Le equazioni di secondo grado

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1 Le equzioni di seondo grdo Un equzione è di seondo grdo se, dopo ver pplito i prinipi di equivlenz, si può srivere nell form on 0,, R Not: è nhe detto termine noto. Esempio Sviluppimo l seguente equzione: ( ) ( )( ) Aimo ottenuto un equzione di seondo grdo ridott in form normle. Un soluzione (himt nhe rdie ) dell equzione è un vlore he sostituito ll inognit rende ver l uguglinz fr i due memri. Esempio 6 è un equzione di grdo è soluzione poihé, sostituendo, imo Risolvere un equzione di grdo signifi rierre le sue soluzioni. 60

2 Risoluzione di un equzione di seondo grdo Cominimo on qulhe esempio. ) Considerimo l equzione: Possimo rivre ± ioè ± Aimo periò due soluzioni: Inftti se sostituimo: ) Considerimo l equzione: In questo so ) Considerimo l equzione : Come possimo risolverl? : non i sono soluzioni reli poihé nessun qudrto risult negtivo. NOTA IMPORTANTE Qundo in un polinomio i sono dei termini omuni tutti monomi possimo rogliere l prte omune (si die nhe mettere in evidenz ). Nel nostro so se mettimo in evidenz ( perhé è presente si nel fttore ) possimo srivere ( ) 0 6 he nel fttore (inftti se svolgimo l moltiplizione ritrovimo ). M questo punto, per l legge di nnullmento del prodotto, possimo dire he le soluzioni dell equzione sono: oppure

3 ) Considerimo l equzione Come possimo risolverl? Se riusissimo sriverl nell form (...) numero poi potremmo proedere ome nei primi due esempi. Cominimo spostre il termine noto: nel nostro so imo Aggiungimo d entrmi i memri dell equzione un numero in modo he.. risulti il qudrto di un inomio (questo metodo si him ompletmento del qudrto ). E hiro he dovrà essere il doppio prodotto e quindi dividendo il oeffiiente per ottenimo il termine del inomio Aggiungimo quindi imo: d entrmi i memri (per ottenere un equzione equivlente) ed In questo modo l equzione può essere sritt nell form ( ) 9 A questo punto, essendo 9 un numero positivo, possimo ndre vnti ± ± 9 Aimo quindi he le soluzioni dell equzione sono: 6

4 Formul risolutiv di un equzione di seondo grdo Provimo generlizzre, utilizzndo le lettere, il proedimento he imo seguito nell ultimo esempio. Considerimo, 0 Spostimo il termine noto: Prim di ompletre il qudrto dividimo tutto per (i loli risulternno più semplii): Completimo il qudrto: riordimo he, dovendo essere il doppio prodotto, doimo ggiungere il qudrto di: Quindi: Fendo qulhe lolo: ) Se 0 possimo estrrre l rdie qudrt ed imo: ± ± ) Se < 0 non imo soluzioni reli Not: ± viene himto disriminnte dell equzione di seondo grdo ed indito on l letter ioè 6

5 Osservzione Se > 0 le soluzioni dell equzione sono distinte ioè sono due vlori diversi (vedi esempio : ). Se le soluzioni sono oinidenti ioè imo un unio vlore. Esempio: ± 6 6, Inftti è il qudrto di e quindi imo: ( ) Il qudrto è nullo se ( ) Se < 0 non i sono soluzioni reli. Osservzione Se nell equzione si h oppure (si die he l equzione non è omplet) non onviene usre l formul risolutiv generle he imo trovto m proedere ome imo ftto nei primi esempi. Generlizzimo quegli esempi usndo le lettere. Se imo. Spostimo il termine noto: ) Se 0 llor, ± (l srittur, indi he i sono due soluzioni, ). Vedi l esempio :. ) Se < 0 llor l equzione non h soluzioni reli (vedi esempio : ). Se imo Mettimo in evidenz l : ( ) 0 Per l legge di nnullmento del prodotto imo quindi: (vedi l esempio : ). oppure 6

6 L formul ridott Qundo il oeffiiente è un numero pri possimo utilizzre un formul semplifit himt ridott. Inftti se β imo:, ( β ) β ± β ( β ± β ) β ± β β ± β ± β Quindi, essendo β, possimo srivere:, ± Osservzione Esempio: 6

7 66 Somm e prodotto delle soluzioni Considerimo l equzione 0 on 0. Somm delle soluzioni Provimo sommre le soluzioni, ottenute on l formul risolutiv: In onlusione si h: Prodotto delle soluzioni Vedimo os si ottiene moltiplindo le soluzioni: ( ) In onlusione so h:

8 NOTA IMPORTANTE Si verifi filmente he, se, sono le soluzioni dell equzione ( ) ( ), si h Esempio Considerimo l equzione. Se l risolvimo imo Osservimo he ( ) Esempio Considerimo l equzione 9. Risolvendol imo 6 ± 0, e quindi in questo so 9 Inftti 9 ( ) he risult equivlente. 67

9 I prolemi di seondo grdo Spesso risolvendo un prolem (di geometri nliti, eulide e.), dopo ver posto ome inognit l misur di un segmento o qulhe ltr quntità, i si trov dover risolvere un equzione di seondo grdo. Vedimo qulhe esempio. Esempio Determin le lunghezze dei lti di un rettngolo di re m e perimetro 6 m. Possimo risolvere questo prolem in due modi: ) Se p 6 m p 8 m (semiperimetro). Quindi, se indihimo on un lto del rettngolo, l ltro risulterà 8. M dl momento he l re è m vremo: ( 8 ) 8 8 Aimo ottenuto un equzione di seondo grdo he risolt dà: Osservimo he se llor l ltr dimensione è 8 e he se llor l ltr dimensione è 8, ioè le dimensioni del rettngolo sono in ogni so e. ) Se l re del rettngolo misur poihé il perimetro misur m, indito on un lto, l ltro srà ( 0) 6 m vremo: e ed imo ritrovto l equzione preedente. 68

10 Esempio I lti di un rettngolo insritto in un ironferenz di dimetro 0 m stnno tr loro nel rpporto. Determin l re del rettngolo. Se indihimo on l misur di un lto, l ltro lto srà ed pplindo il teorem di Pitgor (riordimo he il dimetro oinide on l digonle del rettngolo) vremo: Sviluppndo: ( 76 ± m è ettile solo l soluzione positiv). Quindi l ltro lto risult 8 e possimo lolre l re del rettngolo è : A 8 m Esempio Clol l re di un tringolo rettngolo spendo he l ipotenus è lung 0 m e he le proiezioni dei teti sull ipotenus sono proporzionli i numeri e 9. Innnzitutto, se AH e HB sono le proiezioni dei teti sull ipotenus si ottiene suito he AH m, HB 9 m Se indihimo on l misur dell ltezz reltiv ll ipotenus, pplindo il seondo teorem di Eulide imo he 9 9 ( 9 ± m l soluzione negtiv non è ettile poihé rppresent un misur). In onlusione l re del tringolo risult 0 A m 69

11 Eserizi (risoluzione di un equzione di seondo grdo) Risolvi le seguenti equzioni di seondo grdo: ) ; ; 9 [ ; 0, 6; ( doppi) ± ] ) 7 ; ; 9 [ 7 0, ; impossiil e; ± ] ) ; ; 9 [ ( doppi) 0 ; ± ; 0, ] ) ; ; 8 [ ± ; 0, ; ± 6 ] ) 8 6 ; ; [ impossiile; 0, ; ± ] 6) ; 6 ; 6 ] [ ( doppi) ; ± ; 0, 7) ( )( ) 0 [ 7, ] 8) ( ) ( ) [ ] 9) ( ) [ ] 0) ( ) ( )( ) ( ), ± [ impossiile ] ) [, ] ) [ ] 70

12 ) [ impossiile ] ) 6 [, ] ) [, ] 6) [, ] 6 7) 8 6 [ ] 8) 6 [, ] 9) ( ) ( ) ( )( ) [, ] 0) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ], ± ) ( ) 7 ± [, ] [, ± 6 ] 6 ) ( ) ( ) ) 6 [, ] 0 [, 6 ] ) ( ) ( ) ( )( ) 9 ) ( ) ( ) [, ] 6) 6 ( )( ) 0 [ ], ± 7

13 7) ( ) 6 6 [, ] 8) 8 9 [, ] 9 9) 0 8 [ impossiile ] 0) 9 6 [ ] ) [, ] [, ] ) ( ) ) [, ] ) [, ] ) [ ± ] 6) [ impossiile ] [ ; 6 ] 7) ( ) ( ) 0 [ 0] 8) ( ) ( ) ( ) 9 9) ( ) ( ) [ ; ] 0 0) [ ; ] 7

14 Eserizi (Prolemi di seondo grdo) ) In un tringolo rettngolo un teto misur m in più dell ltro e l ipotenus è m. Determin i teti del tringolo. [ m ; m ] ) Se in un qudrto un lto viene umentto del 0% e un ltro viene diminuito del 0%, si ottiene un rettngolo l ui re è ugule quell del qudrto diminuit di misur del lto del qudrto inizile? ) L re di un romo è del romo. m. Qul è l [ m ] m e un digonle super l ltr di m. Determin il perimetro [ p m ] ) In un tringolo isosele l se super di m il lto oliquo e l ltezz è m. Determin il perimetro. [ p 8 m ] ) Il proprietrio di un terreno deve ederne un prte di re strd (vedi figur).clol. 6 m per l ostruzione di un [ m ] 6) Un rettngolo è insritto in un ironferenz di rggio m e il suo perimetro è 68 m. Determin i lti del rettngolo. [ 0 m; m ] 7

15 7) In un tringolo isosele se e ltezz stnno tr loro ome st e il perimetro è 6 m. Determin l re. 8) Un rettngolo h re [ m ] 0 m e i suoi lti misurno uno m in più dell ltro. Se si llungno entrmi i lti dell stess misur, si ottiene un rettngolo l ui re è dell re inizile. Determin il perimetro del nuovo rettngolo. 9) In un qudrto di re 9 m è insritto un qudrto di re m. Determin il perimetro di isuno dei tringoli individuti dl qudrto insritto nel qudrto più grnde. 0 m in più [ m ] [ m ] 0) Osserv l figur: spendo he l re del qudrto ABCD è qunto vle? 6 m e he A 00 m [ m ] ) In un tringolo isosele l lunghezz dell se super di quell del lto oliquo. Determin l re spendo he il perimetro misur 80. [ 00 ] ) Due tringoli rettngoli ongruenti hnno un teto in omune, l ltro posto su rette prllele. Il perimetro di isun tringolo è 08, mentre quello del poligono individuto d essi è. Determin l lunghezz del teto omune e dell ipotenus. [ 6 ; ] 7

16 ) In un trpezio rettngolo un se è doppi dell ltr, l ltezz super di m l se minore e l re è m. Determin l ltezz del trpezio. [ m ] ) In un romo di perimetro 00 k, il perimetro di isuno dei tringoli individuti dlle digonli è 60 k. Determin l re del romo. [ 600 k ] ) Il dimetro di un semiironferenz misur m. Clol l lunghezz dei tre lti di un tringolo insritto nell semiironferenz spendo he i due lti distinti dl dimetro sono uno i dell ltro. [ m; m; 9 m ] 6) L ipotenus di un tringolo rettngolo misur m e super di 9 m un delle proiezioni dei teti. Determin l re del tringolo. [ 0 m ] 7) Clol il perimetro di un tringolo rettngolo vente l ipotenus di 0 m e un teto ugule i dell su proiezione sull ipotenus. [ 0 m ] 8) Il teto mggiore di un tringolo rettngolo è i dell su proiezione sull ipotenus ed è nhe il doppio dell ltr proiezione umentto di. Determin l re del tringolo. [ 0 ] 9) In un tringolo rettngolo l proiezione di un teto sull ipotenus è volte il teto stesso, mentre l proiezione dell ltro teto misur m. Determin il perimetro del tringolo. [ p ( ) m ] 0) L re di un tringolo rettngolo è 80 m. Determin l ipotenus spendo he un teto diminuito di m è pri l doppio dell ltro teto. [ 9 m ] 7

17 ) Un qudrto h il perimetro di m. Un rettngolo h lo stesso perimetro mentre l re è di quell del qudrto. Determin le dimensioni del rettngolo. [ m; 9 m ] ) Un rettngolo di re rettngolo. 0 m h l ltezz minore dell se di m. Clol il perimetro del [ p 8 m ] ) Un rettngolo h le dimensioni di m e m. Voglimo inrementre l se e l ltezz di un stess quntità in modo d ottenere un seondo rettngolo he i l re di Determin tle quntità. ) Un rettngolo h il perimetro p m e l re 70 m. [ m ] A 0m. Determin le sue dimensioni. [ ; ] ) In un semiironferenz di rggio r m è insritto un tringolo vente perimetro p 0m. Determin l misur dei teti. [, ] 6) In un trpezio rettngolo di re m, l ltezz super di m l se minore e l se mggiore è il triplo dell minore. Determin il perimetro del trpezio. [ p 6m ] 7) In un romo di perimetro 80, il perimetro di isuno dei tringoli individuti dlle digonli è 8. Determin l re del romo. [ A 8 ] 8) In un tringolo rettngolo l re misur 0m e il teto mggiore super di m il doppio del teto minore. Determin il perimetro del tringolo. [ p 60m] 9) In un tringolo isosele l se super di m l ltezz e il perimetro è 8 m. Determin l re del tringolo. [ A m ] 0) Se in un qudrto un lto viene umentto del % e un ltro viene diminuito del 0%, si ottiene un rettngolo l ui re è ugule quell del qudrto inizile diminuit di 6m. Qul è l misur del lto del qudrto inizile? [ m ] 76