INTEGRAZIONE NUMERICA DI UNA FUNZIONE

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1 INTEGRAZIONE NUMERICA DI UNA FUNZIONE Pro.Dniele Attmpto L vlutzione di integrli deiniti qundo non è not l primitiv dell unzione integrnd o qundo il procedimento nlitico riult compleo richiede l ppliczione di metodi numerici. I metodi di integrzione numeric, chimti nche qudrture, ono tti viluppti molto prim dell invenzione dei clcoltori elettronici. Intti e l derivt di un unzione può empre eere clcolt, in generle l integrle di un unzione, e pur elementre, non è empre otteniile nliticmente. Per queto motivo già nel 18-eimo e 19-eimo ecolo ono tti viluppti metodi numerici per il clcolo degli integrli. Qui tutti i metodi di qudrtur numerici i no, in un modo o nell ltro, ull ide di dividere l intervllo di integrzione in intervlli più piccoli, timre l integrle u cicun intervllo ruttndo il tto che ono piccoli e riommre il contriuto di tutti gli intervlli. Chirmente l ide è quell di riucire timre il più ccurtmente poiile l integrle con il numero minimo di intervllini. 1

2 Vntggio: Le tecniche numeriche i no ull ppliczione di un ormul che u i vlori che l unzione integrnd ume ll interno dell intervllo di integrzione. Ogni ormul di integrzione numeric h un uo grdo di preciione intti: n x dx i= 1 = c i x i R n il primo termine è detto prte pproimnte e Rn errore di troncmento.

3 L vlutzione numeric dell integrle vviene trmite l cotruzione di un opportun ucceione di vlori {xi}, tle che riulti: lim n n = i xi i= 1 R n = c x dx 0 L ucceione {xi} dei vlori coniderti dipende dl prticolre procedimento itertivo pplicto. Nei ucceivi prgri rnno nlizzti lcuni tr i metodi di integrzione numeric più emplici d relizzre: il metodo dei rettngoli, il metodo dei trpezi ed il metodo di Cvlieri-Simpon. 3

4 1. METODO DEI RETTANGOLI Il metodo dei rettngoli è il metodo itertivo più emplice per clcolre l integrle deinito di un unzione x rele e continu in un intervllo chiuo e limitto [,]. Eo conite nel: uddividere l intervllo di integrzione [,] in un certo numero n di ottointervlli di pri mpiezz; pproimre l unzione, ll interno di cicun ottointervllo, con il vlore cotnte che quet ume nel uo punto medio. Pertnto il clcolo dell integrle numerico viene quindi corripondere con l omm delle ree degli n rettngoli venti come e l mpiezz cotnte dei ottointervlli h = -/n e come ltezz il vlore che l unzione ume nel punto medio di cicun intervllo vedi Fig.1. 4

5 Fig.1 Interpretzione gric dell integrzione numeric econdo il metodo dei rettngoli n=4. 5

6 L ormul riultnte, nel co in cui i celg n=1 riult: x dx I1 = h * h ove h=- I=omm integrle Nel co in cui n= riult: h h x dx I = h * h * h ove h=-/ Nel co di n generico riult: x dx n 1 1 In = h* i 0 i* h = ove h=-/n Come implementre l Σ clcolo dell I n : il procedimento di clcolo dell integrle, può eere emplicemente relizzto prevedendo n iterzioni d 0 n-1 e incrementndo, d ogni po i, l omm integrle precedente con il vlore: h*1/i*h. 6

7 Intti l x ume i vlori: h/, h/h, h/hh...ovvero d ogni iterzione x=1/i*h i=0 i=1 i= Condizione di rreto: Non è noto priori il vlore che deve umere n, perché tle vlore dipende dll preciione richiet. Il progrmmtore deve quindi operre in tl modo: n=1 clcolo I1 n= clcolo I n=3 clcolo I3. L lgoritmo i rret qundo l dierenz, in modulo, tr due pproimzioni ucceive omme integrli conecutive è minore dell preciione che i vuole rggiungere nel clcolo errore oluto. 7

8 NB: Nel metodo dei rettngoli, in concluione, i pproim l unzione, in ogni ottointervllo, con l rett prllel ll e x di equzione y = x i e viene commeo un errore di pproimzione che in genere richiede un elevto numero di iterzioni prim di giungere d un riultto ccettile. Eercizio 1 Produrre un relzione che illutri il metodo numerico dei rettngoli. Dto il eguente prolem: Integrre l unzione y=x nell intervllo [,], medinte il metodo numerico dei rettngoli. Dti di input: - intervllo [,] - errore oluto e. e=0,001 Dti di output: - riultto pproimto dell integrle deinito - numero di rettngoli utilizzti relizzre l lgoritmo riolutivo e il reltivo progrmm in ling. C. 8

9 . METODO DEI TRAPEZI Il metodo dei trpezi conite nel uddividere l intervllo di integrzione [,] in un certo numero di ottointervlli n e nell pproimre l unzione, ll interno di cicun intervllo, con l pezzt che congiunge i punti per cui p il grico dell unzione gli etremi di ogni intervllo. Il clcolo dell integrle, pertnto, corriponde ll omm delle ree dei trpezi venti: come ltezz l mpiezz dei ottointervlli h = -/n; come e mggiore e minore i vlori che l unzione ume gli etremi dei ingoli ottointervlli vedi Fig.. 9

10 Per n=1, riult: h x dx I1 = * dove h=- Per n=, riult: h x dx I = * h h dove h=-/ Per n generico: x dx n 1 h In = *[ ih i i 0 1 h] = dove h=-/n 10

11 Come implementre l Σ clcolo dell I n : Il procedimento di clcolo dell integrle, può eere emplicemente relizzto prevedendo n iterzioni d 0 n-1 e incrementndo, d ogni po i, l omm integrle precedente con il vlore: h/*[ihi1h]. Condizione di rreto: Non è noto priori il vlore che deve umere n. Il progrmmtore deve quindi operre in tl modo: n=1 clcolo I1 n= clcolo I n=3 clcolo I3. L lgoritmo i rret qundo l dierenz, in modulo, tr due vlori omme integrli ucceivmente clcolti è minore dell preciione che i vuole rggiungere nel clcolo. 11

12 NB: Si può dimotrre che l errore commeo undo l ormul trpezoidle è molto minore ripetto quello commeo undo l ormul rettngolre, pertnto il riultto ottenuto prità di ottointervlli riult più corretto. Eercizio 1 Produrre un relzione che illutri il metodo numerico dei trpezi. Dto il eguente prolem: Integrre l unzione y=x metodo numerico dei trpezi. nell intervllo [,], medinte il Dti di input: - intervllo [,] - errore oluto e. e=0,001 Dti di output: - riultto pproimto dell integrle deinito - numero di trpezi utilizzti relizzre l lgoritmo riolutivo e il reltivo progrmm in ling. C. 1

13 3. METODO DI CAVALIERI-SIMPSON Il metodo di Cvlieri-Simpon conite nel uddividere l intevllo [,] in un certo numero di ottointervlli n e nell pproimre l unzione, ll interno di ogni ottointervllo, con un prol pnte per tre punti equiditnti: due ono individuti dl vlore che l x ume nei due etremi del ottointervllo ed il terzo dl vlore che l x ume nel punto medio del ottointervllo. Clcolo dell re otte d un prol pnte per tre punti equiditnti. 13

14 Come è evidente dl grico ottenuto per n=, ogni ottointervllo viene uddivio metà, per cui l mpiezz di rierimento è tvolt pri : = h/ 14

15 15 Per n=1, riult: 4 * 3 1 I dx x = dove =-/ Per n=, riult: [ ] [ ] = I dx x * 3 4 * 3 dove =-/4 Per n generico: ] 1 4 *[ i i i I dx x n i n = = dove =-/n

16 Condizione di rreto: Non è noto priori il vlore che deve umere n. Il progrmmtore deve quindi operre in tl modo: n=1 clcolo I1 n= clcolo I n=3 clcolo I3. L lgoritmo i rret qundo l dierenz, in modulo, tr due vlori omme integrli ucceivmente clcolti è minore dell preciione che i vuole rggiungere nel clcolo. 16

17 Eercizio 1 Produrre un relzione che illutri il metodo numerico di C.Simpon. Dto il eguente prolem: Integrre l unzione y=x 4 1 nell intervllo [1,4], medinte il metodo numerico di C.Simpon. Dti di input: - intervllo [,] - errore oluto e= Dti di output: - riultto pproimto dell integrle deinito - numero di prole utilizzte relizzre l lgoritmo riolutivo e il reltivo progrmm in ling. C. 3 Conrontre i riultti ottenuti utilizzndo il metodo dei rettngoli ed il metodo dei trpezi. 17