TEORIA DELLA PROBABILITÀ II

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "TEORIA DELLA PROBABILITÀ II"

Transcript

1 TEORIA DELLA PROBABILITÀ II Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive Versione [14-15]

2 Indie 1 Clolo omintorio Introduzione Permutzioni Disposizioni Semplii Disposizioni on Ripetizione Cominzioni Coeffiienti Binomili Formul del Binomio di Newton Conlusione ed esempi riepilogtivi Eserizi riepilogtivi I Contriuti 10 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

3 Cpitolo 1 Clolo omintorio 1.1 Introduzione Il Clolo Comintorio è quell prte dell mtemti he determin e ont i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti seguendo, di volt in volt, regole definite priori. Tli rggruppmenti si possono, inftti, ostruire tenendo onto di lune rtteristihe he li denotno. Essi possono vrire per: omposizione, ioè per i diversi oggetti he vi fnno prte; ordine, ioè per l divers posizione oupt dgli oggetti; ripetizione, ioè per l possiilità he un oggetto ompi più volte. 1.2 Permutzioni Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell tern, i sono 2 possiilità per riempire le selle suessive:,, e,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le terne,, e,, (oppure,, e,, ). Shemtimente: In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

4 1.3 Disposizioni Semplii 2 Definizione Diremo Permutzioni Semplii di n oggetti i rggruppmenti he si possono fre on gli n oggetti presi n n; due permutzioni differisono tr loro solo per l ordine. Volendo ontre le permutzioni, immginimo di dover riempire n selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., solo uno per l ultim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2) modi diversi per riempire le n selle. Indindo on P n il numero delle permutzioni, imo: P n n (n 1) (n 2) Il numero n (n 1) (n 2) è himto n fttorile, il suo simolo è n! e per onvenzione 0!1 e 1!1. Inoltre, lo studente ttento noterà filmente he dll definizione segue he Periò possimo nhe srivere: n! n (n 1)! P n n (n 1) (n 2) n! n N Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt gli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond, ne restno 2 per segliere l terz e solo un per ompletre l prol: mor, mro, omr, orm, rmo, rom; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole mor, mro, mor, mor, mro, mro; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole omr, orm, omr, omr, orm, orm; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole rmo, rom, rmo, rmo, rom, rom; In definitiv i sono 24 ioè P 4 4! prole diverse formte on gli elementi di A. Eserizio In qunti modi diversi 5 mii ptentti possono prendere posto in un mhin omologt per 5? Eserizio In qunti modi diversi 6 psseggeri possono sedersi in un fil di 6 posti di un ereo? 1.3 Disposizioni Semplii Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le oppie, e, (oppure, e, ). Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

5 1.4 Disposizioni on Ripetizione 3 In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, Definizione Diremo Disposizioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine. Volendo ontre le disposizioni semplii, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., (n-k+1) per l k-esim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2)... (n k + 1) modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni semplii, imo: D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) n, k N, k n Lo studente ttento noterà he d qunto visto finor si ottiene filmente he: D n,k n! (n k)! Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol: m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro. In definitiv i sono 12 ioè D 4,2 4 3 prole diverse formte on 2 degli elementi di A. Eserizio In qunti modi diversi 5 mii possono sedersi sui 3 posti lieri di un inem per ssistere ll proiezione di un film (onsiderimo diversi due modi he differisono per l ordine)? Eserizio In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi distinti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.4 Disposizioni on Ripetizione Esempio Dto l insieme A {, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A nhe ripetuti più volte? Se è il primo elemento dell tern, le possiilità per riempire le due selle suessive sono:,,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è si ottengono le terne,,,. Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

6 1.5 Cominzioni 4 In definitiv i sono 8 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,,,,, Definizione Diremo Disposizioni on Ripetizione di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni on ripetizione differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine e uno stesso oggetto può essere ripetuto fino k volte. Volendo ontre le disposizioni on ripetizione, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, nor n modi diversi per l seond, n modi diversi per l terz,..., n modi nhe per l k-esim. Complessivmente i srnno n k modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni on ripetizione, imo: D n,k n k n, k N Osservzione. Si noti he mentre per lolre il numero delle disposizioni semplii deve essre k n, per le disposizioni on ripetizione k è un nturle qulsisi. Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo nhe ripetuti 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 4 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol:, m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mm, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, oo, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro, rr. In definitiv i sono 16 ioè D 4,2 4 2 prole diverse formte on 2 degli elementi di A nhe ripetuti. Eserizio In qunti modi diversi si possono disporre i simoli 1, X, 2 sulle 13 olonne di un shedin del totolio? Eserizio In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi nhe ripetuti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.5 Cominzioni Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine? Ovvero, i stimo hiedendo qunti sottoinsiemi di 2 elementi possimo formre. Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; se, invee, il primo elemento è si ottiene solo l oppi, perhè l oppi, equivle ll oppi, già trovt; se, invee, il primo elemento è non è nessun ltr oppi he non equivlg un delle preedenti. Shemtimente, ostruimo dpprim tutte le possiili oppie di 2 elementi riservndoi di eliminre suessivmente i doppioni ioè le oppie equivlenti in qunto differenti solo per l ordine: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

7 1.5 Cominzioni 5 In definitiv i sono 3 modi diversi di riempire le 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine:,, Definizione Diremo Cominzioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti indipendentemente dl loro ordine; due ominzioni differisono tr loro per lmeno un oggetto. Volendo ontre le ominzioni semplii, ontimo dpprim le disposizioni semplii di n oggetti presi k k e poi per eliminre i doppioni dividimo per il numero delle permutzioni di k oggetti. Indindo on C n,k il numero delle ominzioni semplii, imo: C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! n, k N, k n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) Il numero è himto oeffiiente inomile, si legge n sopr ( ) k! ( ) n n k, il suo simolo è e per onvenzione 1. k 0 Periò possimo nhe srivere: Osservzione. Si noti he nell formul C n,k ( n k C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! il numero dei fttori numertore è k ome quelli presenti nel denomintore: kfttori { }} { C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k (k 1) (k 2)... 1 } {{ } kfttori Esempio Un gruppo di 6 mii, Alessndro, Enrio, Fio, Giorgio, Mtteo e Rirdo vogliono ndre l inem m hnno solo 4 iglietti; in qunti modi diversi possono segliere i 4 fortunti? ) In questo so non è possiile he i sino delle ripetizioni e l ordine è indifferente. Se Alessndro è il primo fortunto, i sono 10 possiilità per ompletre il gruppo: usndo le inizili dei rgzzi vremo AEF G, AEF M, AEF R, AEGM, AEGR, AEMR, AF GM, AF GR, AF MR, AGMR se, invee, Alessndro st s ed Enrio è il primo dell list, i sono 4 possiilità per ompletre il gruppo: EF GM, EF GR, EF MR, EGMR infine se Alessndro ed Enrio rinunino, l uni possiilità è F GMR. In definitiv i sono 15 ioè C 6,4 D 6, P 4 4! ndre l inem gruppi diversi he possono [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

8 1.5 Cominzioni 6 Eserizio In qunti modi diversi 5 mii possono utilizzre 3 iglietti per ssistere d un prtit di lio? Eserizio Qunte rtelle isogn giore l Lotto per essere siuri di vinere un terno? Coeffiienti Binomili Aimo detto sopr he il numero delle ominzioni di n oggetti presi k k è ( ) n C n,k k voglimo pprofondire or luni spetti e proprietà di tli oeffiienti inomili. Dll definizione ( ) n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k k! segue immeditmente he ( n 1 ) n e ( n n Dimostrimo, inoltre, le due proprietà seguenti: ( ) n n! P 1 ) k k!(n k)! ( ) ( ) n n P 2 ) k n k ) 1 Dim. P 1 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) (n k) (n k 1) k!(n k)! k!(n k)! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k! vendo semplifito numertore e denomintore per (n k)!. Dim. P 2 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n (n 1) (n 2)... (n (n k) + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) k! (n k)! (n k)! (n k)!k! n! k!(n k)! vendo moltiplito numertore e denomintore per k! e usto l preedente proprietà Formul del Binomio di Newton Teorem Dti due numeri reli, e un numero nturle non nullo n, vle l seguente uguglinz n ( ) ( + ) n n n k k k k0 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

9 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi 7 Dimostrzione. Osservimo dpprim he ( + ) n ( + ) ( + )... ( + ) } {{ } nfttori è un polinomio omogeneo di grdo n, ostituito d monomi l ui prte letterle è n, n 1, n 2 2,..., 2 n 2, n 1, n ; il prolem è individurne ( i rispettivi ) oeffiienti. n Il oeffiiente di n k k è perhè i modi diversi di moltiplire n k fttori uguli d on k k fttori uguli prendendoli d isuno degli n fttori uguli d ( + ) sono le ominzioni di n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) oggetti presi k k, ioè C n,k. k! Lo studente ttento noterà l identità tr i oeffiienti del tringolo di Trtgli e i oeffiienti inomili. 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi All inizio del pitolo i ervmo proposti di determinre e ontre i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti. Arrivti questo punto risult hiro he i sono diversi modi di proedere: se voglimo prendere tutti gli n oggetti e mirne solo l ordine, llor ottenimo le permutzioni; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni semplii; se voglimo prendere k oggetti, nhe ripetetendoli, pesndoli fr gli n oggetti dti, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni on ripetizione; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, non ontndo l ordine in ui gli oggetti sono disposti, ottenimo le ominzioni. Esempio Qunte sono le inquine he ontengono un determinto terno nel gioo dell tomol? I numeri disposizione sono 90, di ui 3 vengono fissti; per ompletre l inquin ne rimngono d segliere ltri 2 sugli 87 rimsti, non ontndo nè l ordine (estrrre prim 27 e dopo 81 o vievers è l stess os!) nè le ripetizioni (dopo ver estrtto un numero non viene rimesso nel shetto e quindi non può essere ripesto!), i possiili rggruppmenti sono le ominzioni di 87 oggetti presi 2 2, he sono C 87, Esempio Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5? Le ifre disposizione sono 4 m l ultim è fisst (perhè un numero si divisiile per 5 deve finire per 5 o per 0, m noi imo disposizione solo il 5!) periò ne restno d segliere 3; i rggruppmenti he erhimo possono vere le ifre ripetute (uno dei numeri he possimo ottenere è 5555) e l ordine è rilevnte (2345 è diverso d 3245); si trtt, quindi, delle disposizioni on ripetizione di 4 oggetti presi 3 3, he sono D 4, Esempio Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori? I giotori disposizione sono 7 di ui doimo seglierne 5; i rggruppmenti he erhimo non possono vere i giotori ripetuti m l ordine è rilevnte (mi l formzione se i giotori si mino di posizione); si trtt, quindi, delle disposizioni semplii di 7 oggetti presi 5 5, he sono D 7, [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

10 1.7 Eserizi riepilogtivi 8 Esempio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol pium? Le lettere disposizione sono 5 di ui doimo mire solo l ordine; si trtt, quindi, delle permutzioni di 5 oggetti, he sono P 5 5! Esempio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi pri. I si possiili sono i rggruppmenti di 10 oggetti presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 10 oggetti presi 2 2, he sono C 10, I si fvorevoli sono i rggruppmenti di 5 oggetti (i soli pri fr 1 e 10 ompresi) presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 5 oggetti presi 2 2, he sono C 5, L proilità ert, seondo l definizione lssi, è p(e) Eserizi riepilogtivi Eserizio Qunte sono le inquine he ontengono un determint qutern nel gioo dell tomol? Eserizio Qunte sono le inquine he ontengono un determinto mo nel gioo dell tomol? [ ] Eserizio Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5 minori di 5000? [86] [ ] Eserizio Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori, tenendo fiss l l destr (he è sempre un giotore in tto)? Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol penn? (Si prl, in questo so, di permutzioni on ripetizione) [ P5 120 ] P Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonn? [ P5 120 ] P Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonno? [ P5 120 ] P 3 P [360] [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

11 1.7 Eserizi riepilogtivi 9 Eserizio Dti 10 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte rette si possono trire ongiungendo i punti 2 2? Eserizio Dti 5 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte tringoli si possono trire ongiungendo i punti 3 3? Eserizio In un urn i sono 20 plline numerte d 1 20 e 5 di queste sono inhe, mentre le rimnenti sono di un ltro olore. Qunte quterne si possono estrrre in modo he in ognun di esse i si lmeno un pllin in? (Togli d tutte le possiili quterne quelle he non ontengono lun pllin in) [45] [10] [3480] Eserizio In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi. Qul è l proilità di estrrre un pio di lzini dello stesso olore (l uio, nturlmente!)? [ ] 1 9 Eserizio In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi, di ui un pio ino. Qul è l proilità di estrrre il pio di lzini ino (l uio, nturlmente!)? (suggerimento: si onsiderino gli eventi A: il primo lzino estrtto è ino B: il seondo lzino estrtto è ino B A: entrmi i lzini estrtti sono inhi B A: il seondo lzino estrtto è ino nell ipotesi he nhe il primo lo fosse p(b A) p(a) p(b A)) [ ] 1 45 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi dispri. [ ] 2 9 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono uno pri e uno dispri. [ ] 5 9 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di tre plline, lol l prolità dell evento E: ese il 3. [ ] 3 10 Eserizio Un mrinio dispone di 5 ndiere di olori diversi; qunti messggi differenti può invire utilizzndo fino tre ndiere, potendo riutilizzre l stess ndier? E qunti, invee, non potendol riutilizzre? [155; 85] Eserizio Nel lnio di 5 ddi regolri qul è l proilità di ottenere ome somm un numero pri? (Test di mmissione ll folità di Mediin, 2012) [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

12 Prte I Contriuti [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

13 Contriuti e lienz Eri Botto Alger I - Alger II - Insiemi - Eserizi di geometri metri Benimino Bortelli Grfii Roerto Crrer Coordintore progetto - Numeri - Funzioni - Alger Linere - Integrzione - Mtemti 5 - Sttisti desrittiv Moren De Poli Lortorio mtemti Piero Fntuzzi Alger I - Alger II - Insiemi - Eserizi di geometri metri Cterin Fregonese Anlisi (Integrzione) - Eserizi Crmen Grnzotto Funzioni - Anlisi (Integrzione) Frn Gressini Funzioni - Sttisti desrittiv - Teori dell proilità I - Teori dell proilità II - Teori dell proilità III Betrie Hitthler Funzioni trsendenti - Geometri nliti - Numeri omplessi - Anlisi - Mtemti 5 Teori dell proilità I - Teori dell proilità II Lui Perissinotto Funzioni trsendenti - Geometri nliti - Numeri omplessi - Anlisi - Mtemti 5 Teori dell proilità I - Teori dell proilità II Pietro Sinio Geometri I - Geometri II STUDENTI Mtteo Alessndrini lsse VA Alger Linere L presente oper è distriuit seondo le ttriuzioni dell Cretive Commons. L versione orrente è l. In prtiolre hi vuole redistriuire in qulsisi modo l oper, deve grntire l presenz dell prim di opertin e dell inter Prte Contriuti ompost di prgrfi: Contriuti e lienz. Settemre 2014 Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data...

Numeri razionali COGNOME... NOME... Classe... Data... I numeri rzionli Cpitolo Numeri rzionli Verifi per l lsse prim COGNOME............................... NOME............................. Clsse.................................... Dt...............................

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE.

VERIFICA DI UN CIRCUITO RESISTIVO CONTENENTE PIÙ GENERATORI CON UN TERMINALE COMUNE E SENZA TERMINALE COMUNE. FCA D UN CCUTO SSTO CONTNNT PÙ GNATO CON UN TMNAL COMUN SNZA TMNAL COMUN. Si verifino quttro iruiti on due genertori: genertori on polrità onorde e un terminle omune genertori on polrità disorde e un terminle

Dettagli

Momento di una forza rispettto ad un punto

Momento di una forza rispettto ad un punto Momento di un fo ispettto d un punto Rihimimo lune delle definiioni e popietà sui vettoi già disusse ll iniio del oso Podotto vettoile: ϑ ϑ sin sin θ Il vettoe è dietto lungo l pependiole l pino individuto

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti:

Esempio Data la matrice E estraiamo due minori di ordine 3 differenti: Minori di un mtrice Si A K m,n, si definisce minore di ordine p con p N, p

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

Il modello relazionale. Il Modello Relazionale. Il modello relazionale. Relazione. Dominio. Esempio

Il modello relazionale. Il Modello Relazionale. Il modello relazionale. Relazione. Dominio. Esempio Il Moello elzionle Proposto E. F. o nel 1970 per vorire l inipenenz ei ti e reso isponiile ome moello logio in DM reli nel 1981 si s sul onetto mtemtio i relzione, questo ornise l moello un se teori he

Dettagli

Figura 2.1. A sottoinsieme di B

Figura 2.1. A sottoinsieme di B G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Insiemi Generalità Un insieme è una ollezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme Quando un elemento

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI

APPROFONDIMENTI SUI NUMERI APPROFONDIMENTI SUI NUMERI. Il sistem di umerzioe deimle Be presto, ll operzioe turle del otre, si è ggiut l esigez di «rppresetre» i umeri. I sistemi di umerzioe possiili soo molti; per or i limitimo

Dettagli

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =

+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p = 5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni

Dettagli

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010

Corso di ordinamento - Sessione suppletiva - a.s. 2009-2010 Corso di ordinmnto - Sssion suppltiv -.s. 9- PROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIA Tm di: MATEMATICA. s. 9- Dt un circonrnz di cntro O rggio unitrio, si prndno

Dettagli

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Dinamica

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Dinamica www.suolinweb.ltevist.og L Dinmi Poblemi di isi L Dinmi PROBLEA N. Un opo di mss m 4 kg viene spostto on un foz ostnte 3 N su un supefiie piv di ttito pe un ttto s,3 m. Supponendo he il opo inizilmente

Dettagli

1 2-6 7-74 Commento * Continuazione riga! Viene ignorato tutto quello che viene scritto dopo questo carattere [etichett a]

1 2-6 7-74 Commento * Continuazione riga! Viene ignorato tutto quello che viene scritto dopo questo carattere [etichett a] La programmazione è l'arte di far ompiere al omputer una suessione di operazioni atte ad ottenere il risultato voluto. Srivere un programma è un po' ome dialogare ol omputer, dobbiamo fornirgli delle informazioni

Dettagli

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è: Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w

Dettagli

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1 M.Blconi e R.Fontn, Disense di conomi: 3) quilirio del consumtore L scelt di equilirio del consumtore ntegrzione del C. 21 del testo di Mnkiw 1 Prte 1 l vincolo di ilncio Suonimo che il reddito di un consumtore

Dettagli

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro.

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro. Viett l pubbliczione, l riprouzione e l ivulgzione scopo i lucro. GA00001 Qul è l mpiezz ell ngolo che si ottiene ) 95 b) 275 c) 265 ) 5 b sottreno 85 un ngolo giro? GA00002 Due ngoli ll circonferenz che

Dettagli

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine

YOGURT. Dosi per. 150 più secondo il. fermenti. eccezionalee. il nostroo lavorare. intestino. forma. Alla fine YOGURT FATTO IN CASAA CON YOGURTIERA Lo yogurt ftto in cs è senz ltro un modoo sno per crere un limento eccezionlee per l nostr slute. Ricco di ltticii iut intestino fermenti il nostroo lvorre meglioo

Dettagli

Macchine elettriche in corrente continua

Macchine elettriche in corrente continua cchine elettriche in corrente continu Generlità Può essere definit mcchin un dispositivo che convert energi d un form un ltr. Le mcchine elettriche in prticolre convertono energi elettric in energi meccnic

Dettagli

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani

Codici bifissi ed insiemi Sturmiani Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di Lure Specilistic in Mtemtic Codici ifissi ed insiemi Sturmini Studente Frncesco Dolce Reltore Prof. Antonio Restivo Anno Accdemico

Dettagli

1501 QUAL È L'UNITÀ DI MISURA PER MISURARE LA CAPIENZA DELL'HARD DISK? a) Bit b) Kbyte c) Gigabyte. Risposta corretta: 1502 CHE COS'È UN BYTE?

1501 QUAL È L'UNITÀ DI MISURA PER MISURARE LA CAPIENZA DELL'HARD DISK? a) Bit b) Kbyte c) Gigabyte. Risposta corretta: 1502 CHE COS'È UN BYTE? 1501 QUL È L'UNITÀ DI MISUR PER MISURRE L PIENZ DELL'HRD DISK? a) it b) Kbyte c) Gigabyte 1502 HE OS'È UN YTE? a) Un insieme di 256 bit b) Un gruppo di 8 bit c) Un carattere che può assumere solo i valori

Dettagli

Il linguaggio Pascal. Piero Gallo Fabio Salerno

Il linguaggio Pascal. Piero Gallo Fabio Salerno Il linguaggio Pasal Piero Gallo Fabio Salerno Introduzione alla programmazione in Pasal In ogni momento della nostra vita siamo hiamati a risolvere dei problemi. A volte operiamo senza riflettere, spinti

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA

EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Dispense CHIMICA GENERALE E ORGANICA (STAL) 010/11 Prof. P. Crloni EQUILIBRI IN SOLUZIONE ACQUOSA Qundo si prl di rezioni di equilirio dei composti inorgnici, un considerzione prticolre viene rivolt lle

Dettagli

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino:

Studio di funzione. Pertanto nello studio di tali funzioni si esamino: Prof. Emnul ANDRISANI Studio di funzion Funzioni rzionli intr n n o... n n Crttristich: sono funzioni continu drivbili in tutto il cmpo rl D R quindi non sistono sintoti vrticli D R quindi non sistono

Dettagli

ESERCIZI SUI PRODOTTI NOTEVOLI. ESERCIZI SUL M.C.D. E m.c.m. ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE ERCIZI SURUFFINI

ESERCIZI SUI PRODOTTI NOTEVOLI. ESERCIZI SUL M.C.D. E m.c.m. ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE ERCIZI SURUFFINI Esercii dell leione di Alger di se ESERCIZI SUI PRODOTTI NOTEVOLI ESERCIZI SUL M.C.D. E m.c.m. ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE ES ES ERCIZI SURUFFINI ERCIZI SULLE SEMPLIFICAZIONI DI FRAZIONI

Dettagli

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata

Comparazione delle performance di 6 cloni di Gamay ad altitudine elevata Comprzione delle performnce di 6 cloni di Gmy d ltitudine elevt 1 / 46 Motivzioni Selezione clonle IAR-4 Lo IAR-4 è stto selezionto in mbiente montno d un prticolre popolzione di mterile stndrd, dll qule

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli

Dettagli

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA

LE INTERSEZIONI Dispense didattiche di TOPOGRAFIA lsse qurt Docente: In. Ntt MODULO I: IL RILIEVO TOOGRFIO UD I: L INQUDRMENTO ON LE RETI - INTERSEZIONI LE INTERSEZIONI Dispense didttiche di TOOGRFI r M unto di ollins O s θ 00 O d O d 00 θ θ ω ' ω θ c'

Dettagli

GUIDA DELL UTENTE CARATTERISTICHE PRINCIPALI

GUIDA DELL UTENTE CARATTERISTICHE PRINCIPALI DORO Analisi e verifia di sezioni in.a., preompresso/post-teso e miste aiaio-alestruzzo v. 3.01.29 del 17 marzo 2015 dott. ing. FERRARI Alberto www.ferrarialberto.it GUIDA DELL UTENTE CARATTERISTICHE PRINCIPALI

Dettagli

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it) I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 www.cludioccelli.it Dec. 0 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA

Dettagli

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni:

Domanda n. del Pensione n. cat. abitante a Prov. CAP. via n. DICHIARA, sotto la propria responsabilità, che per gli anni: Mod. RED Sede di Domnd n. del Pensione n. ct. nto il stto civile bitnte Prov. CAP vi n. DICHIARA, sotto l propri responsbilità, che per gli nni: A B (brrre l csell reltiv ll propri situzione) NON POSSIEDE

Dettagli

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione

07 GUIDA ALLA PROGETTAZIONE. Guida alla progettazione 07 Guid ll progettzione Scelt tubzioni e giunti 2 tubi di misur [mm] Dimetro tubzioni unità esterne (A) Giunti 12Hp 1Hp 1Hp Selezionre il dimetro delle unità esterne dll seguente tbell Giunto Y tr unità

Dettagli

CONOSCIAMO LE NORME SULLA SICUREZZA E SUL DIRITTO D AUTORE

CONOSCIAMO LE NORME SULLA SICUREZZA E SUL DIRITTO D AUTORE Conosimo le norme sull siurezz e sul iritto utore Unità 7 UNITÀ DIDATTICA 7 CONOSCIAMO LE NORME SULLA SICUREZZA E SUL DIRITTO D AUTORE IN QUESTA UNITÀ IMPAREREMO... onosere le norme he regolno il iritto

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo Istituto di Antropologi dell Regi Università di Rom Vrizioni di sviluppo del lobo frontle nell'uomo pel Dott. SERGIO SERGI Libero docente ed iuto ll cttedr di Antropologi. Il problem dei rpporti di sviluppo

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

x = AP = AC PC = R (θ sen θ) y = PB = PQ + BQ = R (1 cos θ).

x = AP = AC PC = R (θ sen θ) y = PB = PQ + BQ = R (1 cos θ). L iloide L urv no oggi ome iloide fu onsider per primo d Glileo, he in un primo momeno ongeurò he l re dell figur rhius fosse re vole quell del erhio he l gener Più rdi, forse us di qulhe esperimeno ml

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

METODO VOLTAMPEROMETRICO

METODO VOLTAMPEROMETRICO METODO OLTAMPEOMETCO Tle etodo consente di isrre indirettente n resistenz elettric ed ipieg l definizione stess di resistenz : doe rppresent l tensione i cpi dell resistenz e l corrente che l ttrers coe

Dettagli

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio *

Le spese di ricerca e sviluppo: gestione contabile ed iscrizione in bilancio * www.solmp.it Le : gestione contbile ed iscrizione in bilncio * Piero Pisoni, Fbrizio Bv, Dontell Busso e Alin Devlle ** 1. Premess Le sono esminte nei seguenti spetti: Il presente elborto è trtto d: definizione

Dettagli

MACCHINE ELETTRICHE. Stefano Pastore. Macchine in Corrente Continua

MACCHINE ELETTRICHE. Stefano Pastore. Macchine in Corrente Continua MACCHINE ELETTRICHE Mahine in Corrente Continua Stefano Pastore Dipartiento di Ingegneria e Arhitettura Corso di Elettrotenia (IN 043) a.a. 2012-13 Statore Sistea induttore (Statore): anello in ghisa o

Dettagli

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi

Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell. Davide Penazzi Funzioni tra insiemi niti Numeri di Stirling e Bell Davide Penazzi 2 Funzioni tra insiemi niti: i numeri di Stirling e Bell 1 Contare il numero delle funzioni tra insiemi 1.1 Denizioni e concetti preliminari

Dettagli

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie?

ESERCITAZIONI. I. 1)Una coppia ha già due figlie. Se pianificassero di avere 6 figli, con quale probabilità avranno una famiglia di tutte figlie? ESERCITZIONI. I 1)Un coppi h già due figlie. Se pinificssero di vere 6 figli, con qule probbilità vrnno un fmigli di tutte figlie? ) 1/4 b)1/8 c)1/16 d)1/32 e)1/64 2)In un fmigli con 3 bmbini, qul e l

Dettagli

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE

LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE LEZIONI DI MATEMATICA PER I MERCATI FINANZIARI Dipartimeto di Sieze Eoomihe Uiversità di Veroa VALUTAZIONE DI TITOLI OBBLIGAZIONARI E STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI DI INTERESSE Lezioi di Matematia per

Dettagli

DICHIARAZIONE DI INIZIO ATTIVITÀ, VARIAZIONE DATI O CESSAZIONE ATTIVITÀ AI FINI IVA

DICHIARAZIONE DI INIZIO ATTIVITÀ, VARIAZIONE DATI O CESSAZIONE ATTIVITÀ AI FINI IVA Modello 9/11 DIHIRZIONE DI INIZIO TTIVITÀ, VRIZIONE DTI O ESSZIONE TTIVITÀ I FINI IV (IMPRESE INDIVIDULI E LVORTORI UTONOMI) Informativa sul dei dati personali ai sensi dell art. 13 del D.Lgs. n. 196 del

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto

Dettagli

Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 9

Analisi funzionale. Riccarda Rossi Lezione 9 Riarda Rossi Lezione 9 Caratterizzazione della onvergenza debole in L p (Ω) Siano 1 < p < e {f n}, f L p (Ω): allora f n f in L p (Ω) Teorema di ompattezza debole in L p (Ω) Teorema Siano 1 < p < e {f

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it

Fatturiamo. Versione 5. Manuale per l utente. Active Software Corso Italia 149-34170 Gorizia email info@activeweb.it Ftturimo Versione 5 Mnule per l utente Active Softwre Corso Itli 149-34170 Gorizi emil info@ctiveweb.it Se questo documento ppre nell finestr del vostro browser Internet di defult, richimte il comndo Registr

Dettagli

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo

Cuscinetti ad una corona di sfere a contatto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo Cuscinetti d un coron di sfere conttto obliquo 232 Definizione ed ttitudini 232 Serie 233 Vrinti 233 Tollernze e giochi 234 Elementi di clcolo 236 Crtteristiche

Dettagli

Una voce poco fa / Barbiere di Siviglia

Una voce poco fa / Barbiere di Siviglia Una voce oco a / Barbiere di Siviglia Andante 4 3 RÔ tr tr tr 4 3 RÔ & K r # Gioachino Rossini # n 6 # R R n # n R R R R # n 8 # R R n # R R n R R & & 12 r r r # # # R Una voce oco a qui nel cor mi ri

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI

MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI MATRICI SIMILI E MATRICI DIAGONALIZZABILI DEFINIZIONE: Due mtici qudte A e B, dello stesso odine n, si dicono simili se esiste un mtice non singole S, tle che isulti: B S A S L mtice S si chim nche mtice

Dettagli

Alla pagina successiva trovate la tabella

Alla pagina successiva trovate la tabella Tabella di riepilogo per le scomposizioni Come si usa la tabella di riepilogo per le scomposizioni Premetto che, secondo me, questa tabella e' una delle pochissime cose che in matematica bisognerebbe "studiare

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

George Frideric Handel. Reduction. From the Deutsche Händelgesellschaft Edition Edited by Frideric Chrysander

George Frideric Handel. Reduction. From the Deutsche Händelgesellschaft Edition Edited by Frideric Chrysander Gorg Fdc Hndl GIULIO CESARE 1724 Rduction From th Dutsch Händlgsllschft Etion Etd by Fdc Chrysndr Copyght 2001-2008 Nis Scux. Licnsd undr th Ctiv Commons Attbution 3.0 Licns 2 3 INDICE 0-1 OUVERTURE 5

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :,

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Una trasformazione geometrica del piano in sé è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano: ( ) , :, TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Un rsforzione geoeric del pino in sé è un corrispondenz iunivoc r i puni del pino P P, P P P è l igine di P rispeo ll rsforzione. Ad ogni puno P(,) corrisponde uno ed un solo

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

STUD FOTOVOLTAICO 16 LED 1.2W CW

STUD FOTOVOLTAICO 16 LED 1.2W CW Cod. 1879.185M STUD FOTOVOLTAICO 16 LED 1.2W CW Crtteristiche tecniche Corpo in lluminio pressofuso Portello di chiusur vno cblggio/btterie in termoindurente Riflettore in lluminio vernicito binco Diffusore

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

11. Attività svolta dall Agenzia, risorse e aspetti organizzativi

11. Attività svolta dall Agenzia, risorse e aspetti organizzativi 11. Attività svolt dll Agenzi, risorse e spetti orgnizztivi 11.1 Attività istituzionle svolt i sensi dell Deliberzione istitutiv In un vlutzione complessiv delle ttività svolte dll Agenzi i sensi dell

Dettagli

Costruzioni con riga e compasso. Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it

Costruzioni con riga e compasso. Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it ostruzioni con riga e compasso Fabio Stumbo Dipartimento di Matematica Università di Ferrara Ferrara, I f.stumbo@unife.it INDIE 2 Indice 1 Note storiche 3 2 ostruzioni fondamentali 8 2.1 Definizione e

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Fatture registro unico. Oggetto della fornitura

Fatture registro unico. Oggetto della fornitura .S.: - - IC GIOVNNI XXIII/CESTE MIICBC (CF: ) nno Finnzirio: Ftture registro unico Ftture trovte: Numero- Dt Prg Reg Procoll o /B - -- /B - -- /B - -- Tipo Doc fttur fttur fttur Numero Fttur V- /M Dt Fttur

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN POLINOMIO Così come avviene per i numeri ( 180 = 5 ), la scomposizione in fattori di un polinomio è la trasformazione di un polinomio in un prodotto di più polinomi irriducibili

Dettagli

http://www.gazzettaufficiale.it/atto/stampa/serie_generale/originario

http://www.gazzettaufficiale.it/atto/stampa/serie_generale/originario Pagina 1 di 8 LEGGE 3 luglio 2014, n. 99 Ratifica ed esecuzione dell'accordo fra il Governo della Repubblica italiana e il Governo degli Stati Uniti d'america sul rafforzamento della cooperazione nella

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Controllo di Gestione (CdG)

Controllo di Gestione (CdG) Controllo di Gestione (CdG) Controllo di gestione (CdG) Controllo dei risultati a. Condizioni di fattiilità ed effiaia. Elementi. Grado di rigidità d. Potenzialità e. Svantaggi f. Profili istituzionali

Dettagli

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso.

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso. I vettor B Un segmento orentto è un segmento su cu è stto fssto un verso B d percorrenz, d verso oppure d verso. A A Il segmento orentto d verso è ndcto con l smolo. Due segment orentt che hnno l stess

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli