2^ Lezione. Equazioni di 1. Equazioni di 2. Equazioni fattoriali. Equazioni biquadratiche. Equazioni binomie. Equazioni fratte. Allegato Esercizi.
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- Amerigo Leoni
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1 Corso di Anli Alger di Bse ^ Lezione Equzioni di. Equzioni di. Equzioni fttorili. Equzioni iqudrtihe. Equzioni inomie. Equzioni frtte. Allegto Eserizi.
2 EQUAZIONI ALGEBRICHE EQUAZIONI DI GRADO Con il termine di equzione intendimo un uguglinz tr due espresoni lgerihe, ontenenti un inognit (). Risolvere tle equzione gnifi determinre quel prtiolre vlore d ttriuire ll inognit (), per il qule risulti verifit l eguglinz. Es. Es. risolvere verifi Es. risolvere Es. risolvere ( ) ( ) Es. risolvere ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ]
3 EQUAZIONI DI GRADO equzione omplet ed ordint le soluzioni ( o rdii ) dell'equzione ottengono dll' pplizione dirett dell formul dett formul risolutiv. dove him disriminnte dell equzione. Allo stesso modo può utilizzre quell he him formul ridott ( notevolmente vntggios in erti )
4 Crtteristihe prinipli dell'equzione di grdo ) soluzioni reli e distinte. ) soluzioni reli e oinidenti. ( il polinomio è il qudrto di un inomio ). ) / R ( nessun soluzione in R ). C prtiolri dell equzione di grdo ( ) ) Se l equzione divent dett nhe equz. SPURIA pplindo l formul risolutiv imo
5 Gli stes risultti li posmo ottenere molto più sempliemente usndo il roglimento fttore omune ( ) Es. ( ) ) Se l equz. divent dett nhe equz. PURA pplindo nuovmente l formul risolutiv imo Equivlentemente potremo risolvere nhe osì NOTA BENE dl momento he stimo operndo nel mpo dei numeri reli le soluzioni di un equzione pur sono ettili se e solo se i vlori dei oeffiienti e sono di segno disorde.
6 Quindi, R,, Es. (, ) / R In questo so potev rgionre in modo semplie onderndo he un qudrto ( ) he esprime un quntità potiv non può mi essere ugule d un numero negtivo. Riordimo he il grdo di un'equzione è dto dl grdo msmo di un suo monomio e he il grdo esprime ltresì il numero msmo di soluzioni ( rdii ) dell stess. Il monomio privo di fttore letterle ( inognit ) è detto termine noto dell'equzione ; l mnnz di tle termine qulifi l'equzione ome omogene. Sintetizzndo n n n n n n n... z n... z... v equzione ordint ( potenze deresenti ) e omplet ( presenz del termine noto ) equzione ordint ( potenze deresenti ) e inomplet ( mnnz di un termine ) equzione ordint omogene ( potenze deresenti ) e inomplet ( mnnz del termine noto ) EQUAZIONI FATTORIALI Si ottengono pplindo le regole dell sompozione lle equzioni di grdo superiore l seondo. Es. P n A B C... Z
7 Es. risolvere Applindo le regole dell sompozione imo ( ) ( ) rogl. przile o suesvo ( ) ( ) A B quindi un equzione fttorile ltro non è he il prodotto di due o più fttori ( rppresentti d ngoli polinomi ). E del tutto evidente he un prodotto di due o più fttori è nullo se lmeno uno dei fttori lo è. Quindi risolveremo un equzione fttorile disutendo l nnullmento di ogni ngolo fttore. Tle proedimento deriv dll oddett LEGGE DELL ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. A B Riprendendo l esempio sopr vremo he ( ) ( ) ( ) ( ) / R ( nessun soluzione rele) Altro Es. risolvere equz. di grdo trmite Ruffini ( ) ( ) ( )
8 A B C ) ( ) ( ) ( Equivlentemente ( rdie o soluzione tripl) EQUAZIONI BIQUADRATICHE Un so prtiolre di equzione di grdo superiore l è dto d un polinomio di grdo mnnte dei termini di grdo dispri ; tle tipo di equzione viene himt iqudrti. Simolimente ssumerà l form L risoluzione di tle tipo di equzione vverrà trmite il metodo di sostituzione dopo ver posto t ndremo risolvere un semplie equzione di grdo ; vremo dunque ll fine i orrispondenti vlori di t he dovrnno essere risostituiti nell ondizione post inizilmente per risolvere l equzione pur orrispondente. Es risolvere t t t t t t e di qui h R /
9 EQUAZIONI BINOMIE Un tipo di equzione di grdo superiore l ostituit d un polinomio di soli due termini ( inomio ) definise quell he him equzione inomi. L form srà del tipo n L risoluzione orrett di tle tipo di equzione vverrà trmite orrispondente equzione fttorile. Es risolvere Es risolvere Es risolvere D un punto di vist oggettivmente prtio, enhè il metodo orretto quello enunito dinzi, posmo determinre le rdii reli di un equzione inomi ) ome un equzione di grdo pur ( se di indie n-pri ), ) ome un equzione di grdo, on l reltiv estrzione di rdie, ( se di indie n-dispri ). Sintetimente ) ( ) ( dispri n pri n n n n n n n
10 Riesminndo gli esempi preedenti h Es risolvere Es risolvere Es risolvere Es risolvere Es risolvere / R EQUAZIONI FRATTE Per equzione frtt intende un equzione l ui vriile ( inognit ) ompre nhe l denomintore. A B Tle tipo di equzione risolve onderndo l equzione formt dl solo numertore, dopo l disusone del denomintore ( on l onseguente su esluone ). Sostnzilmente ppli un delle proprietà fondmentli dell'lger moltiplindo medue i termini di un uguglinz per uno stesso numero il risultto non mi B A( ) B( ) B
11 Posto quindi B ndremo risolvere A Le soluzioni finli dell equzione srnno ettili se e solo se omptiili on l disusone ftt inizilmente. Es. risolvere posto dunque ( ) risolveremo entrme ettili poihé diverse d Es. risolvere posto vremo on non ett. Quindi l sol soluzione dell equzione dt rimne.
12 Es. posto vremo 9 entrme soluzioni. NOTA Voglimo riordre he le soluzioni (o rdii ) di un equzione sono l msmo pri l grdo dell equzione.
13 Eserizi dell lezione di Alger di se ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (SPURIE) ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (PURE) ES ERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO ES ERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL E SERCIZI SULLE EQUAZIONI FRATTE
14 USO DEI PULSANTI Visulizz solo l soluzione dell'eserizio Visulizz le soluzioni di tutti gli eseriz i Nsonde le soluzioni T orn ll'indie degli eserizi T orn ll'indie dell lezione
15 Risolvere le seguenti equzioni di primo grdo
16 . ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) 9. ( ) ( ) 9 9
17 .
18 Risolvere le seguenti equzioni inomie di seondo grdo, mnnti del termine noto (spurie).. he riordndo. he riordndo. he riordndo. he riordndo. he riordndo.
19 he riordndo. he riordndo. he riordndo 9. he riordndo
20 . he riordndo
21 Risolvere le seguenti equzioni inomie di seondo grdo (pure). 9,, 9 se he riordndo. 9,, 9 se he riordndo.,, se he riordndo.,, se he riordndo.,, se he riordndo
22 . 9,, 9 se he riordndo. 9 R / se he riordndo,, 9.,, se he riordndo 9. 9 R / se he riordndo,, 9.,, se he riordndo
23 Risolvere le seguenti equzioni di seondo grdo ( omplete ). h poihè. h poihè. h poihè. h poihè. R / h poihè. h poihè. 9 9 h poihè. 9
24 h poihè 9. R / h poihè. 9 h poihè
25 Risolvere le seguenti equzioni di grdo superiore l seondo. Applindo Ruffini h he per l'ppunto definise un equzione fttorile. d ui e quindi rissumendo le soluzioni sono ;. Applindo Ruffini h he per l'ppunto definise un equzione fttorile
26 d ui e quindi rissumendo le soluzioni sono ;. Applindo Ruffini h [ ] he per l'ppunto definise un equzione fttorile. d ui e quindi rissumendo le soluzioni sono ;
27 Avremmo potuto nhe risolvere l'equzione ome iqudrti posto t poihè t t t e risostituendo Sree stto più semplie se d suito vesmo notto he. Applindo Ruffini h he per l'ppunto definise un equzione fttorile. d ui R / 9 e quindi rissumendo le soluzioni sono - - 9
28 . Applindo Ruffini h he per l'ppunto definise un equzione fttorile. d ui R / e quindi rissumendo le soluzioni sono. posto t t t poihè t t t e risostituendo. ). ( tripl sol
29 . R / molto più sempliemente 9. R / molto più sempliemente.
30 Risolvere le seguenti equzioni frtte. h posto e quindi le soluzioni sono. h posto e quindi le soluzioni sono / R
31 . { R / poihè e h posto 9. R / poihè e h posto., poihè e h posto e quindi le soluzioni sono
32 . poihè e h posto e quindi le soluzioni sono., poihè e h posto e quindi le soluzioni sono
33 . R / poihè e h posto, 9 9. poihè e h posto e quindi le soluzioni sono. 9, 9 9 poihè e h posto e quindi le soluzioni sono,
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