo di integrzione sono ormi superte, trnne in csi prticolri (funzioni periodiche). Si usno formule di tipo dttivo: Qundo l funzione integrnd present delle irregolrità c è l necessità di ddensre nodi nelle vicinnze delle irregolrità L intervllo viene suddiviso in sottointervlli di mpiezz divers Si usno molti nodi solo dove necessrio Per cpire dove infittire l sequenz dei nodi si usno stime dell errore. INTEGRAZIONE NUMERICA p.5/33

26 ESERCIZI INTEGRAZIONE NUMERICA p.6/33

27 Esecizio. Vlutre l errore che si commette pprossimndo l integrle 0 e x dx con l formul di Newton-Cotes su 4 nodi (n = 3). = 0, b =, n = 3, h = b n = 3 E 4 [f] = 3 80 h5 f (4) (η) = 3 80 ( ) 5 e η 3 E 4 [f] mx [0,] {ex } = 80 8 e = e 6480 < INTEGRAZIONE NUMERICA p.7/33

28 Esecizio. Approssimre l integrle 0 e x dx con l formul di Newton-Cotes su 4 nodi (n = 3). = 0, b =, n = 3, h = b n = 3 x 0 = 0, x = 3, x = 3, x 3 = α 0 = 3 8, α = 3 8 3, α = 3 8 3, α 3 = 3 8 I 4 [f] := h[α 0 f(x 0 ) + α f(x ) + α f(x ) + α 3 f(x 3 )] = [ f(0) + 3f ( ) + 3f 3 ( ) 3 ] + f() = 8 [ + 3 e /9 + 3 e 4/9 + ] e INTEGRAZIONE NUMERICA p.8/33

29 Esecizio 3. Ricordndo che ln() = dx x pprossimre ln() con l formul dei trpezi composit scegliendo il numero di intervlli N in modo d commettere un errore di pprossimzione minore di 0 4. ( ) ET N [f] = b b f (η) N ( N ) mx [,] f (x) f (x) = x, f (x) = x 3 mx [,] f (x) = ET N [f] N = 6N < 0 4 per N > quindi occorre suddividere l intervllo [, ] in lmeno 4 sottointervlli. Con l formul di Simpson composit: E N S [f] = b 80 ( ) b 4 f (η) (4) N 880N 4 mx [,] f (4) (x) f (3) (x) = 6 x 4, f (4) (x) = 4 x 5 mx [,] f (4) (x) = 4 E N S [f] 4 880N 4 = 0N 4 < 0 4 per N 4 > 04 0, N > INTEGRAZIONE NUMERICA p.9/33

30 Esecizio 4. Dto x dx = 0 xdx + 0 xdx = + = lo si pprossimi con l formul dei trpezi composit scegliendo N = e successivmente N = 3. Si vluti in entrmbi i csi l errore ottenuto e si commentino i risultti. =, b = : N = z 0 =, z = 0, z = ; IT b [f] := N [f(z 0) + f(z ) + f(z )] = [ ] = [f( ) + f(0) + f()] N = 3 z 0 =, z = 3, z = 3, z 3 = ; I 3 T b [f] := N [f(z 0) + f(z ) + f(z ) + f(z 3 )] = [ ( f( ) + f ) ( ) ] + f + f() = 3 [ ] = 0/9 Si not che mentre I T [f] fornisce il vlore estto dell integrle, con I 3 T [f] l pprossimzione peggior. INTEGRAZIONE NUMERICA p.30/33

31 Esecizio 4 (segue...) Stimimo desso l errore in entrmbi i csi. Le derivte dell funzione sono: f (x) = E T [f] = b, [, 0), [0, ] ( ) b f (η) N (, f (x) = 0. ) mx [,] f (x) = 6 mx [,] f (x) = 0 E 3 T [f] = b ( ) b f (η) N ( 3 ) mx [,] f (x) = 3 3 mx f (x) = 0 [,] In entrmbi i csi si stim un errore nullo, m di ftto l pprossimzione peggior pssndo d 3 intervlli. Tle risultto è dovuto l ftto che l funzione integrnd non è regolre (l derivt prim non è continu). INTEGRAZIONE NUMERICA p.3/33

32 Esecizio 5. Si vuol pprossimre l integrle 0 e x dx con un errore in modulo non superiore Si determini un stim dell errore utilizzndo formule di Newton-Cotes per diversi vlori di n. = 0, b =, h := b. Clcolimo le derivte di f : n f (x) = xe x, f (x) = (x )e x, f (3) = 4x(3 x )e x f (4) = 4(4x 4 x + 3)e x, f (5) = 8x(0x 4x 4 5)e x, f (6) = 8(8x 6 60x x 5)e x. n = : h = E [f] = h3 f (η) mx f (x) = [0,] f (0) = 6 n = : h = E 3[f] = 90 h5 f (4) (η) 90 5 mx f (4) (x) = [0,] 90 5 f (4) (0) = 40 n = 4 : h = 4 E 5[f] = h7 f (6) (η) mx f (6) (x) = 8 [0,] f (6) (0) = INTEGRAZIONE NUMERICA p.3/33

33 Esecizio 5 (segue...) Poichè E 5 [f] < , utilizzndo l formul di Newton-Cotes con n = 4, si ottiene un vlore che pprossim l integrle estto meno di Risult h := b n = 4 x 0 = 0, x = 4, x =, x 3 = 3 4, x 4 = α 0 = 45 7, α = 45 3, α = 45, α 3 = 45 3, α 4 = 45 7 I 5 [f] := h[α 0 f(x 0 ) + α f(x ) + α f(x ) + α 3 f(x 3 ) + α 4 f(x 4 )] = [ ( ) ( ) ( ) ] 4 3 7f(0) + 3f + f + 3f + 7f () = 90 [ e/6 e/4 e 9/6 + 7 e ] = e dto che I[f] = , l errore generto è circ 0 5. INTEGRAZIONE NUMERICA p.33/33