Analisi di stabilità

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1 Anlisi di stilità Stilità intern modi propri degli stti utovlori di A Stilità estern modi propri dell usit poli dell fdt.-. Stilità : se tutti i modi propri rimngono limitti per ogni t. Stilità : se tutti gli stti rimngono limitti per ogni u(t) limitto e per ogni t. Stilità 3: se l usit rimne limitt per ogni u(t) limitto e per ogni t. Stilità 4: se...

2 Criteri di stilità λ t σ t modi propri semplii: e e/o e sin( ω t + ϕ ) o i λ t i σ t modi propri multipli: te e / o te sin( ω t+ ϕ ) λ t σ t modi propri e forz. semplii: e e/o e sin( ω t + ϕ ) o o i λ t i σ t modi propri e forz. multipli: te e / o te sin( ω t+ ϕ ) o Dlle espressioni sopr riportte si dedue qunto segue:

3 Stilità Un sistem è sintotimente stile se tutti i suoi poli (utovlori) sono reli negtivi o omplessi oniugti prte rele negtiv (stilità sintoti). Se il sistem possiede nhe dei poli (utovlori) nulli o prte rele null e semplii llor è nor stile sempliemente (stilità semplie). Un sistem è instile se possiede lmeno un polo (utovlore) rele positivo ovvero lmeno un oppi di poli (utovlori) omplessi oniugti prte rele positiv ovvero nor poli multipli prte rele null (instilità). 3

4 Stilità BIBO Vle qunto già riportto, on l eezione he non sono stili i poli prte rele null. Inftti, un sistem on un polo nullo (o on oppi di poli omplessi oniugti prte rele null) eitto on un ingresso rtterizzto d un trsformt on poli identii, presenteree un usit non limitt. Esempio : integrtore eitto d un grdino. Esempio : osilltore idele eitto d un sinusoide di frequenz identi quell propri del dispositivo. 4

5 Im pino C Re S t i l i t à I n s t i l i t à Csi prtiolri 5

6 Anlisi di stilità Poli (utovlori) polinomio rtteristio lolo delle rdii prolem: evitre il lolo delle rdii ovvero nlisi dell stilità di oeffiienti del pol. rtteristio Soluzione: riterio di Routh 6

7 Criterio di Routh n n Ds ()= s + s + L+ s+ n 0 (monio) tell di Routh L L 0 n n 4 n n 3 n 5 M x 3 L 0 L 0 L L 0 L 0 0 dove i oeffiienti,,..., x sono osì determinti: 7

8 Prof. Cosimo Greo n n 4 n 6 n n 3 n n 5 n n 7 =, =, 3 =, n n n 3 n n 5 3 =, =, L M x = L Enunito del riterio di Routh: Un sistem possiede tnti poli prte rele positiv qunte sono le vrizioni di segno nell prim olonn dell tell di Routh Un sistem è stile (sintotimente) se non i sono vrizioni di segno nell prim olonn dell tell di Routh n n 8 L

9 Anlisi di stilità: riteri polinomili Condizione neessri e suffiiente (CNS) perhè tutti i poli sino strettmente nel semipino di sinistr è he si soddisftto il riterio di Routh. Condizione solo neessri (CN) perhè tutti i poli sino strettmente nel semipino di sinistr è he i oeffiienti del polinomio rtteristio (monio!) sino tutti positivi. N.B: qulhe oeffiiente negtivo impli ertmente qulhe polo nel semipino di destr; tutti i oeffiienti positivi non è detto he implihino tutti i poli nel semipino di sinistr; se tutti i poli sono nel semipino di sinistr llor tutti i oeffiienti del polinomio rtteristio sono positivi. 9

10 Tell di Routh: si prtiolri Può pitre he un elemento dell prim olonn dell tell di Routh si nullo: per tli si si rimnd ll lettertur onsiglit o eserizi dimostrtivi. 0

11 D( s) D( s) D( s) D( s) = = = = s CNS per l stilità: si prtiolri s + > 0 s + s + > 0 > 0 > 0 3 s + s + s + > 0 > 4 + s 3 + s + s + d 0 > 0 > 0 d > 0 > + d / >0 > 0 / / >0 > 0 d

12 z SISTEMI DEL PRIMO ORDINE (polo = λ; λ = r) x 0 i y(i) = r i z x 0 i y(i) = z x 0 τ i y(i) = r i z τ = r ostnte di tempo (n.o pssi) x 0 i y(i) = r i

13 z x SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (polo = λ; λ = r; λ = f) τ = r ostnte di tempo (n.o pssi) τ T 0 z T 0 = π f periodo osillzione (n.o pssi) x τ T 0 z x T 0 3

14 Diverse definizioni STABILITA Definizione dottt: un sistem è stile se, in evoluzione lier e per ogni ondizione inizile X 0 0, si verifi he y(i) è sempre limitto. y li (z) = z C (zi - A) - X 0 = evoluzione forzt on B = X 0 e U(z) = (impulso unitrio) è ome studire l rispost ll impulso. L stilità non dipende dl numertore dell f.d.t., esempio: y(z) = D(z) z+ y'(z) = D(z) - Z - Z y(i) y'(i) = y(i+ ) + y(i) ominzione linere di diverse y(.) shiftte nel tempo y è limitt se è limitt l y. Bst studire l ntitrsformt di termini del tipo (per omodità srnno esminti m z Dm(z) termini tipo ). D (z) m 4

15 STABILITA L stilità di un sistem (modello) dipende dll posizione dei poli sul pino omplesso. z stilità si prtiolri = zon di stilità instilità 5

16 STABILITA (INT.) UN SISTEMA DISCRETO E STABILE (ASINTOTICAMENTE) SE TUTTI I SUOI POLI HANNO MODULO MINORE DI UNO. UN SISTEMA DISCRETO E STABILE (ASINTOTICAMENTE) SE TUTTI I SUOI POLI SI TROVANO DENTRO LA CIRCONFERENZA DI RAGGIO UNITARIO. UN SISTEMA DISCRETO E INSTABILE SE PRESENTA ALMENO UN POLO FUORI DALLA CIRCONFERENZA DI RAGGIO UNITARIO. POLI SULLA CIRCONFERENZA DI RAGGIO UNITARIO SI CONSIDERANO STABILI SE HANNO MOLTEPLICITA. 6

17 Criterio di Jury (C.N.S.) 7

18 ( ) n F( ) > 0 n+ ostrints 8

19 Criterio di Jury (s. stilità) Per i sistemi del primo ordine è nle (C.N.&S.): z + < Per i sistemi del o ordine: z <, + z + >, > C.N. < & < C.S. + <

20 Criterio di Jury (s. stilità) Per i sistemi del 3 o ordine: z 3 + z + z + < > + > ( ) < non ttivo < + ( ) 0

21 Criterio di Jury (3 o ordine) [ +, + ] = + [, ] = + = [, ] sint. stilità ll interno del tringolo on < <

22 4 < 3 C.N : < < 3 < [-, -] [+, +] C.S : + + < [-, -] -3 ondizione su : <

23 Altr C.S. per l s. stilità: [ ] P < (ellisse) on P = ( ) + + e < migliore dell preedente per > > ( 4 π) ( 4 + π)