La relazione fondamentale che descrive il funzionamento delle lenti sottili ( si suppone che le superfici siano sferiche!

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1 L. Grtton SISS AA: Ottic geometric: Lenti sottili, ingrndimento ottico (linere, ngolre), strumenti ottici, potere e risolutivo degli strumenti ottici. L relzione ondmentle che descrive il unzionmento delle lenti sottili ( si suppone che le superici sino seriche!) è l seguente: p q 1 1 p q 1 1 n 1 r1 r2 dove p e l distnz, lungo l'sse ottico, dell'oggetto dl centro dell lente sottile e q che l distnz dell'immgine dl centro dell lente sottile; n è l'indice di rirzione reltivo ll'ri, è il uo dell lente. r 1 ed r 2 sono i rggi di curvtur delle due superici bell lente sottile. Nb. p, q ed hnno un segno che dipende dll convenzione scelt. I rggi di curvtur hnno un segno che dipende dll convenzione scelt. In genere si sceglie come convenzione che p è positivo destr (sinistr) se i rggi provengono d destr (sinistr) cioè se si trtt di un oggetto rele, ltrimenti p è negtivo. L stess cos vle per q e per il uo. q srà pertnto positivo se l immgine è rele, negtivo nel cso contrrio. Per le lenti convergenti è positivo, negtivo per quelle divergenti. r 1 è positivo se l convessità è rivolt dll prte d cui provengono i rggi negtivo nel cso contrrio, per r 2 vle l opposto. Il uo di un lente è il punto il cui convergono i rggi provenienti d un oggetto distnz ininit, cioè i rggi prlleli ll'sse ottico; se i rggi che rggiungono l lente sono prlleli m provengono d un direzione divers dll sse ottico, essi convergernno in un punto del pino le. L lente sottile h ovvimente due uhi simmetrici uno d un prte ed uno d un'ltr dell lente stess. Il uo può essere rele o immginrio nel senso che per un lente doppio convess o pino convess (convergente) rppresent il punto in cui convergono i rggi provenienti dll'oggetto distnz ininit mentre per un lente divergente biconcv o pino concv i rggi sembrno provenire dl uo che per tnto non rppresent un punto in cui relmente c'è pssggio di energi. Esistono nche lenti concvo convesse che possono essere convergenti o divergenti secondo i vlori dei rggi di curvtur rispettivmente dell prte concv e dell prte convess (vedi l relzione che leg il uo i rggi di curvtur delle superici dell lente). in igur è rppresentto il unzionmento di un lente come ingrnditore d dipositive. L'nlisi dell igur permette di ricvre l'ingrndimento linere di un lente unzionnte in questo modo. Si ricv dll similitudine dei tringoli OAB e Ob: b O q AB AO p m 1

2 dim. immgine b q ingrnd. dim. oggetto AB p In questo cso si può prlre di ingrndimento linere. L'immgine risult cpovolt e l'ingrndimento linere è negtivo. Questo è sostnzilmente lo schem del proiettore (cinem o dipositiv), l'immgine è intti rele ed h bisogno di uno schermo di proiezione per essere vist. Potere risolutivo dell'chio e distnz di visione nitid. In medi un chio umno riesce distinguere due punti posti ll distnz di mm r di loro e distnti 250 mm dll'chio; ciò vuol dire che in medi l'chio umno e in grdo di distinguere (risolvere)due oggetti che sino visti sotto un ngolo b=1'36" ". Lente di ingrndimento (microscopio semplice). Vedimo or come viene ust un lente per ingrndire (l lente di ingrndimento d tvolo). L'oggetto AB è posto tr il uo F e l lente; il uo è in genere piccolo (così si può porre pprossimtivmente p). L'immgine che si orm è virtule ed è tle che disti dll'chio circ 25 centimetri (distnz dell visione nitid). Dll similitudine dei tringoli OAB e Ob si ricv che: b q AB p L ingrndimento è tnto mggiore qunto mggiore e q (bisogn porre l dente vicino ll'chio) nel cso limite q=25 cm =d (distnz di visione nitid) ed essendo p si h: 25 Dove v espresso in cm. L'immgine è virtule m diritt; d'ingrndimento è positivo. 2

3 icroscopio (microscopio composto). Si chim composto perché è costituito (lmeno) d due lenti: un è l'iettivo, l'ltr è l'ulre. L'iettivo unzion come un proiettore e l'ulre con un lente d'ingrndimento. L'iettivo ( le molto cort) h, ovvimente, l unzione di ingrndire m nche quell di crere un'immgine rele dell'oggetto che viene porsi tr l'ulre ed il suo uo, m prossim l uo stesso, l'ulre o produce su volt un'immgine virtule tle che si post l distnz di visione nitid dll'chio che osserv e che è "ppoggito" ll'ulre stesso. L'ingrndimento srà dto dl prodotto dell'ingrndimento dell'ulre e dell'iettivo. Lo schem è: Clcolimo l ingrndimento. Osservndo l igur si not come l iettivo si comporti come un proiettore d dipositive e l ulre come lente di ingrndimento. Abbimo pertnto. p q m p e ql (con L si indic l lunghezz del microscopio); ne consegue che (vedi igur) L ' b' AB Per l ulre si h: b q' ' b' p' q'd (distnz di visione nitid)=25cm e p'=, pertnto: 25 L'ingrndimento complessivo è pertnto dto d: d L b Ld AB In teori, cioè in bse ll'ottic geometric (pprossimzione zero), non ci sono limitzioni ll'ingrndimento ottenibile si con le lenti d'ingrndimento si con un microscopio. È sperimentlmente veriicbile che ciò è lso, cioè l'pprossimzione dell'ottic geometric non permette di determinre i limiti di questi strumenti. Prendimo in esme solo il microscopio (dicimo comunque che per le lente d'ingrndimento le mggiori limitzioni sono dovute lle berrzioni cromtiche, seriche, di com, ecc.). Prendimo in esme soltnto lcuni spetti: potere risolutivo, proondità di cmpo, luminosità. I prlemi dovuti lle berrzioni vengono, lmeno in prte, risolti progettndo degli iettivi e degli ulri costituiti non d lenti semplici m d gruppi di lenti nche molto complessi il che ument notevolmente il costo dei microscopici di buon qulità. 3

4 Luminosità È un ttore determinnte. È l'intuitivo che l luce proveniente dll'oggetto che viene ingrndito, si riprtisce "uniormemente" sull'immgine, pertnto se si ottiene un'immgine ingrndit 1000 volte (x1000) l su supericie risult ingrndit10 6 volte! Ne consegue che l'intensità di luce proveniente d un dt porzione dell'oggetto divent l più un milione di volte ineriore in un porzione ugule dell'immgine (se non ci sono perdite per ssorbimento e rilessione dei gruppi ottici ecc.). Nb. L intensità totle dell luce proveniente dll'immgine srà minore o ugule di quell dell'oggetto; pertnto un sistem di illuminzione molto buono dell'oggetto d ingrndire è un condizione irrinuncibile in uno strumento di buon qulità. Inoltre bisogn che il riveltore (l'chio, l mcchin otogric o ltro) sino suicientemente sensibili per rivelre il segnle. L scrs luminosità cre nche prlemi di contrsto e ltri inconvenienti ncor. Potere risolutivo. Pssimo or d esminre i due prlemi che rimngono e che sono i limiti veri e insuperbile per gli strumenti ottici, essi sono intrinseci gli strumenti stessi. Per comprendere ondo le cuse che li producono è necessrio tener conto oltre che dell rirzione nche dell dirzione. Il potere risolutivo e l minim distnz cui devono trovrsi due oggetti perché possno ncor essere visti distinti dllo strumento. Per l'chio bbimo visto che l condizione ottimle è 25 cm ed è di circ 0.1 mm. Per il microscopio l teori dell dirzione permette di dimostrre che il potere risolutivo dell'iettivo vle: R 2 nsen NA NA prende il nome di pertur numeric dell iettivo. è l lunghezz d ond utilizzt (in genere il visibilem). n è l'indice di rirzione del mezzo in cui si trov l'oggetto (n per l'ri 1) è l metà dell'ngolo sotto cui l'oggetto vede l'iettivo (vedi igur) Poiché 5 10 n 1 90 Se ponimo sen=1 (l'oggetto è molto vicino ll'iettivo!!) si ottiene per l risoluzione limite: R m 2 L'ingrndimento un utile mssimo ottenibile risult essere potere risol. chio 4 2 ut potere risol. microsc Se si interpone un liquido (iettivo d immersione) con indice di rirzione, d esempio di 1.5, si ottengono 600 ingrndimenti utili. Se si utilizz un lunghezz d'ond minore (nell'ultrvioletto: 7 m 4

5 microscopi ultrvioletti) d esempio =3000 Å llor si h (per n=1,5) =1000. in questo cso si devono usre riveltori sensibili quest lunghezz d'ond (l'chio non v più bene). Nb. Qunto detto rigurd il mssimo ingrndimento utile, cioè se si vuole si può ingrndire di più m cus dell limitzione introdott dll dirzione non si potrnno in ogni cso distinguere (vedere come distinti): degli 'oggetto distnz minore di R. C è comunque il vntggio di un visione più gevole. Proondità di cmpo È deinit come l distnz mssim (lungo l'sse ottico) tr due punti ncor uo. L teori permette di ricvre l seguente espressione 0.15 P1 P2 mm 2 d distnz è espress in millimetri. è l'ingrndimento totle, è l'ngolo deinito in precedenz. Come si vede immeditmente un grnde proondità di cmpo è incomptibile con lti ingrndimenti che si ottengono tr l'ltro con 90 o. Nell'esempio numerico d noi considerto si ottiene: P 1 P 2 =0.08m (800 Å) L proondità di cmpo dei microscopi d lt ingrndimento e piccolissim!. I microscopi elettronici e risolvono questo prlem; essi hnno e piccolissim (l lunghezz d'ond di De Broglie ssit gli elettroni) e dipendente dll'energi. e h E pe h è l costnte di Plnk, p e è l impulso ssito ll elettrone. L espressione ornisce l lunghezz d ond in nm ssit d un elettrone di energi E ev. L proondità di cmpo e d 1000 volte in su quell dei microscopi ottici dto che l pertur numeric NA per i microscopi elettronici è dell ordine di 1.66sen. Telescopio ottico (cnnchile stronomico), ingrndimento ngolre, potere risolutivo ngolre Un telescopio è sempre costituito d un sistem di lmeno due lenti (telescopi rirzione). L prim lente è l'iettivo l second è l'ulre. Tlvolt l'iettivo è sostituito d uno specchio prbolico (telescopi rilessione). Lo schem di unzionmento e il seguente: 1 2 5

6 I telescopi servono per gurdre oggetti grndissim distnz. L'immgine dt dll'iettivo pertnto si orm essenzilmente sul suo uo o sul suo pino le. L'ulre, come nel microscopio, h l unzione di ingrndire quest immgine, esso produce pertnto un'immgine virtule cpovolt ingrndit dell'oggetto posto sul pino le dell'iettivo. L'immgine virtule prodott dll'ulre si orm ll distnz di visione nitid. Nel cso dei telescopi non h signiicto prlre di ingrndimento linere in qunto le immgini che producono sono in genere di grn lung più piccole degli oggetti sotto osservzione. Si suole per tnto prlre di ingrndimento ngolre, in qunto i telescopi hnno l unzione di r vedere due punti che visti d chio nudo ppiono sotto un certo ngolo sotto un ngolo molto più grnde. Osservndo l igur si recv cilmente l'ingrndimento ngolre prodotto d un telescopio. Deinimo come ingrndimento ngolre il rpporto (vedi igur) Dt l grnde distnz degli oggetti possimo scrivere ' b' tg e tg d cui si ricv: Si osserv che l'ingrndimento è tnto mggiore qunto mggiore è l le dell'iettivo (questo il motivo per il qule i tubi dei telescopi sono così lunghi) e qunto minore è l le dell'ulre. L mess uo l si muovendo solo l'ulre (l'iettivo non cont poiché l sorgente e in genere distnz "ininit", i rggi sono prlleli e comunque pssno per il uo dell'iettivo). Si dimostr che nche per i telescopi esiste un limite ll'ingrndimento ngolre. R 1.22 D Dove è l lunghezz d'ond dell luce e D il dimetro dell'iettivo (lente o specchio che si). Quest espressione rppresent il primo termine dell'espnsione di un serie di Bessel che esprime l posizione dei minimi di dirzione d un pertur circolre. Il signiicto è il seguente. ' b' 6

7 Un pertur circolre ornisce per dirzione un'immgine costituit d un mcchi luminos circolre contornt d nelli luminosi interclti d nelli oscuri; questo se l'oggetto è costituito d un sorgente luminos estremmente lontn che produce sull pertur un'ond pin (rggi prlleli). Se si considerno due sorgenti punti ormi estremmente lontne, l ngolo R minimo sotto cui possono essere viste dl telescopio come distinte deve 'essere tle che l immgine di un delle due sorgenti cd nell prim zon bui dell'immgine dell second sorgente (criterio di risoluzione). Dll espressione si intuisce il motivo per cui i telescopi stronomici vengono costruiti con perture sempre mggiori (dimetro degli iettivi). Poiché il potere risolutivo ngolre dell'chio vle: 2 10 cm 4 R chio 4 10 rd 25cm Si ricv che il potere risolutivo utile ngolre limite per un telescopio è dto d: 4 R chio 4 10 D 4 D R 1.22 I seguenti sono lcuni esempi numerici. Se ponimo nel visibile =5x10-7 m si ottiene 660D Con D che deve essere espresso in metri. Per un telescopio gittolo con D=5 cm si ottiene: =33 Per un telescopio proessionle d 1m di dimetro si ottiene =660 Per il moso telescopio di onte Plomr D=5 m =3300 I telescopi ttuli più grndi hnno un dimetro per l iettivo di 10 m =6600 7

8 Le risoluzioni ngolri sono dte d Che espresse in grdi vlgono rispettivmente: 5 cm m m 10 m R R chio Per comprendere lmeno in prte l importnz dei grndi telescopi si può ricordre che per osservre l prllsse stellre minim si è dovuto ttendere l met del dicinnovesimo secolo. Ricordo che per prllsse stellre si intende l metà dell ngolo sotto cui viene vist un stell sei mesi di distnz (d due posizioni dimetrlmente opposte dell orbit terrestre). Poiché l stell più vicin si trov circ quttro nni luce, l su prllsse vl: rtggio orbit km 6 P rd distnz stell 4 365gio sec/g io km/s ec Che trsormti in grdi vlgono:2.27x10-4o, e in secondi 0.8. Ciò vuol dire che ci vuole un telescopio di lmeno 0.6 m di dimetro per potere misurre con incertezz del 100% quest prllsse. Con un telescopio di 1 m l incertezz si riduce circ il 15% (nturlmente per strumenti peretti). Questo è il motivo per il qule le prime prllssi stellri urono misurte verso l metà del dicinnovesimo secolo. Il primo d vere successo u Fiedrich Bessel (nel 1838) che vev disposizione un telescopio con suicente risoluzione. 8