Soluzione. Studiamo la funzione. Dominio: la funzione è definita in tutto R; Intersezione asse ascisse: ( x)

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1 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Soluzione Studimo l unzione Dominio: l unzione è deinit in tutto R; ; Intersezione sse sisse: Intersezioni sse delle ordinte: y ; Prità o disprità: l unzione è dispri in qunto ; Positività: > ioè ponendo mbo i ttori l disutimo ol metodo del lso sistem e mggiori di zero e poi mettendo i risultti sull stess rett dei reli e vedendo il segno mggiore dove è soddistto ome rppresentto nell igur sottostnte:

2 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Per ui > ; Asintoti vertili: non e ne sono visto e il dominio è tutto R; Asintoti orizzontli: non e ne sono: intti lim lim ; Asintoti obliqui: non e ne sono: intti lim lim ; Cresenz e deresenz: l derivt prim è: ' per ui l unzione è resente in e deresente ltrove; l derivt seond è 8 ' ' per ui è un lesso. Inoltre 6 '' 6 ' ' > < per ui è un minimo reltivo e è un mssimo reltivo. Il grio è sotto presentto:

3 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Le regioni riieste sono indite nell igur sottostnte: dove ovvimente < < ondizione d soddisre iné nel primo qudrnte i sino due intersezioni on l urv e quindi esistno due dierenti regioni R ed S. Dobbimo imporre [ ] d d d d d d d d S A R A Or poié l ondizione soprstnte può essere sritt ne ome.

4 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Inoltre il punto B pprtiene ll urv ioè. Quindi dobbimo risolvere il sistem seguente: e sottrendo l un dll ltr si trov ilmente. Or sostituendo questo vlore nell seond equzione bbimo: Or le soluzioni non sono ettbili peré ornisono in orrispondenz un vlore di negtivo o nullo per ui il vlore ettbile è. Quindi il punto B oordinte B. L ltro punt di intersezione del primo qudrnte A lo si trov llor dll soluzione dell equzione 8 7 Or riordndo dl disorso ppen tto e pprtiene ll urv si può pplire Ruini ed bbssre il grdo dell equzione : intti si : in ui l soluzione e rppresent l intersezione dell rett on l urv nel seondo qudrntev srtt in qunto negtiv.

5 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol 5 In onlusione B A per ui A e B Le equzioni dell simmetri e trsormno nell su simmetri e vievers sono: 8 ' ' y y Per ui l equzione dell urv simmetri trlsindo gli pii srà 8 y ome rppresentto nell igur seguente:

6 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Si onsideri l igur seguente: Soluzione Ogni tringolo rettngolo è insrivibile in un semiironerenz on dimetro pri ll ipotenus; per ui l medin e divide l ipotenus in due prti uguli non è ltro e il segmento ongiungente un punto dell semiironerenz on il entro; ioè per deinizione di rggio l medin oinide on il rggio dell ironerenz irosritt l tringolo rettngolo per ui è l metà dell ipotenus BC. Fimo tli ssunzioni: b lungezz del teto AB lungezz del teto AC lungezz dell'ipotenus BC misur dell'ltezz AH In bse tli ssunzioni riordndo e l re di un tringolo rettngolo è il seguente sistem: b A v risolto 6

7 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol 7 b b b b Quindi sostituendo si : Cioè i trovimo di ronte d un equzione biqudrti e si risolve ponendo d ui: e quindi in ui l soluzione ol meno v evidentemente srtt in qunto negtiv. Quindi. Or riordndo l ormul dei rdili doppi si : [ ] Per l ltro teto invee: [ ] b m m m Considerimo l igur sottostnte:

8 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Posto AB si AC Clolimo or le derivte: on V. Il volume del ono è pri : ono bse π A * V V V ' ono '' ono '' ono π π π < per ui il volume mssimo lo si rggiunge per ed è pri V π V m. m. litri ono m ono Un modo lterntivo di proedere è utilizzre l trigonometri per ui posto : per ui on V ono AC os AB sin bse ˆ π BCA si A * π os sin π sin os π g g sin os π Ane in tl so si proede ttrverso le derivte per l mssimizzzione dell unzione g sin os on π : 8

9 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol g' os os sin os os [ os sin ] [ os ] π Or os per ui : [ os ] [ os ] g ' os os os Or l disequzione os nell intervllo π non è mi veriit poié in esso il oseno è sempre positivo mentre os in π è veriit per ros per ui in π g' ros. Or per l derivt seond si : g' ' os sin sin sin g' ' ros [ os ] < In onlusione il vlore dell ngolo e mssimizz il volume è ros ed il volume ono π π ome già mssimo è V V ros m. litri ono m preedentemente mostrto. Lo sviluppo pino dell superiie lterle del ono rppresent un settore irolre di rggio pri ll potem del ono pri ioè ll ipotenus del tringolo di prtenz ome sotto rppresentto:

10 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Il nostro sopo è determinre l ngolo α. Riordndo e l lungezz di un ro di ironerenz è pri l prodotto del rggio per l ngolo l entro espresso in rdinti si : l BC * α dove l rppresent l ironerenz di bse del ono e quindi è l π r π π per ui l π α π 5. rd ed espresso in grdi è BC 8 α π * 8 * 56''' π.

11 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Soluzione Bisogn risolvere il sistem b b b Or l prim ondizione quell di uguglinz tr somm e prodotto può essere risritt ome b per ui tle relzione non è deinit per. Inoltre l ondizione b omport soddisno l sistem b. Quindi tutte le oppie b e soddisno le riieste del quesito. Il quesito può ne essere interpretto geometrimente: in prtiolre le oppie di numeri b e soddisno l quesito sono quelle oppie e dnno luogo d un unzione omogri di

12 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol sintoto vertile ed sintoto orizzontle b d ui vnno esluse le due oppie per le onsiderzioni sopr tte peré soddisno ll ondizione e l somm si ugule l prodotto m nno siss ed ordint ugule. Cioè in onlusione le oppie riieste sono tutte quelle e pprtengono ll iperbole di equzione b ui vnno sottrtte quelle dte dll intersezione dell iperbole on l bisettrie del primo e terzo qudrnte di equzione b ome sotto rppresentto: Si onsideri l igur seguente in ui vengono rppresentti in sezione l ser ed il ilindro equiltero: L sezione del ilindro essendo equiltero è il qudrto ABCD. L ltezz del ilindro llor oiniderà ol dimetro di bse per ui r. Inoltre il rggio R dell ser srà l metà dell

13 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol r digonle del qudrto per ui R r. L superiie totle del ilindro è S ilindro πr πr πr r π S ser R per ui S ilindro S ser πr πr r πr r r π 6πr r 8πr Un unzione ome quell riiest può essere un ubi di equzione L derivt prim dell unzione è y ' b mentre quell dell ser è ed imponendo ' y b d. y si rivno due ondizioni : b b e se si sottre l un dll ltr si riv subito b e. L derivt seond è y' ' 6 b 6 ed iné l unzione bbi il mssimo in o il minimo in - deve dere e y '' 6 < < oppure y '' 6 > < per ui segliendo < vengono soddistte le ondizioni e i punti e - sino estremi reltivi. Inoltre imponendo il pssggio per i punti suddetti si rivno gli ltri prmetri dell urv y d : intti si rivno ltre due ondizioni: d d. Il sistem d risolvere è llor : on eettivmente minore di zero. L urv è llor d d d d 5 d 5 y on grio sotto presentto:

14 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Considerimo l unzione y e. Si : lim Inoltre l unzione è sempre resente visto e sempre resente sisse in uno ed un sol punto. e lim e y' e > R. Quindi l unzione è tende tende quindi ess interseerà l sse delle Un ltro modo di proedere è l vi gri risolvendo il sistem seguente: sotto rppresentto: y e y Per pire in e intervllo si trov l unio zero si not e y > y e < per ui per il teorem degli zeri : e preeriti d esempio quello di bisezione si lol e. 58. Appliimo tle metodo ll intervllo -:. < ; e. In prtiolre on uno dei metodi numerii

15 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol. > e ;. < 8 8 e 8 8 ; < e 6 6 ; 5. 7 < e ; < e 6 6 ; 7. 7 > 8 8 e ; < e ;. < 5 5 e ; < 65 e 8 65 per ui. 58 ; in prtiolre 8 Quindi l pprossimzione potrebbe essere più preis e trovre Esistono ininite espressioni di g e soddisno lle ipotesi del problem: quell più bnle è l unzione non ostnte g. Un ltr migli di espressioni può essere 6 g ln ' * * g ln g' n n R * e osì vi. 5

16 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol Le due unzioni presentno l stess derivt peré dierisono per un ostnte: intti g ln ln ln ln ln ln ln ln per ui riordndo e l derivt di un ostnte è zero è stto dimostrto qunto riiesto. 7 Si onsideri l igur seguente: Per un not ormul trigonometri l re di un tringolo può essere espress ome semiprodotto di due lti per il seno dell ngolo ompreso per ui sin δ è mssimo il seno per ui è mssim qundo sin rettngolo. AT b e tle re è mssim qundo π δ δ ioè è mssim per un tringolo 8 Il grdo sessgesimle si deinise ome l treentosessntesim prte dell ngolo giro ed i suoi sottomultipli sono il primo ed il seondo. Il rdinte misur l ngolo l entro e sottende un ro di ironerenz di lungezz pri l rggio. Il grdo entesimle rppresent invee l quttroentesim prte dell ngolo giro. L relzione tr grdo e rdinte è: α rd π α rd α 8 α 8 π 8 In prtiolre se α rd α 57 7'' '. π L relzione tr grdi sessgesimli e entesimli è α. ' 5' '. ent α sess α α ent sess α 6.α sess ent e se 6

17 Sessione ordinri LS_ORD Soluzione di De Ros Niol L integrle riiesto lo si lol on l integrzione per prti: rsin d [ rsin ] [ rsin ] [ rsin ] [ ] [ rsin ] π rsin d d Riordimo ome si deinise un unzione: :A B A! y B : y Dobbimo llor rere un orrispondenz tr tutti gli elementi di A e quelli di B non neessrimente tutti quelli di B potendo ripetere ne lo stesso elemento. Per ui il numero di pplizioni è dto dlle disposizioni di oggetti in gruppi di e riordndo il lolo ombintorio tle numero è pri D ' n 8. n. 7