EQUAZIONE ALGEBRICA DI SECONDO GRADO o QUADRATICA in una incognita

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1 EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit 1 form omplet oeffiienti b 4 (disriminnte) formule risolutive b se > due rdii reli e distinte (se e hnno segni disordi è positivo) b b (form normle o tipi) se due rdii reli oinidenti b, b, (rdie doppi) ( ) ( ) se < non h rdii reli, m due s p omplesse e oniugte i 1 numero immginrio nessun soluzione rele b ± i 4 b form inomplet oeffiienti b h sempre due rdii reli e distinte di ui b, b, (semiqudrti spuri) un null (qudrti pur) (monomi), b, < se e hnno segni disordi, le rdii sono reli e opposte > > se e hnno segni onordi, le rdii sono immginrie < nessun soluzione rele, b, h sempre due rdii oinidenti on lo zero Mihele T. Mzzuto diembre 1

2 EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit formul risolutiv generle b ± b 4 b ±, (metodo del ompletmento del qudrto) formul risolutiv generle ridott o del oeffiiente pri b b ± ( ) k ± k 1, dove k b ' b k ( ) (disriminnte ridotto) 4 (si può pplire qundo il oeffiiente b è un numeto pri) regol dei segni o di Crtesio (permette di onosere il segno delle rdii reli dell equzione senz risolverl) n un equzione si seondo grdo omplet b on ogni permnenz (qundo i oeffiienti di un termine e del suo suessivo sono onordi) orrisponde un rdie negtiv e ogni vrizione (qundo i oeffiienti di un termine e del suo suessivo sono disordi) un rdie positiv. Se le rdii sono disordi, l rdie on vlore ssoluto mggiore è positiv se l vrizione preede l permnenz, è negtiv nel so ontrrio. b s p permnenze vrizioni - nessun on vlore ssoluto mggiore on vlore ssoluto mggiore - nessun Mihele T. Mzzuto diembre 1

3 EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit relzioni fr i oeffiienti e le rdii differenz dei vlori ssoluti delle rdii somm dei reiproi delle rdii b b - somm dei qudrti delle rdii somm dei reiproi dei qudrti delle rdii b 1 1 b somm dei ubi delle rdii somm dei reiproi dei ubi delle rdii b b 1 1 b b somm delle rdii prodotto delle rdii b s on > p on > Esistono due soli numeri inogniti, di ui l somm e il prodotto hnno due vlori ssegnti s e p. Tli numeri, qundo s esistono, sono le rdii dell equzione. Affinhé i numeri rihiesti esistno, oorre he s 4p e p ( ) d ui derivno le seguenti proprietà Le rdii sono opposte se e solo se b Le rdii sono reiprohe se e solo se Le rdii sono ntireiprohe se e solo se Un rdie è zero se e solo se Se >, llor le rdii sono onordi se e solo se >, e sono disordi se e solo se < somposizione di un trinomio di seondo grdo in fttori lineri b (trinomio) b (equzione ssoit) se > )( ) ( ( se ) se < irriduibile (rdii omplesse oniugte) Per evitre l introduzione di numeri omplessi si può mettere sotto form di prodotto del suo primo oeffiiente per un b 4 b espressione qudrti sempre positiv, ossi b [( ) ] 4 Mihele T. Mzzuto diembre 1

4 EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit 4 simbologi b s p ' rdii o soluzioni vribile o inognit oeffiienti primo oeffiiente o termine di seondo grdo b seondo oeffiiente o termine di primo grdo o linere terzo oeffiiente o termine noto disriminnte (perhé seond del suo segno disrimin, distingue i vri si he l equzione può presentre rispetto lle rdii) disriminnte ridotto somm delle rdii prodotto delle rdii esempio 5 6 b (il disriminnte > mmette due soluzioni reli e distinte) b 5 s 5 (somm delle rdii) 1 6 p 6 (prodotto delle rdii) (regol di Crtesio: permnenz e permnenz. Entrmbe le rdii srnno negtive) b ( 5) b ( 5) ( ) ( ) s p [ ( )] ( ) 5 6 dto he > il trinomio ssoito ll equzione 5 6, ossi 5 6, si sompone medinte )( ) ui 1 [ ( )][ ( )] ( )( ) ( Mihele T. Mzzuto diembre 1

5 EQUAZONE ALGEBRCA D SECONDO GRADO o QUADRATCA in un inognit 5 spunti storii l teorem eponimo di Jen Bptiste Le Rond D Alembert ( ), primo tentrne un dimostrzione, fu dimostrt in mnier rigoros d Krl Friedrih Guss ( ) nel Altre notevoli dimostrzioni furono quell di Augustin Louis Cuhy ( ) del 181 (di rttere nlitio) e di Pul Gordn ( ) del 1876 (di rttere ritmetio). L risoluzione, in form geometri, dell equzione di seondo grdo si trov nel libro V proposizione 8 e 9 degli Elementi di Eulide ( se..c.) e si f rislire ll Suol Pitgori (V se..c.). Così ome si ritrov nhe nelle opere rbe di Muhmmd ibn Mus l-khwrizmi (V-X se.) e Omr Khyyám (148-11). L risoluzione, in form lgebri, dell equzione di seondo grdo riduendol un espressione qudrti binomi nell inognit b, del tipo ( b) b 4 è il più ntio proedimento erto di ui si bbi notizi. Probbilmente noto gli llessndrini Erone (- se.) e Diofnto (-V se.) ppre espliitmente in opere indine di Brhmgupt ( ) e di Bhskr (Bhskrhry) ( ). Del disriminnte ne trtt l inglese Jmes Joseph Sylvester ( ) nei suoi sritti del L regol eponim di René Desrtes (Crtesio) ( ), reltiv i segni delle rdii reli di un equzione di seondo grdo, venne dllo stesso enunit nel terzo libro dell Géométrie ome ppendie l Disours de l méthode pour bien onduire s rison et herher l vérité dns les sienes (167). Nel medesimo libro Crtesio introdue l uso di srivere le equzioni on zero l seondo membro. L nozione di equzione e l prol equtio (uguglinz), trduzione ltin dell prol gre ísosis già ust dll llessndrino Diofnto nel seolo d.c., ompiono nel Liber bbi (1) di Leonrdo Pisno (Fiboni) (117-15). glossrio equzione lgebri equzione he si ottiene uguglindo zero un polinomio in un o più vribili grdo dell equzione è il grdo del polinomio (eguglito zero) membro dell equzione isun delle due espressioni seprte dl segno di uguglinz rdie dell equzione quntità onosiut, numeri o letterle, he sostituit ll inognit soddisf l equzione teorem di D Alembert ogni equzione lgebri in un inognit h lmeno un rdie, rele o ompless oeffiienti dell equzione sono quntità note, numeri reli o espressioni lgebrihe letterli risolvere l equzione trovre uno o più numeri he sostituiti ll inognit l rendono identimente verifit verifi delle soluzioni si effettu riorrendo lle formule dell somm e prodotto delle rdii Mihele T. Mzzuto diembre 1