TOPOGRAFIA. Prima parte. Prof. Roma Carmelo

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1 TOPOGRFI Prim prte

2 TOPOGRFI Sommrio onversione tr sistemi di misur ngolri Funzioni goniometrihe tngente e otngente Teorem dei seni (o di Eulero) Teorem di rnot

3 onversione tr sistemi di misur ngolri Sistemi di misur ngolre

4 onversione tr sistemi di misur ngolri onversioni di un ngolo espresso in grdi sessgesimli ( ) Grdo sessgesimli Grdi deimli (grdi + primi 60 +seondi 3600 ) = = 48 +( ) = 48,2905 Grdo entesimle = ; = 10 9 = 48, = grdo entesimle, indito on l'pie, g o ( gon ), è 1/ 100 dell ngolo retto.

5 onversione tr sistemi di misur ngolri onversioni di un ngolo espresso in grdi sessgesimli ( ) Esempio: = Rdinti rd = π 180 rd = 48,2905 π 180 = 0rd, 8428 (rdinti) y 57,2958 Rdinti rd = 180 r = O r x 200 =

6 onversione tr sistemi di misur ngolri onversione di un ngolo espresso in grdi entesimle sessgesimle Esempio Il grdo entesimle, indito on l'pie ( o g o gon ) è 1/ 100 dell ngolo retto. = Grdi entesimle Nelle loltrii il sistem di misur è denotto on il simolo GRD o G 180 : 200 = : = = 48,2905 (Grdi deimli) onversione di un ngolo espresso in grdi sessdeimle sessgesimle grdi deimle 48,2905 0, = 17, ,43* 60=25,

7 Funzioni goniometrihe tngente e otngente viene definit tngente dell ngolo, e indit on l notzione tg, il rpporto (qundo esiste) tr il teto (opposto ll ngolo ) e il teto O (diente ll ngolo ) del tringolo rettngolo O; viene definit otngente dell ngolo, e indit on l notzione otg, il rpporto (qundo esiste) tr il teto O (diente ll ngolo ) e il teto (opposto ll ngolo ) del tringolo retto O: tg O O otg +XT y tg =/O T S y y y os sen otg =O/ +YS O R=1 x O R=1 x O R=1 x -Ys otg =O/ S T tg sen =/O os os sen tg =/O T otg =O/ S -YS -XT +XT

8 Funzioni goniometrihe tngente e otngente viene definit tngente dell ngolo, e indit on l notzione tg, il rpporto (qundo esiste) tr il teto (opposto ll ngolo ) e il teto O (diente ll ngolo ) del tringolo rettngolo O; viene definit otngente dell ngolo, e indit on l notzione otg, il rpporto (qundo esiste) tr il teto O (diente ll ngolo ) e il teto (opposto ll ngolo ) del tringolo retto O: sen tg os O os otg sen O +XT y tg =/O T S y y y os sen otg =O/ +YS O R=1 x O R=1 x O R=1 x -Ys otg =O/ S T tg sen =/O os os sen tg =/O T otg =O/ S -YS -XT +XT

9 Vlori delle funzioni goniometrihe per ngoli di uso frequente ngolo di 45 (50 ; r/4) sen sen 45 os 45 tg os 45 ngolo di 30 (33,3; r/6) sen os tg 30 sen 30 os tg30 3 ngolo di 60 (66,6; r/3) 3 1 sen 30 sen 60 os 60 0,5 t g os 30 tg

10 Vlori delle funzioni goniometrihe per ngoli di uso frequente y 1 3/2 2/2 1/ os O sen 1/2 2/2 3/2 1 x

11 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRIHE: eserizi Determin gli elementi inogniti di un tringolo rettngolo, retto in, del qule si onose l misur del teto = = 136,95 m e l ngolo = = =44 +( )= 44,225 (deimli) = 90-44,225 =45,775 sen 45,775 =136,95 = 136,95 sen 45,775 =191,109 m oppure os 44,225 =136,95 = 136,95 os 44,225 =191,109 m =191,109 sen 44,225 =133,294 m oppure =191,109 os 45,775=133,294 m

12 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRIHE: eserizi Determin gli elementi inogniti di un tringolo rettngolo, retto in, del qule si onose l misur del teto = = 75,68 m e l ngolo = 39,15 L somm degli ngoli interni di un tringolo è 200 (grdi entesimli) Determinimo l ngolo =100-39,15=60,85 gon (Selezionre on l loltrie GRD ) = ,15 =60,85 =75,68 tg = 75,68 tg 39,15 =53,455 oppure otg = = otg = m tg = sen os = =75,68 otg =75,68 otg 60,85 =53,455 otg = os = sen sen = sen 60,85 = 75,68 = 75,68 sen 60,85 = 92,655 m oppure = os 60,85 = 53,455 os 60,85 = 92,655 m

13 NGOLI E FUNZIONI GONIOMETRIHE: eserizi Determin gli elementi inogniti di un tringolo rettngolo, retto in, del qule si onose l misur del teto = = 45,58 m e del teto = = 28,11 tg α= sen α osα = d ui = rtg =rtg 45,58 28,1 64,8190 gon = sen quindi = sen = 45,58 sen 64,8190 =53,55 m

14 Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) Proprietà dei tringoli Gli elementi di un tringolo qulunque sono i tre lti e i tre ngoli. Per onvenzione i vertii di un tringolo sono inditi on lettere miusole, in genere,,, mentre on le lettere minusole orrispondenti,,,, si indino i lti opposti i rispettivi vertii Infine, on le lettere minusole dell lfeto greo,, vengono indite le mpiezze degli ngoli on i vertii rispettivmente in,,. L geometri i fornise le seguenti proprietà fondmentli reltive gli elementi di un tringolo qulunque: L somm degli ngoli interni di un tringolo è ugule ll ngolo pitto: + + = 200 In ogni tringolo l relzione di uguglinz o disuguglinz he interorre tr due lti vle nhe per gli ngoli rispettivmente opposti (per esempio, se > srà nhe > ).

15 Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) Medinte l trigonometri è possiile lolre le misure degli elementi inogniti di un tringolo, qundo sino dti tre elementi, tr i quli lmeno uno deve essere un lto (o ltro elemento linere) h Risoluzione di un tringolo sleno medinte somposizione in tringoli retti generti d un ltezz. ffinhé si poss proedere è neessrio he i tre elementi noti onsentno l risoluzione prim di uno dei due tringoli retti ottenuti; d questo segue poi l risoluzione del seondo. Tuttvi, non sempre è possiile risolvere i tringoli sleni somponendoli in tringoli rettngoli; inoltre, nhe qundo iò è possiile, l proedur (ome visto sopr) rihiede un erto numero di pssggi.

16 Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) Tuttvi, non sempre è possiile risolvere i tringoli sleni somponendoli in tringoli rettngoli; inoltre, nhe qundo iò è possiile, l proedur (ome visto sopr) rihiede un erto numero di pssggi. Il prolem è risolto d ulteriori relzioni he legno i lti e gli ngoli dei tringoli sleni e he onsentirnno di risolvere rpidmente un qulsisi tringolo. L trigonometri mette disposizione numerose di queste relzioni (teoremi), tuttvi, gli ttuli dispositivi di lolo (loltrii tsili, omputer e.) ne rendono indispensili solo due: il teorem dei seni (o di Eulero) e il teorem del oseno (o di rnot).

17 Relzioni tr lti e ngoli di un tringolo qulunque (sleno) Esminimo or le relzioni he legno le misure dei lti di un tringolo qulunque i vlori delle funzioni goniometrihe degli ngoli. Teorem dei seni (o di Eulero) onsiderimo il tringolo qulunque di vertii. Esso è sempre insriviile in un erhio, he viene himto irosritto, il ui entro O è il punto di intersezione degli ssi dei tre lti. llor ogni lto può essere onsiderto ome un ord dell ironferenz irosritt, e ogni ngolo ome ngolo ll ironferenz he insiste sull ord oinidente on il lto esso opposto.

18 90 Teorem dei seni (o di Eulero) Digitre l'equzione qui.d un vertie qulunque del tringolo, per esempio dl vertie, trimo il dimetro 2R del erhio irosritto; indihimo on il punto d inontro tr questo dimetro e l ironferenz. ongiungendo on i vertii e, si ottengono i due tringoli rettngoli e (gli ngoli e sono retti in qunto ngoli ll ironferenz sottesi un ro pri ll semiironferenz, il ui ngolo l entro è pitto). Inoltre l mpiezz dell ngolo è ugule quell dell ngolo, in qunto entrmi sono ngoli ll ironferenz sottesi llo stesso ro di ord ; per le stesse rgioni si h he = ' ' 90 2R O 2R O 90 90

19 onsiderndo i tringoli rettngoli definiti in preedenz, possimo esprimere per isuno di essi l ipotenus = 2R he hnno in omune: 2R= e 2R== sen sen Se poi, in modo del tutto nlogo, trimo il dimetro 2R del erhio irosritto, pssnte per il vertie (o il vertie ), e ripetimo le onsiderzioni geometrihe sopr sviluppte, possimo srivere: 2R= sen e 2R= sen Enunito del teorem dei seni ominndo le relzioni preedentemente sritte (note ome teorem delle orde), si ottengono filmente le seguenti: sen = sen = sen =2R L relzione sintetizz il teorem dei seni, il ui enunito può essere osì formulto: in un tringolo il rpporto tr un lto e il seno dell ngolo opposto è ostnte ed è ugule l dimetro del erhio irosritto.

20 Teorem di rnot (o del oseno) Il Teorem di rnot rppresent l estensione del teorem di Pitgor per i tringoli qulunque. H onsiderimo il tringolo dell figur e trimo l ltezz H reltiv l lto. Ess divide il tringolo nei due tringoli rettngoli H e H. pplindo il teorem di Pitgor l primo di questi, si h: 2 = H 2 + H 2

21 Teorem di rnot (o del oseno) onsiderndo poi il tringolo rettngolo H, possimo srivere: on iò l preedente relzione divent: H = sen e H = - os 2 = ( sen ) 2 + ( - os ) 2 (teorem di pitgor) 2 = 2 sen os 2-2 os 2 = 2 (sen 2 + os 2 ) os Riordndo l relzione fondmentle dell goniometri: sen 2 + os 2 = 1 si h: 2 = os Ripetendo il rgionmento on le ltre ltezze del tringolo si ottiene filmente: 2 = os 2 = os Enunito del teorem di rnot In un tringolo, il qudrto dell lunghezz di un lto è ugule ll somm dei qudrti delle lunghezze degli ltri due lti, dedott del doppio prodotto delle lunghezze di questi lti per il oseno dell ngolo tr essi ompreso.

22 riteri per risolvere i tringoli qulunque I due teoremi visti nel prgrfo preedente, opportunmente utilizzti, permettono l risoluzione dei tringoli, ioè il lolo degli elementi inogniti di un tringolo, onosendo tre di essi, lmeno uno dei quli deve essere un lto (o, quntomeno, un elemento linere). In relzione i dti ssegnti, nell risoluzione dei tringoli si rionosono quttro si fondmentli, he esmineremo nel seguito. so 1 (noti due ngoli e un lto) Dto il tringolo dell figur, supponimo di onosere, per esempio, gli ngoli e e l misur del lto. Voglimo determinre gli elementi inogniti:, e. Si h suito: = ( + ). I lti e si rivno pplindo due volte il teorem dei seni:( sen = sen = sen =2R ) d ui segue: sen = sen = sen sen e e sen = sen = sen sen

23 PROLEM SVOLTO so 1 (noti due ngoli e un lto) Determin gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onose l misur del lto = = 124,76 m, l ngolo = 83,60 gon e l ngolo = 69,72 gon. =200-(83,60+69,72)=46,68 gon Riordndo sen = sen = sen per ui: sen = sen d ui rivimo = sen sen 124,76 sen 83,60 = =180,25 m sen 46,68 sen = sen d ui rivimo = sen sen 124,76 sen 69,72 = =165,72 m sen 46,68

24 so 2 (noti due lti e l ngolo ompreso) Dto il tringolo dell figur, supponimo di onosere i lti e, oltre ll ngolo. Voglimo determinre gli elementi inogniti:, e. Il metodo più onveniente per risolvere il prolem è siurmente quello he prevede il lolo del lto on il teorem di rnot. 2 = os = os Poi, on il teorem dei seni, si riv: per ui: sen = sen d ui rivimo = rsen( sen ) sen = sen d ui rivimo =rsen( sen ) Il vlore dell roseno fornito dll loltrie è un ngolo (per esempio ) inferiore 100; tuttvi nhe il suo ngolo ssoito supplementre (200 - ), oltre soddisfre l prim delle relzioni preedenti, può essere un ngolo del tringolo (in questo so ottusngolo), per ui non lo si può esludere priori. Il modo di evitre tle miguità, pplindo di nuovo il teorem di rnot, dopo ver lolto, nhe per determinre gli ngoli e, quest volt usndo l form vist nelle β = ros = ros

25 PROLEM SVOLTO so 2 (noti due lti e l ngolo ompreso) Determin gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onose l misur del lto = = 76,10 m, quell del lto = = 121,40 m e l ngolo = 82,5770 gon. 2 = os ; = os α = 76, , os 82,577gon =124,64 m β = ros = ros 124, , , = 77,4196 gon = ros = ros 121, , ,64 2 = 40,0038 gon 2 2

26 so 3 (noti due lti e un ngolo diente l lto inognito) Del tringolo noti, per esempio, i lti e e l ngolo opposto l lto. Doimo determinre gli elementi inogniti, e. Possimo senz ltro supporre e 100, perhé in questo so il tringolo sree rispettivmente del tipo isosele o rettngolo, he sppimo filmente risolvere. iò premesso, pplindo il teorem dei seni si ottiene: Sen = sen quindi = rsen sen In effetti, nell pplire l formul suddett se sen univoo in qunto può trovrsi si nel I he ne II <1 il ll vlore di non è

27 so 3 (noti due lti e un ngolo diente l lto inognito) In quest ultimo so, he è poi quello più frequente, possono verifirsi le seguenti ondizioni: dei due vlori di uno è inomptiile on i dti del prolem, pertnto il vlore he soddisf il prolem è l ltro. Per esempio, si suppong he si = 120 e he poss ssumere i due vlori 40 e ( ) = 160. Il vlore 160 è inomptiile on il vlore di = 120 perhé l somm + sree mggiore di 200 ; in questo so il vlore he risolve il prolem è = 40. I due vlori di sono entrmi omptiili on il vlore di ; in questo so si vrnno due soluzioni del prolem, he dnno luogo due tringoli distinti. È questo un so di miguità he l trigonometri non risolve.

28 PROLEM SVOLTO so 3 (noti due lti e un ngolo diente l lto inognito) Determin gli elementi inogniti di un tringolo del qule si onosono le misure dei lti = 695,18 m e = 453,34 m, oltre quell dell ngolo = 39,0815 gon. Per il teorem dei seni sppimo he quindi sen α = sen β sen = sen d ui α=rsen 695,18 sen β α=rsen sen (39,0815) 453,34 α=rsen 1,5334 0,57605 α=rsen 0,8833 = gon e nhe = , ,0815 = 191,9744 gon

29 Topogrfi Znihelli Fine presentzione