Strumenti Matematici per la Fisica

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Gabriela Pini
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1 Strumenti Mtemtici per l Fisic

2 Strumenti Mtemtici per l Fisic Approssimzioni Notzione scientific (o esponenzile) Ordine di Grndezz Sistem Metrico Decimle Equivlenze Proporzioni e Percentuli Relzioni fr Grndezze Fisiche Funzioni Goniometriche Rdinti

3 Approssimzioni Approssimre un numero d un dt cifr decimle signific eliminre tutte le cifre che seguono l cifr decimle cui voglimo pprossimre il nostro numero. Nell eliminre le cifre eccedenti occorre seguire le seguenti regole: Approssimzione per difetto: Se l prim cifr che si toglie è minore di 5 llor si elimin tle cifr e tutte quelle che seguono senz fre ltro; Approssimzione per eccesso: Se l prim cifr che si toglie è mggiore o ugule 5 llor si elimin tle cifr e tutte quelle che seguono ggiungendo 1 ll ultim cifr che rest,fcendo ttenzione gli eventuli riporti. Ad esempio, dto il numero 9,9546, eseguimo le seguenti pprossimzioni: All II cifr decimle: 9,9546 ~ 9,95; All I cifr decimle: 9,9546 ~ 10,0; Alle unità: 9,9546 ~ 10;

4 Notzione Esponenzile Nell notzione esponenzile si deve mettere l prim cifr divers d 0 del numero di prtenz, l virgol e tutte le ltre cifre; poi moltiplicre per l potenz di 10 con esponente dto dl numero di posti di cui si è spostt l virgol, tle esponente deve essere POSITIVO se il numero di prtenz è mggiore di 1, NEGATIVO se il numero di prtenz è minore di 1: 1234,56 = 1, ; 0, = 6, ; 99,6789 = 9, ; 0, = 3, ; Per le operzioni con le potenze di 10 vlgono le seguenti regole: Regole Delle Potenze b = 10 +b ; 10 / 10 b = 10 -b (10 ) b = 10 b ; b 10 = 10 /b

5 Ordine di Grndezz OdG 1/2 In fisic si h che fre con grndezze infinitmente piccole (d es. l mss di prticelle subtomiche) e con grndezze infinitmente grndi (d es. le dimensioni delle glssie). Proprio per quest estrem vribilità è utile vere un ide immedit, nche se pprossimtiv, del vlore del nostro dto. Per ottenere ciò considerimo l ordine di grndezz, che è così definito:

6 Ordine di Grndezz (OdG) OdG 2/2 L Ordine di Grndezz di un misur è l potenz di 10 più vicin l dto. Per determinre l OdG di un dto occorre: 1. Esprimere il dto in notzione esponenzile; 2. Vlutre l esponente dell potenz di 10 e l prim cifr del dto: 1. Se l prim cifr è < 5 => OdG = Esponente; 2. Se l prim cifr è 5 => OdG = Esponente +1. Esempi: 1. Mss del Sole: 1, kg => OdG = kg; 2. Mss dell elettrone: 9, kg => OdG = kg; 3. Rggio Nucleo tomo idrogeno: 1, m => OdG = m;

7 Sistem Metrico Decimle Misure Lineri Il sistem Metrico Decimle si chim così perché nell scl delle misure si procede con psso 10 e/o multiplo di 10. : 10 chilometro (km) x 10 : 10 ettometro (hm) x 10 : 10 decmetro (dm) x 10 1 m = 10-1 dm = 10-2 hm = 10-3 km ALTEZZA SCALINO: 10 1 = 10 metro (m) : 10 x 10 1 m = 10 1 dm = 10 2 cm = 10 3 mm decimetro (dm) : 10 x 10 centimetro (cm) : 10 x 10 millimetro (mm)

8 Sistem Metrico Decimle Misure Superficili : 10 2 chilometro 2 (km 2 ) x 10 2 : 10 2 ettometro 2 (hm 2 ) x 10 2 : 10 2 decmetro 2 (dm 2 ) x m 2 = 10-2 dm 2 = 10-4 hm 2 = 10-6 km 2 ALTEZZA SCALINO: 10 2 = m 2 = (1 m) (1 m ) = (10 1 dm) (10 1 dm) = 10 2 dm 2 = metro 2 (m 2 ) 1 m 2 = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 2 : 10 2 x 10 2 decimetro 2 (dm 2 ) : 10 2 x 10 2 centimetro 2 (cm 2 ) : 10 2 millimetro 2 (mm 2 ) x 10 2

9 Sistem Metrico Decimle Misure Volumetriche chilometro 3 (km 3 ) 1 m 3 = (1 m) (1 m ) (1 m ) = (10 1 dm) (10 1 dm) (10 1 dm) = 10 3 dm 3 = : 10 3 x 10 3 : 10 3 ettometro 3 (hm 3 ) x 10 3 : 10 3 decmetro 3 (dm 3 ) x m 3 = 10-3 dm 3 = 10-6 hm 3 = 10-9 km 3 ALTEZZA SCALINO: 10 3 = 1000 metro 3 (m 3 ) 1 m 3 = 10 3 dm 3 = 10 6 cm 3 = 10 9 mm 3 : 10 3 x 10 3 decimetro 3 (dm 3 ) : 10 3 x 10 3 centimetro 3 (cm 3 ) : 10 3 millimetro 3 (mm 3 ) x 10 3

10 Equivlenze Equivlenze (1/4) Per imprre fre le equivlenze con il sistem metrico decimle, bisogn innnzitutto conoscere l scl delle misure ed imprrl memori: chilometro (km) ettometro (hm) decmetro (dm) metro (m) decimetro (dm) centimetro (cm) millimetro (mm) Esistono ltri multipli e sottomultipli, m per or non li considereremo. Quindi, per l scl che stimo considerndo, il km è l misur più grnde e il millimetro è l misur più piccol. In un'equivlenz ci si deve spostre verso destr (e moltiplicre) o verso sinistr (e dividere) dell scl, second di quello che si deve fre: se si deve trsformre un misur più grnde in un più piccol (cioè ndre verso destr) si deve moltiplicre e ggiungere tnti zeri (o spostre l virgol verso destr) per qunti sono i posti di cui ci si spost; se si deve trsformre un misur più piccol in un più grnde (cioè ndre verso sinistr) si deve dividere ed eliminre tnti zeri (o spostre l virgol verso sinistr) per qunti sono i posti di cui ci si spost.

11 Equivlenze Equivlenze (2/4) Fccimo qulche esempio: ES. 1: 3 km =? m d chilometri metri ti devi spostre di 3 posti verso destr sull scl (hm, dm e m) e quindi devi moltiplicre per 1000 e ggiungere 3 zeri: 3 km = 3000 m = m ES. 2: cm =? hm d centimetri ettometri ti devi spostre di 4 posti verso sinistr sull scl (dm, m dm, hm) e quindi devi dividere per e spostre l virgol verso sinistr di 4 posti: cm = 2,4000 hm = 2,4 hm chilometro (km) ettometro (hm) decmetro (dm) metro (m) decimetro (dm) centimetro (cm) millimetro (mm)

12 Equivlenze Equivlenze (3/4) Un metodo molto prtico per fre velocemente le equivlenze, soprttutto nel cso di superfici e volumi, è utilizzre l notzione esponenzile e moltiplicre il vlore d convertire per: dove: (10 n ) ±p n = ordine dell equivlenz (1: linere, 2: superficile, 3: volumetric); p = numero di pssi d fre lungo l scl; ± = + se si scende nell scl delle misure, - se si sle.

13 Equivlenze Equivlenze (4/4) Fccimo qulche esempio: ES. 1: 3 km =? m 3 km = 3 (10 1 ) +3 m = m ES. 2: 2,4 cm 2 =? hm 2 2,4 cm 2 = 2,4 (10 2 ) -4 hm 2 = 2, hm 2 = 2, hm 2 ES. 3: 0,7 dm 3 =? mm 3 0,7 dm 3 = 0,7 (10 3 ) +4 mm 3 = 0, mm 3 = mm 3 chilometro (km) ettometro (hm) decmetro (dm) metro (m) decimetro (dm) centimetro (cm) millimetro (mm)

14 Proporzioni e Percentuli Un PROPORZIONE è un uguglinz tr due rpporti: A : B = C : D per cui vle: B C=A D Un PERCENTUALE è un prticolre proporzione in cui uno dei termini è fisso 100: P : 100 = N : T per cui vle: N = (P T)/100

15 Relzioni fr Grndezze Fisiche (1/2) Due grndezze fisiche sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI se il loro rpporto è costnte: y ( y, x) DIRETTAMENTE PROPORZION ALI k x (cost.) Il grfico dell vribile dipendente y in funzione dell vribile indipendente x è un rett pssnte per l origine. Due grndezze fisiche sono INVERSAMENTE PROPORZIONALI se il loro prodotto è costnte: ( y, x) INVERSAMENTE PROPORZION ALI y x k (cost.) Il grfico dell vribile dipendente y in funzione dell vribile indipendente x è un iperbole.

16 Relzioni fr Grndezze Fisiche (2/2) Due grndezze fisiche sono DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AL QUADRATO se il rpporto tr un grndezz ed il qudrto dell ltr è costnte: y ( y, x) 2 x 2 DIRETTAMENTE PROPORZION ALI k (cost.) Il grfico dell vribile dipendente y in funzione dell vribile indipendente x è un prbol. Due grndezze fisiche sono in RELAZIONE LINEARE se il grfico che le rppresent è un rett: ( y, x) in RELAZIONE LINEARE y kx Il grfico dell vribile dipendente y in funzione dell vribile indipendente x è un rett non pssnte per l origine. N.B.: L dirett proporzionlità è un cso prticolre di relzione linere in cui l costnte ggiuntiv (intercett) è null (=0).

17 Funzioni Goniometriche Seno, Coseno, Tngente BC sen BC AC sen AC C AB cos AB AC cos AC A B BC tn BC AB tn AB

18 Funzioni Goniometriche Vlori per ngoli prticolri sen cos tn C 0 (0 2 ) ( /6) 1/2 3/2 3/3 45 ( /4) 2/2 2/ ( /3) 3/2 1/2 3 A B 90 ( /2) ( ) 0-1 0

19 Rdinti Misur degli ngoli nel S.I. Il RADIANTE (generlmente indicto rd) rppresent il rpporto tr l lunghezz di un rco di circonferenz spzzto dll'ngolo, e l lunghezz del rggio di tle circonferenz. Un rdinte è l'ngolo che si h in corrispondenz di un rco di lunghezz pri l rggio dell circonferenz: rd rd 1 r ; r

20 Rdinti Conversione Rdinti Grdi Sessgesimli Poiché l circonferenz h un lunghezz pri 2 r, il vlore in rdinti dell ngolo giro (360 ), che sottende l circonferenz, è dto d: 2 r rd 2 r r Esiste quindi un proporzionlità fr l ngolo in rdinti e l ngolo in grdi: rd : 2π : 360 Per le conversioni vlgono quindi le relzioni: rd 2π 360 ; 360 2π Pertnto l misur in grdi di 1 rdinte è dt d: π rd ;

Rdinti Tbell Conversione Rdinti Grdi Sessgesimli GRADI RADIANTI 0 0 15 π/12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π /2

21 Rdinti Tbell Conversione Rdinti Grdi Sessgesimli GRADI RADIANTI π/12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π / /3 π 135 3/4 π 150 5/6 π 180 π 210 7/6 π 225 5/4 π 240 4/3 π 270 3/2 π 300 5/3 π 315 7/4 π /6 π 360 2π

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