TEORIA DELLA PROBABILITÀ II

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1 TEORIA DELLA PROBABILITÀ II Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive Versione [14-15]

2 Indie 1 Clolo omintorio Introduzione Permutzioni Disposizioni Semplii Disposizioni on Ripetizione Cominzioni Coeffiienti Binomili Formul del Binomio di Newton Conlusione ed esempi riepilogtivi Eserizi riepilogtivi I Contriuti 10 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

3 Cpitolo 1 Clolo omintorio 1.1 Introduzione Il Clolo Comintorio è quell prte dell mtemti he determin e ont i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti seguendo, di volt in volt, regole definite priori. Tli rggruppmenti si possono, inftti, ostruire tenendo onto di lune rtteristihe he li denotno. Essi possono vrire per: omposizione, ioè per i diversi oggetti he vi fnno prte; ordine, ioè per l divers posizione oupt dgli oggetti; ripetizione, ioè per l possiilità he un oggetto ompi più volte. 1.2 Permutzioni Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell tern, i sono 2 possiilità per riempire le selle suessive:,, e,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le terne,, e,, (oppure,, e,, ). Shemtimente: In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

4 1.3 Disposizioni Semplii 2 Definizione Diremo Permutzioni Semplii di n oggetti i rggruppmenti he si possono fre on gli n oggetti presi n n; due permutzioni differisono tr loro solo per l ordine. Volendo ontre le permutzioni, immginimo di dover riempire n selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., solo uno per l ultim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2) modi diversi per riempire le n selle. Indindo on P n il numero delle permutzioni, imo: P n n (n 1) (n 2) Il numero n (n 1) (n 2) è himto n fttorile, il suo simolo è n! e per onvenzione 0!1 e 1!1. Inoltre, lo studente ttento noterà filmente he dll definizione segue he Periò possimo nhe srivere: n! n (n 1)! P n n (n 1) (n 2) n! n N Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt gli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond, ne restno 2 per segliere l terz e solo un per ompletre l prol: mor, mro, omr, orm, rmo, rom; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole mor, mro, mor, mor, mro, mro; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole omr, orm, omr, omr, orm, orm; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole rmo, rom, rmo, rmo, rom, rom; In definitiv i sono 24 ioè P 4 4! prole diverse formte on gli elementi di A. Eserizio In qunti modi diversi 5 mii ptentti possono prendere posto in un mhin omologt per 5? Eserizio In qunti modi diversi 6 psseggeri possono sedersi in un fil di 6 posti di un ereo? 1.3 Disposizioni Semplii Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A? Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; llo stesso modo, se il primo elemento è (oppure ) si ottengono le oppie, e, (oppure, e, ). Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

5 1.4 Disposizioni on Ripetizione 3 In definitiv i sono 6 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,, Definizione Diremo Disposizioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine. Volendo ontre le disposizioni semplii, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, ne rimngono solo (n-1) per l seond, (n-2) per l terz,..., (n-k+1) per l k-esim. Complessivmente i srnno n (n 1) (n 2)... (n k + 1) modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni semplii, imo: D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) n, k N, k n Lo studente ttento noterà he d qunto visto finor si ottiene filmente he: D n,k n! (n k)! Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo un sol volt 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 3 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol: m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro. In definitiv i sono 12 ioè D 4,2 4 3 prole diverse formte on 2 degli elementi di A. Eserizio In qunti modi diversi 5 mii possono sedersi sui 3 posti lieri di un inem per ssistere ll proiezione di un film (onsiderimo diversi due modi he differisono per l ordine)? Eserizio In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi distinti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.4 Disposizioni on Ripetizione Esempio Dto l insieme A {, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 3 selle usndo gli elementi di A nhe ripetuti più volte? Se è il primo elemento dell tern, le possiilità per riempire le due selle suessive sono:,,, ; llo stesso modo, se il primo elemento è si ottengono le terne,,,. Shemtimente: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

6 1.5 Cominzioni 4 In definitiv i sono 8 modi diversi di riempire le 3 selle usndo gli elementi di A:,,,,,,, Definizione Diremo Disposizioni on Ripetizione di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti; due disposizioni on ripetizione differisono tr loro per lmeno un oggetto oppure per l ordine e uno stesso oggetto può essere ripetuto fino k volte. Volendo ontre le disposizioni on ripetizione, immginimo di dover riempire k selle on gli n oggetti: imo n modi diversi per riempire l prim sell, nor n modi diversi per l seond, n modi diversi per l terz,..., n modi nhe per l k-esim. Complessivmente i srnno n k modi diversi per riempire le k selle. Indindo on D n,k il numero delle disposizioni on ripetizione, imo: D n,k n k n, k N Osservzione. Si noti he mentre per lolre il numero delle disposizioni semplii deve essre k n, per le disposizioni on ripetizione k è un nturle qulsisi. Esempio Dto l insieme A {, m, o, r}, qunte prole (nhe prive di signifito) si possono formre utilizzndo nhe ripetuti 2 degli elementi di A? Se è l prim letter dell prol, i sono 4 possiilità per segliere l seond e quindi ompletre l prol:, m, o, r, ; llo stesso modo, se l prim letter è m si ottengono le prole m, mm, mo, mr; llo stesso modo, se l prim letter è o si ottengono le prole o, om, oo, or; llo stesso modo, se l prim letter è r si ottengono le prole r, rm, ro, rr. In definitiv i sono 16 ioè D 4,2 4 2 prole diverse formte on 2 degli elementi di A nhe ripetuti. Eserizio In qunti modi diversi si possono disporre i simoli 1, X, 2 sulle 13 olonne di un shedin del totolio? Eserizio In qunti modi si possono determinre pssword diverse prendendo 4 elementi nhe ripetuti dll insieme A {1, 2, 3, 4, x, y}? 1.5 Cominzioni Esempio Dto l insieme A {,, }, qunti sono i modi in ui possimo riempire 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine? Ovvero, i stimo hiedendo qunti sottoinsiemi di 2 elementi possimo formre. Se è il primo elemento dell oppi, i sono 2 possiilità per riempire l sell suessiv:, e, ; se, invee, il primo elemento è si ottiene solo l oppi, perhè l oppi, equivle ll oppi, già trovt; se, invee, il primo elemento è non è nessun ltr oppi he non equivlg un delle preedenti. Shemtimente, ostruimo dpprim tutte le possiili oppie di 2 elementi riservndoi di eliminre suessivmente i doppioni ioè le oppie equivlenti in qunto differenti solo per l ordine: [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

7 1.5 Cominzioni 5 In definitiv i sono 3 modi diversi di riempire le 2 selle usndo gli elementi di A indipendentemente dl loro ordine:,, Definizione Diremo Cominzioni Semplii di n oggetti presi k k i rggruppmenti he si possono fre on k degli n oggetti indipendentemente dl loro ordine; due ominzioni differisono tr loro per lmeno un oggetto. Volendo ontre le ominzioni semplii, ontimo dpprim le disposizioni semplii di n oggetti presi k k e poi per eliminre i doppioni dividimo per il numero delle permutzioni di k oggetti. Indindo on C n,k il numero delle ominzioni semplii, imo: C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! n, k N, k n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) Il numero è himto oeffiiente inomile, si legge n sopr ( ) k! ( ) n n k, il suo simolo è e per onvenzione 1. k 0 Periò possimo nhe srivere: Osservzione. Si noti he nell formul C n,k ( n k C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k! il numero dei fttori numertore è k ome quelli presenti nel denomintore: kfttori { }} { C n,k D n,k n (n 1) (n 2)... (n k + 1) P k k (k 1) (k 2)... 1 } {{ } kfttori Esempio Un gruppo di 6 mii, Alessndro, Enrio, Fio, Giorgio, Mtteo e Rirdo vogliono ndre l inem m hnno solo 4 iglietti; in qunti modi diversi possono segliere i 4 fortunti? ) In questo so non è possiile he i sino delle ripetizioni e l ordine è indifferente. Se Alessndro è il primo fortunto, i sono 10 possiilità per ompletre il gruppo: usndo le inizili dei rgzzi vremo AEF G, AEF M, AEF R, AEGM, AEGR, AEMR, AF GM, AF GR, AF MR, AGMR se, invee, Alessndro st s ed Enrio è il primo dell list, i sono 4 possiilità per ompletre il gruppo: EF GM, EF GR, EF MR, EGMR infine se Alessndro ed Enrio rinunino, l uni possiilità è F GMR. In definitiv i sono 15 ioè C 6,4 D 6, P 4 4! ndre l inem gruppi diversi he possono [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

8 1.5 Cominzioni 6 Eserizio In qunti modi diversi 5 mii possono utilizzre 3 iglietti per ssistere d un prtit di lio? Eserizio Qunte rtelle isogn giore l Lotto per essere siuri di vinere un terno? Coeffiienti Binomili Aimo detto sopr he il numero delle ominzioni di n oggetti presi k k è ( ) n C n,k k voglimo pprofondire or luni spetti e proprietà di tli oeffiienti inomili. Dll definizione ( ) n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k k! segue immeditmente he ( n 1 ) n e ( n n Dimostrimo, inoltre, le due proprietà seguenti: ( ) n n! P 1 ) k k!(n k)! ( ) ( ) n n P 2 ) k n k ) 1 Dim. P 1 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) (n k) (n k 1) k!(n k)! k!(n k)! n (n 1) (n 2)... (n k + 1) k! vendo semplifito numertore e denomintore per (n k)!. Dim. P 2 ) prtendo dl seondo memro dell uguglinz d dimostrre, si h: n (n 1) (n 2)... (n (n k) + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) n (n 1) (n 2)... (k + 1) k! (n k)! (n k)! (n k)!k! n! k!(n k)! vendo moltiplito numertore e denomintore per k! e usto l preedente proprietà Formul del Binomio di Newton Teorem Dti due numeri reli, e un numero nturle non nullo n, vle l seguente uguglinz n ( ) ( + ) n n n k k k k0 [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

9 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi 7 Dimostrzione. Osservimo dpprim he ( + ) n ( + ) ( + )... ( + ) } {{ } nfttori è un polinomio omogeneo di grdo n, ostituito d monomi l ui prte letterle è n, n 1, n 2 2,..., 2 n 2, n 1, n ; il prolem è individurne ( i rispettivi ) oeffiienti. n Il oeffiiente di n k k è perhè i modi diversi di moltiplire n k fttori uguli d on k k fttori uguli prendendoli d isuno degli n fttori uguli d ( + ) sono le ominzioni di n n (n 1) (n 2)... (n k + 1) oggetti presi k k, ioè C n,k. k! Lo studente ttento noterà l identità tr i oeffiienti del tringolo di Trtgli e i oeffiienti inomili. 1.6 Conlusione ed esempi riepilogtivi All inizio del pitolo i ervmo proposti di determinre e ontre i rggruppmenti he si possono formre on k oggetti di un insieme finito di n oggetti. Arrivti questo punto risult hiro he i sono diversi modi di proedere: se voglimo prendere tutti gli n oggetti e mirne solo l ordine, llor ottenimo le permutzioni; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni semplii; se voglimo prendere k oggetti, nhe ripetetendoli, pesndoli fr gli n oggetti dti, onsiderndo diversi i rggruppmenti in ui l ordine è mito, ottenimo le disposizioni on ripetizione; se voglimo prendere solo k degli n oggetti, senz ripeterli, non ontndo l ordine in ui gli oggetti sono disposti, ottenimo le ominzioni. Esempio Qunte sono le inquine he ontengono un determinto terno nel gioo dell tomol? I numeri disposizione sono 90, di ui 3 vengono fissti; per ompletre l inquin ne rimngono d segliere ltri 2 sugli 87 rimsti, non ontndo nè l ordine (estrrre prim 27 e dopo 81 o vievers è l stess os!) nè le ripetizioni (dopo ver estrtto un numero non viene rimesso nel shetto e quindi non può essere ripesto!), i possiili rggruppmenti sono le ominzioni di 87 oggetti presi 2 2, he sono C 87, Esempio Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5? Le ifre disposizione sono 4 m l ultim è fisst (perhè un numero si divisiile per 5 deve finire per 5 o per 0, m noi imo disposizione solo il 5!) periò ne restno d segliere 3; i rggruppmenti he erhimo possono vere le ifre ripetute (uno dei numeri he possimo ottenere è 5555) e l ordine è rilevnte (2345 è diverso d 3245); si trtt, quindi, delle disposizioni on ripetizione di 4 oggetti presi 3 3, he sono D 4, Esempio Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori? I giotori disposizione sono 7 di ui doimo seglierne 5; i rggruppmenti he erhimo non possono vere i giotori ripetuti m l ordine è rilevnte (mi l formzione se i giotori si mino di posizione); si trtt, quindi, delle disposizioni semplii di 7 oggetti presi 5 5, he sono D 7, [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

10 1.7 Eserizi riepilogtivi 8 Esempio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol pium? Le lettere disposizione sono 5 di ui doimo mire solo l ordine; si trtt, quindi, delle permutzioni di 5 oggetti, he sono P 5 5! Esempio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi pri. I si possiili sono i rggruppmenti di 10 oggetti presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 10 oggetti presi 2 2, he sono C 10, I si fvorevoli sono i rggruppmenti di 5 oggetti (i soli pri fr 1 e 10 ompresi) presi 2 2; non essendoi ripetizioni e non ontndo l ordine, si trtt delle ominzioni di 5 oggetti presi 2 2, he sono C 5, L proilità ert, seondo l definizione lssi, è p(e) Eserizi riepilogtivi Eserizio Qunte sono le inquine he ontengono un determint qutern nel gioo dell tomol? Eserizio Qunte sono le inquine he ontengono un determinto mo nel gioo dell tomol? [ ] Eserizio Qunti sono i numeri di 4 ifre, divisiili per 5 e ontenenti solo le ifre 2,3,4,5 minori di 5000? [86] [ ] Eserizio Qunte linee d tto di 5 giotori isun si possono formre on 7 giotori, tenendo fiss l l destr (he è sempre un giotore in tto)? Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol penn? (Si prl, in questo so, di permutzioni on ripetizione) [ P5 120 ] P Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonn? [ P5 120 ] P Eserizio Qunti ngrmmi, nhe privi di signifito, si possono ottenere dll prol nonno? [ P5 120 ] P 3 P [360] [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

11 1.7 Eserizi riepilogtivi 9 Eserizio Dti 10 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte rette si possono trire ongiungendo i punti 2 2? Eserizio Dti 5 punti in un pino, 3 3 non llineti, qunte tringoli si possono trire ongiungendo i punti 3 3? Eserizio In un urn i sono 20 plline numerte d 1 20 e 5 di queste sono inhe, mentre le rimnenti sono di un ltro olore. Qunte quterne si possono estrrre in modo he in ognun di esse i si lmeno un pllin in? (Togli d tutte le possiili quterne quelle he non ontengono lun pllin in) [45] [10] [3480] Eserizio In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi. Qul è l proilità di estrrre un pio di lzini dello stesso olore (l uio, nturlmente!)? [ ] 1 9 Eserizio In un ssetto i sono inque pi di lzini di 5 olori diversi, di ui un pio ino. Qul è l proilità di estrrre il pio di lzini ino (l uio, nturlmente!)? (suggerimento: si onsiderino gli eventi A: il primo lzino estrtto è ino B: il seondo lzino estrtto è ino B A: entrmi i lzini estrtti sono inhi B A: il seondo lzino estrtto è ino nell ipotesi he nhe il primo lo fosse p(b A) p(a) p(b A)) [ ] 1 45 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono entrmi dispri. [ ] 2 9 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di due plline, lol l prolità dell evento E: i numeri estrtti sono uno pri e uno dispri. [ ] 5 9 Eserizio Un urn ontiene 10 plline numerte d Nell estrzione ontemporne di tre plline, lol l prolità dell evento E: ese il 3. [ ] 3 10 Eserizio Un mrinio dispone di 5 ndiere di olori diversi; qunti messggi differenti può invire utilizzndo fino tre ndiere, potendo riutilizzre l stess ndier? E qunti, invee, non potendol riutilizzre? [155; 85] Eserizio Nel lnio di 5 ddi regolri qul è l proilità di ottenere ome somm un numero pri? (Test di mmissione ll folità di Mediin, 2012) [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

12 Prte I Contriuti [134-15] - ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive

13 Contriuti e lienz Eri Botto Alger I - Alger II - Insiemi - Eserizi di geometri metri Benimino Bortelli Grfii Roerto Crrer Coordintore progetto - Numeri - Funzioni - Alger Linere - Integrzione - Mtemti 5 - Sttisti desrittiv Moren De Poli Lortorio mtemti Piero Fntuzzi Alger I - Alger II - Insiemi - Eserizi di geometri metri Cterin Fregonese Anlisi (Integrzione) - Eserizi Crmen Grnzotto Funzioni - Anlisi (Integrzione) Frn Gressini Funzioni - Sttisti desrittiv - Teori dell proilità I - Teori dell proilità II - Teori dell proilità III Betrie Hitthler Funzioni trsendenti - Geometri nliti - Numeri omplessi - Anlisi - Mtemti 5 Teori dell proilità I - Teori dell proilità II Lui Perissinotto Funzioni trsendenti - Geometri nliti - Numeri omplessi - Anlisi - Mtemti 5 Teori dell proilità I - Teori dell proilità II Pietro Sinio Geometri I - Geometri II STUDENTI Mtteo Alessndrini lsse VA Alger Linere L presente oper è distriuit seondo le ttriuzioni dell Cretive Commons. L versione orrente è l. In prtiolre hi vuole redistriuire in qulsisi modo l oper, deve grntire l presenz dell prim di opertin e dell inter Prte Contriuti ompost di prgrfi: Contriuti e lienz. Settemre 2014 Diprtimento di Mtemti ITIS V.Volterr Sn Donà di Pive