( ) 1. Scrivi l equazione della parabola ad asse verticale passante per il punto ( ) P e con vertice. Soluzione Dall equazione generica della parabola

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1 . Srivi l euzione dell prol d sse vertile pssnte per il punto ( ) ; P e on vertie ( ) ; V. Dll euzione generi dell prol e dll onosenze del vertie, le ui oordinte generihe sono V ; possimo srivere sostituendo i punti ssegnti: ( ) L prol ert h euzione non ettile

2 . Determin l euzione dell rett tngente ll prol nel suo punto di siss. Il punto di tngenz si ottiene sostituendo l siss nell euzione dell prol Il punto di tngenz è ( ;) Pertnto tr tutte le rette pssnti per il punto ( ;), uindi un fsio proprio del tipo m ( ) m ( ) m m m m m m m m m m ( m) m, devo determinre uell tngente, ioè: Ponendo l ondizione di tngenz si h: ( m ) m m m m m m ( ) m m Sostituendo m nell euzione m m si ottiene l rett ert:. Determin l prol d sse vertile pssnte per il punto C ( ;) tngente in ( ; ) A d un rett di oeffiiente ngolre. Determin poi le oordinte di un punto B pprtenente ll prol tle he l tngente ondott per B ll prol si prllel ll isettrie del seondo e urto udrnte. Nell euzione generi dell prol possimo sostituire i punti ssegnti:

3 Ponendo inoltre l ondizione di tngenz tr l prol e l rett pssnte per ( ) ; A e vente m si ottiene: ( ) ( ) Ponendo l ondizione di tngenz : ( ) ( ) Che ostituise l terz euzione per ottenere il sistem risolutivo, ioè: ( ) ( )

4 ( ) L prol ert h euzione Per determinre il punto B si deve onsiderre l prol ed un rett prllel ll isettrie del seondo e urto udrnte he h oeffiiente ngolre -, ioè. Per determinre il vlore di onsiderimo il seguente sistem: d ui segue, ponendo or sistem l euzione dell rett trovt:

5 d ui si riv, uindi ; B.. Determin l euzione dell prol del fsio t tngente ll rett. t t t ( ) t t t. Determin un rett prllel ll sse in modo he l ord interettt d tle rett sull prol i lunghezz. Un rett prllel ll sse h euzione, pertnto le intersezione sono dte d: ± ±, Quindi

6 Ponendo l ondizione sull distnz si h: ( ) ( ) ( ) he è ettile. Determin l euzione dell prol on sse vertile pssnte per i punti A ( ;), ( ;) B e tngente ll rett di euzione. Determin poi un punto P pprtenente ll rett interno l primo udrnte tle per ui l re del tringolo APB risulti. Dll ondizione di pssggio per i punti A e B si ottiene: Dll ondizione di tngenz invee si ottiene: ( ) ( ) ( ) Quindi ( ) ( )

7 Clolimo or l rett pssnte per AB Il punto P pprtiene ll rett uindi h oordinte generihe ; pertnto l ltezz del tringolo è dt dll distnz di P dll rett pssnte per AB: h L distnz AB vle: ( ) ; A, ( ) ; B ( ) ( ) d Allor riordndo l formul dell re del tringolo h A si ottiene:

8 Studio l rgomento del modulo, uindi Il so in ui vlori. non ettile < non v studito in unto il punto non è interno l primo udrnte per tli. Dt l prol di euzione insrivere nell prte di pino ompres tr l prol e l sse delle un rettngolo l ui se è tripl dell ltezz. Illustrimo l situzione del prolem on un disegno:

9 E evidente he le limitzioni per l sono, inoltre il punto P pprtiene ll prol, pertnto le oordinte sono P( ; ), l ltezz del rettngolo erto è uindi l ordint di P, ioè h. Per l se invee devo onsiderre un rett prllel ll sse delle,, le intersezioni on l prol sono: L ui soluzioni sono dte d: e L distnz tr i due punti rppresent l se del rettngolo, llor: ( ) ( ) Pertnto poihé l ltezz è rppresentt dll ordint possimo srivere:, ± ± he non è ettile in unto sostituendo nell relzione si ottiene m un rdie on può essere ugule d un vlore negtivo (primo memro) he è verifit Pertnto l ltezz del rettngolo, dll formul è.