Equazioni. Definizioni e concetti generali. Incognita: Lettera (di solito X) alla quale e possibile sostituire dei valori numerici

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1 Equzioni Prerequisiti Scomposizioni polinomili Clcolo del M.C.D. e del m.c.m. tr polinomi P(X) = 0, con P(X) polinomio di grdo qulsisi Definizioni e concetti generli Incognit: Letter (di solito X) ll qule e possibile sostituire dei vlori numerici Insieme soluzione: Vlori numerici che sostituiti l posto dell incognit rendono ver l uguglinz Equzioni equivlenti: Due equzioni sono equivlenti se hnno lo stesso insieme soluzione Principi di equivlenz Primo principio: Addizionndo o sottrendo l stess quntit d entrmbi i membri di un equzione, si ottiene un equzione equivlente. Secondo principio: Moltiplicndo o dividendo per l stess quntit divers d zero entrmbi i membri di un equzione, si ottiene un equzione equivlente. Form Normle: E l form cui si giunge qundo non é piu possibile effetture clcoli o pplicre principi Grdo: Esponente mssimo cui risult elevt l incognit nell Form Normle Tipo Determint: h un numero finito di soluzioni Indetermint: h infinite soluzioni Impossibile: non h soluzioni Legge di nnullmento del prodotto: A*B=0 se e solo se A=0 oppure B=0 Equzioni intere: se l incognit non compre mi l denomintore di frzioni Equzioni frzionrie: se l incognit compre l denomintore di frzioni Esistenz dell divisione: un divisione e possibile solo se il suo denomintore e diverso d zero. Equzioni di primo grdo intere Un'equzione è di primo grdo se, un volt rggiunt l form normle, il polinomio l primo membro è di primo grdo. Il procedimento risolutivo di un'equzione di primo grdo prevede le seguenti fsi: TESTO Appliczione di Clcoli e principi FORMA NORMALE

2 L form normle di un'equzione di primo grdo è x + b = 0 con, b numeri pprtenenti ll'insieme Q. Un volt giunti ll form normle si può definire il TIPO Se l form normle present primo membro l'incognit X llor l'equzione è determint ed h un sol soluzione. Se l form normle è del tipo 0 = 0 llor l'equzione è indetermint ed h infinite soluzioni. (tutti i numeri sono soluzione). Se l form normle è del tipo n = 0 (dove n è un qulsisi numero diverso d zero) llor l'equzione è impossibile e non h soluzioni. RICORDA: Puoi definire il grdo ed il tipo di un'equzione SOLO nell su form normle, NON PRIMA. In bse l tipo è desso possibile indicre l'insieme soluzione S dell'equzione: Se l'equzione è indetermint S = R (insieme di tutti i numeri) Se l'equzione è impossibile S = Ø (insieme vuoto) Se l'equzione è determint è necessrio stbilire qunto vle l'unic soluzione, "isolndo" l'incognit X l primo membro. Esempio 3X 1= X + Testo 3X 1 X =0 X 3=0 Form Normle In questo cso l form normle present primo membro l'incognit X. Quindi l'equzione è determint ed h un sol soluzione. Per determinre l soluzione è necessrio "isolre" l X l primo membro. Per fre ciò uso i principi di equivlenz portndo il termine noto secondo membro e poi dividendo tutto per il coefficiente dell X. X=3 X = 3 X = 3 D cui S={ 3 }

3 Equzioni frzionrie Un'equzione si dice frzionri se esiste nel suo testo lmeno un frzione lgebric (frzione con monomio o polinomio l denomintore). X +1=X 5 Equzione inter (non sono presenti denomintori) X + 1 = 3 X 5 Equzione inter (sono presenti denomintori, m tutti numerici) X + 1 X 1 = 3 X 5 Equzione frzionri (è presente lmeno un denomintore letterle) Condizioni di esistenz e Cmpo di esistenz (Dominio) Solo per le equzioni frzionrie bisogn impostre le condizioni di esistenz e clcolre il conseguente cmpo di esistenz (detto nche dominio). Tle clcolo è necessrio poichè... Ogni frzione è ssocit d un operzione di divisione Ogni divisione non h significto se il suo denomintore è nullo (ugule zero) Ne consegue che un frzione non può mi vere il denomintore nullo (ltrimenti non vrebbe significto). Osservimo l'equzione X + 1 prestndo ttenzione i denomintori. Possimo = 3 X 5 ffermre con certezz che non ci sono problemi dl punto di vist del "significto": entrmbi i denomintori non sono nulli. Ciò ccde in ogni equzione inter. Osservimo, invece, l'equzione denomintori. X + 1 X 1 = 3 X 5 sempre prestndo ttenzione i Il secondo denomintore (3) non cre lcun problem di "significto" in qunto è certmente non nullo (diverso d zero). Il primo, invece, è un polinomio (X 1): dobbimo ndre cercre quli sono i vlori dell X che lo nnullno. Condizione di esistenz: X 1 0 Cmpo di esistenz: X 1 Il vlore 1 è d scrtre in qunto nnull il denomintore dell frzione

4 Procedimento risolutivo TESTO CALCOLO DEL C.E. Appliczione di Clcoli e principi FORMA NORMALE Eliminre il denomintore (possibile per il secondo principio) Risolvere l equzione inter ottenut Controllre l ccettbilit delle soluzioni in relzione l C.E. Equzioni di secondo grdo L form normle di un'equzione di secondo grdo è x + bx + c = 0 con, b, c numeri pprtenenti ll'insieme Q, con 0. N.B.: il coefficiente "" deve essere diverso d zero, ltrimenti l'equzione tornerebbe d essere di primo grdo. Clssificzione delle equzioni di secondo grdo Coefficienti Nome Form Normle Esempio 0 b 0 c 0 Complet x + bx + c = 0 x + 3x - 4 = 0 0 b = 0 c 0 Pur x + c = 0 -x + 5 = 0 0 b 0 c = 0 Spuri x + bx = 0 3x + 4x = 0 0 b = 0 c = 0 Monomi x = 0 6x = 0 Risoluzione delle equzioni di secondo grdo Equzioni complete L form normle di un'equzione di secondo grdo complet è x + bx + c = 0 Un'equzione di secondo grdo complet può vere due, un oppure nessun soluzione. Il procedimento risolutivo prevede i seguenti pssi: 1. Clcolre il Δ (delt): Δ = b - 4c Se Δ > 0 l'equzione vrà due soluzioni Se Δ = 0 l'equzione vrà un soluzione Se Δ < 0 l'equzione NON vrà soluzioni.. Clcolre le soluzioni (solo se Δ 0) X = b± Δ Esempio 1 x + 5x + 6 = 0 l'equzione è complet con = 1 b = 5 c = 6

5 Clcolo del Δ Δ = 5 4*1*6 Δ = 5 4 Δ = 1 Il Δ è positivo e quindi l'equzione vrà due soluzioni. Clcolo delle due soluzioni X = 5± 1 1 X = 5±1 X = 5+1 X = 5 1 X = 4 X = 6 X = X = 3 L'insieme soluzione srà S = { - ; -3} Esempio x + 4x + 4 = 0 l'equzione è complet con = 1 b = 4 c = 4 Clcolo del Δ Δ = 4 4*1*4 Δ = Δ = 0 Il Δ è zero e quindi l'equzione vrà un soluzione. Clcolo delle due soluzioni X = 4± 0 1 X = 4±0 X = 4 X = L'insieme soluzione srà S = { - } Esempio 3 x + x + 1 = 0 l'equzione è complet con = 1 b = 1 c = 1 Clcolo del Δ Δ = 1 4*1*1 Δ = 1 4 Δ = -3 Il Δ è negtivo e quindi l'equzione NON vrà soluzioni. L'insieme soluzione srà S = Ø (insieme vuoto) Equzioni pure L form normle di un'equzione di secondo grdo pur è x + c = 0 Un'equzione di secondo grdo pur può vere due oppure nessun soluzione. Il procedimento risolutivo prevede di isolre x l primo membro pplicndo i principi di equivlenz delle equzioni:

6 Prtendo dll form normle X +c=0 Porto c secondo membro cmbindolo di segno X = c Divido primo e secondo membro per X = c Ricvo il vlore di X estrendo l rdice qudrt del secondo membro Osservzione 1: l funzione di rdice qudrt necessit, per essere clcolt, di un vlore NON NEGATIVO sotto rdice. Ciò signific che l'esistenz delle soluzioni dipende dl segno dell quntità -c/. Se Se c <0 c 0 l rdice non può essere cclolt, quindi l'equzione non h soluzione l rdice può essere cclolt, quindi l'equzione h due soluzioni (opposte) Osservzione : il segno dell quntità c. In prticolre: dipende ovvimente di segni dei coefficienti e c Se e c hnno stesso segno (concordi positivi o concordi negtivi) llor vrà segno negtivo. Se e c hnno segni opposti (discordi) llor vrà segno positivo. Rissumendo qunto emerso dlle due osservzioni precedenti possimo concludere che: Cso 1: Se e c hnno stesso segno (concordi positivi o concordi negtivi) llor l'equzione non h soluzioni e l'insieme soluzione srà S = Ø (insieme vuoto) Cso : Se e c hnno segni opposti (discordi) llor llor l'equzione h soluzioni opposte e l'insieme soluzione srà S = Esempio 1 x + = 0 l'equzione è pur con = 1 b = 0 c = simo nel cso 1 con e c concordi positivi. L'equzione non h soluzioni Esempio c c 4x - = 0 l'equzione è pur con = 4 b = 0 c = - c c simo nel cso con e c discordi. L'equzione h soluzioni opposte che possimo clcolre con

7 l formul c che nel nostro cso divent ( ) Equzioni spurie L form normle di un'equzione di secondo grdo spuri è x + bx = 0 Un'equzione di secondo grdo spuri h SEMPRE due soluzioni (di cui un è sempre zero). Il procedimento risolutivo prevede di scomporre il polinomio l primo membro utilizzndo il metodo del rccoglimento totle e di pplicre, poi, l legge di nnullmento del prodotto.. Prtendo dll form normle Rccolgo l X fttor comune X +bx =0 X (X +b)=0 Legge di nnullmento del prodotto: Il prodotto di due espressioni è ugule zero se lmeno un delle due espressioni è ugule zero X =0 X +b=0 Esempio X +3X=0 l'equzione è spuri con = b = 3 c = 0 Rccolgo l X fttor comune X (X+3)=0 Applico l legge di nnullmento del prodotto, ottenendo: X =0 X+3=0 d cui X= 3 e quindi X = 3 3 L'equzione h, quindi, due soluzioni. L'insieme soluzione srà S = { 0 ; } Osservzione 1: Le equzioni monomie sono estremmente bnli ed hnno sempre un sol soluzione null.l'insieme soluzione srà S = { 0 ; 0 } Osservzione : L formul risolutiv delle equzioni di secondo grdo complete può essere utilizzt nche per risolvere i vri tipi di equzioni incomplete.

8 Equzioni di grdo superiore l secondo Un'equzione di grdo superiore l secondo si può risolvere seguendo i seguenti pssi: Appliczione di clcoli e principi per rggiungere l Form Normle Scomporre il polinomio l primo membro nel prodotto di polinomi di primo e secondo grdo Applicre l legge di nnullmento del prodotto Esempio X 3 X X + = 0 L'equzione è di terzo grdo ed è in form normle. Il polinomio l primo membro è scomponibile con il metodo di rccoglimento przile: ( X 1 ) ( X ) = 0 Applico l legge di nnullmento del prodotto, ottenendo due equzioni: ( X 1 ) = 0 Equzione di secondo grdo pur. L'insieme soluzione srà S 1 = { -1 ; +1 } ( X ) = 0 Equzione di primo grdo. L'insieme soluzione srà S = { + } L'insieme soluzione dell'equzione di terzo grdo srà S = { -1 ; +1 ; + } Equzioni di grdo superiore l secondo - BINOMIE Tr le equzioni di grdo superiore l secondo ne esistono lcune che hnno un form prticolre, e che si risolvono in modo prticolre. Un'equzione si dice BINOMIA se l su form normle è del tipo X n + b = 0 con e b diversi d zero, ed n > Un'equzione binomi in form normle è, quindi, sempre formt d un binomio: il primo termine è di grdo n, mentre il secondo termine è un termine noto (solo numerico). Esempi X = 0-3X 4-4 = 0 X 7-8 = 0 Il procedimento risolutivo è identico quello utilizzto per le equzioni di secondo grdo pure, e richiede di: Isolre l X l primo membro Clcolre, se possibile, l rdice l secondo membro In relzione l secondo punto possono verificrsi vri csi.

9 Cso 1: n pri e b discordi X 4-3 = 0 X 4 = 3 X 4 = 3 X 4 = L'insieme soluzione srà S = { - ; + } Cso : n pri e b concordi X = 0 X 4 = L rdice di indice pri non è clcolbile se sotto rdice c'è un numero negtivo, quindi l'equzione è IMPOSSIBILE L'insieme soluzione srà S = Ø (insieme vuoto) Cso 3: n dispri e b discordi X 3-16 = 0 X 3 = 16 X 3 = 16 X 3 =8 X = 3 8 X = L'insieme soluzione srà S = { + } Cso 4: n dispri e b concordi X = 0 X 3 = -7 X = 3 7 X = 3 L'insieme soluzione srà S = { -3 } Rissumendo Un'equzione binomi con n pri può essere impossibile (se e b sono concordi), oppure può vere soluzioni opposte (se e b sono discordi). Un'equzione binomi con n dispri h sempre 1 sol soluzione. Equzioni di grdo superiore l secondo - TRINOMIE Tr le equzioni di grdo superiore l secondo oltre lle binomie esistono ltre equzioni che hnno un form prticolre, e che si risolvono in modo prticolre. Le equzioni trinomie. Un'equzione si dice TRINOMIA se l su form normle è del tipo X n + bx n + c = 0 con, b e c diversi d zero, ed n >1 Un'equzione trinomi in form normle è, quindi, sempre formt d un trinomio: Il primo termine è di grdo n, cioè di un qulsisi grdo pri mggiore di (d esempio 4, 6, 8, 10 ecc.). Il secondo termine è di grdo n, cioè di un grdo esttmente l metà del grdo del primo termine. Il terzo termine è un termine noto (solo numerico).

10 Esempi X 6 + X 3-5 = 0 3X 4 + 5X - 1 = 0-4X 8 + 3X = 0 Il procedimento risolutivo richiede di: Effetture un cmbio di vribile (X n = t) Risolvere l'equzione di secondo grdo complet ottenut Effetture il cmbio di vribile l contrrio Risolvere le equzioni binomie così ottenute Esempio 1 X 6-5X = 0 L'equzione è trinomi con n = 3: effettuo il cmbio di vribile ponendo X 3 = t ed ottengo l seguente equzione di secondo grdo t - 5t + 6 = 0 risolvendo tle equzione con il metodo delle equzioni complete ottenimo t = + e t = +3 Effettundo il cmbio di vribile l contrrio ottenimo le seguenti equzioni binomie X 3 = + X 3 = +3 Entrmbe le equzioni binomie ricdono nel cso 3 precedentemente illustrto: X 3 = + X = 3 X 3 = +3 X = 3 3 L'insieme soluzione dell'equzione trinomi di prtenz srà S = { ; 3 } 3 3 Esempio X 4 + 3X - 4 = 0 L'equzione è trinomi con n = : effettuo il cmbio di vribile ponendo X = t ed ottengo l seguente equzione di secondo grdo t + 3t - 4 = 0 risolvendo tle equzione con il metodo delle equzioni complete ottenimo t = +1 e t = -4 Effettundo il cmbio di vribile l contrrio ottenimo le seguenti equzioni binomie X = +1 X = -4 L prim equzione binomi ricde nel cso 1 precedentemente illustrto: X =

11 L second equzione binomi ricde nel cso precedentemente illustrto: X = -4 4 IMPOSSIBILE L'insieme soluzione dell'equzione trinomi di prtenz srà S = { -1; +1}