Argomento 10 Integrali impropri

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1 Premess Argomento Integrli impropri Nell Arg. 9 è stt introdott l nozione di integrle definito f() d per funzioni ontinue f : [, b] R. Un derog ll ontinuità di f è nhe stt introdott, m solo per onsiderre funzioni on un numero finito di punti di disontinuità di I speie. Così, l ittezz dell funzione integrnd f ed il ftto he l intervllo di integrzione [, b] fosse hiuso e itto non sono mi stti messi in disussione. In questo pitolo i oupimo di estendere il onetto di integrle d lune situzioni in ui l intervllo di integrzione e/o l funzione integrnd non sono itti. I. Intervlli ilitti Si f : [, + ) R un funzione ontinu. Per ogni l funzione f è ontinu in [, ] : quindi possimo lolre l integrle definito f() d. Vogo esminre os de questi vlori qundo +, ioè studire il f() d. Definizione. Si f ontinu in [, + ); il ite f() d, se esiste, si him integrle improprio di f in [, + ), e si indi on il simbolo f() d. ( ) Più in prtiolre, diimo he l integrle improprio è onvergente, e he f è integrbile in senso improprio in [, + ), se il ite ( ) è finito. Se invee divergente. Quindi Se f() d = + (oppure ) f() d = f() d, l integrle improprio di f in [, + ) è detto qundo il ite esiste. f() d non esiste, diimo he l integrle improprio di f in [, + ) non esiste. Abbimo già inontrto l espressione F () = f() d nell Arg.9, on il nome di funzione integrle di f. Chirmente, per +, l funzione F può onvergere, divergere o non mmettere ite. Se l funzione f è sempre (oppure sempre ) ogni integrle improprio può essere onvergente oppure divergente + ( ), m omunque esiste.

2 Vedimo luni esempi: Esempio. Si f() = e per [, + ). Allor e quindi e d = e d = [ e ] = e e ( e d = e e ) = e. Dunque f è integrbile in senso improprio in [, + ) e l integrle improprio vle e. Esempio. Si f() = per [5, + ). Allor f() d = 5 e quindi 5 5 f() d = ( 5) = +. Dunque f non è integrbile in senso improprio in [5, + ) e l integrle improprio è divergente. Esempio.4 Si f() = os per [π, + ). Allor os d = [sin π ] π = sin e quindi π os d = sin non esiste. Dunque f non è integrbile in senso improprio in [π, + ) e l integrle improprio non esiste. Esempio.5 d = d = [ d = ] = ( ) + d = [log ] = (log ) = +. =. Osservzione.6 Se < b <, l dditività dell integrle definito rispetto ll intervllo di integrzione (vd. Arg.9, formul ) grntise he f() d = f() d + b f() d, e poihè f() d è un numero deduimo, studindo il ite per +, he f è integrbile (in senso improprio) in [, + ) se e solo se lo è in [b, + ). Quindi, l esistenz e l onvergenz di f() d dipendono solo dl omportmento di f per vlori molto grndi di, ioè dll ntur di f in un intorno di +.

3 II. Intervlli itti Or onsiderimo il so di un funzione f : (, b] R ontinu nell intervllo itto, m non hiuso, (, b]. Per + vrie ose possono dere. Se f h ite finito L per + (d esempio f() = sin in (, ]) f è prolungbile on ontinuità in = definendo f() = L. L funzione osì ottenut è ontinu in [, b] e si ride nell situzione degli integrli definiti. Se f rimne itt in (, b] (d esempio f() = sin in (, ]) si può estendere l definizione di integrle definito (non e ne oupimo qui). Se f è ontinu in (, b], m non itt in un intorno destro di (d esempio se h sintoto vertile = ) dimo l seguente l seguente: Definizione.7 Si f ontinu in (, b]; il ite + f() d, se esiste, si him integrle improprio di f in (, b], e si indi on il simbolo ( ) f() d. Più in prtiolre, diimo he l integrle improprio è onvergente, e he f è integrbile in senso improprio in (, b], se il ite ( ) è finito. Se invee + Quindi Se + f() d = + (oppure ) l integrle improprio di f in (, b] è detto divergente. f() d = + f() d, qundo il ite esiste. f() d non esiste, diimo he l integrle improprio di f in (, b] non esiste. Vedimo luni esempi: Esempio.8 d = + d = + d = [ ] + d = + [log ] = + ( ) =. = ( log ) = +. + Quindi l funzione è integrbile in senso improprio in (, ] e l integrle improprio vle ; mentre l funzione non è integrbile in senso improprio in (, ] e l integrle improprio diverge. Osservzione.9 Anlogmente qunto detto nell Osservzione.6, è solo il omportmento di f viino l punto = (ioè in un suo intorno destro) d influenzre l esistenz, e l onvergenz, di f() d. Anhe in questo so, se l funzione f è sempre (oppure sempre ) ogni integrle improprio può essere onvergente oppure divergente + ( ), m omunque esiste.

4 III. Cso generle Le preedenti definizioni possono filmente essere estese i si in ui l funzione è ontinu in un intervllo del tipo (, ], oppure del tipo [, b) e non è itt in un intorno sinistro di b (d esempio se l sintoto vertile è = b). Se invee il dominio sul qule si vuole integrre l funzione f è unione di un numero finito di intervlli del tipo onsiderto nelle Definizioni. e.7, l integrle improprio su questo dominio è detto onvergente se e solo se lo è in ognuno di essi, ed il suo vlore è l somm dei vlori sui vri intervlli. Esempio. L funzione f () = è definit e ontinu nell insieme [, ) (, ], e non f () d e f () d sono entrmbi onvergenti. è itt per. Gli integrli impropri Inftti f () d = e, nlogmente, [ ] ( d = / = / ) = f () d = 4. Periò, l integrle improprio f () d onverge, e vle ( 4 ). Ulteriori hirimenti reltivi questo so generle si possono trovre nell Esempio.9. Interpretzione geometri Dll teori dell integrle definito sppimo he, se f è ontinu e positiv in [, b], il numero f() d rppresent l re dell regione di pino ompres tr l sse, il grfio di f e le due rette vertili = e = b. Tle regione è siurmente itt (ioè rhiudibile in un opportuno erhio entrto nell origine) e di onseguenz h re finit. Anhe gli integrli impropri di funzioni positive è ssoibile l nozione di re di un regione. Nel so dell Definizione., on f positiv, l regione destr dell rett = e ompres tr il grfio di f e l sse delle sisse non è itt. Diimo he quest regione h re finit se l integrle improprio f() d onverge, e h re infinit se questo integrle diverge. In questo modo l re dell regione onsidert (ossi l integrle improprio f() d) viene vist ome il ite, per +, delle ree delle regioni omprese tr l sse, il grfio di f e le due rette vertili = e = (ossi f() d) re zzurr = = d = d = (re trtteggit) L Esempio.5 si interpret diendo he l regione destr dell rett vertile = e ompres fr il grfio di f() = e l sse h re finit di vlore, nhe se l regione è hirmente ilitt. 4

5 Un disorso nlogo si può fre nel so dell Definizione.7. L Esempio.8 mostr he l regione ompres tr il grfio di f() =, il semisse positivo delle y (he è l sintoto vertile), l sse orizzontle e l rett vertile = h re infinit. Il teorem del onfronto Può dere he si molto diffiile determinre, direttmente ttrverso l definizione, l esistenz o meno di un integrle improprio di un funzione f, perhé questo omport il lolo espliito di un su primitiv. In tl so, per stbilire se un integrle improprio è onvergente o divergente, possono essere utili il seguente teorem e le sue onseguenze. Teorem. Sino f e g ontinue e positive in [, + ) on f() g() Se Se + f() d diverge, llor diverge nhe g() d onverge, llor onverge nhe g() d. f() d. [, + ). Anloghi enuniti vlgono per integrli impropri su intervlli del tipo: (, b], [, b), (, ]. L interpretzione geometri è immedit (vedi figur): se l re sottes ll funzione f è infinit, lo è mggior rgione quell sottes ll g; se l re sottes ll funzione g è finit, lo è mggior rgione quell sottes ll f grfio di f grfio di g Esempio. Si f() = sin. Allor posto g() =, per ogni R si h f() + + g() e inoltre Quindi nhe g() d = d = + sin d è onvergente. + Esempio. Per +, e d = + [rtn ] = π < +. è infinitesim di ordine superiore d ogni potenz (negtiv) di, quindi per ogni bbstnz grnde vle siurmente: < e <. Dll Es..5 sppimo he l integrle improprio di in un intorno di + (ossi in ogni intervllo dell form [, + ), > ) è onvergente. Quindi nhe quello di e lo è. 5

6 Osservimo he nell esempio preedente un primitiv di e non può essere lolt espliitmente in termini finiti e quindi non si può pplire in modo diretto l definizione di integrle improprio. Esempio.4 Poihé < log <, > llor log > > > Dll Es..5 sppimo he l integrle improprio di nhe quello di lo è. log in un intorno di + è divergente. Quindi Nelle pplizioni può essere tlvolt utile pplire il seguente Corollrio.5 (Criterio del onfronto sintotio) Sino f e g due funzioni positive e ontinue in [, + ) e, per +, si bbi f() g(). Allor gli integrli impropri in [, + ) delle funzioni f e g hnno lo stesso tipo di omportmento: onvergono entrmbi, o divergono entrmbi. Il risultto preedente vle nhe per integrli impropri su intervlli del tipo (, b] se f() g() per + ; e, in mnier nlog, per integrli impropri su intervlli dell form [, b), (, ]. Esempio.6 L integrle improprio Inftti, per + si h + d è onvergente. ; inoltre l integrle improprio di + di è onvergente (vedi Es..8), quindi è onvergente nhe l integrle onsiderto. Esempio.7 Si f () = e + rtn ( ). Determinimo il omportmento degli integrli impropri ) 4 f () d e ) 7 f () d. in un intorno destro L funzione f è definit e ontinu in (, ) (, + ) e non si mntiene itt in un intorno destro (nhe sinistro) di. Per +, f () π ; l integrle improprio quindi nhe l integrle improprio ) è onvergente. 4 π d è onvergente (vedi Es..5) e Per +, f () 7 d = ( ) + π e 4 ; inoltre poihè ( ) + 7 d = ( ) nhe l integrle improprio ) è divergente. + 6 [ ] 7 ( = ) = +

7 Funzioni test Il teorem del onfronto è omodo d pplire se onosimo il rttere dell integrle improprio di un fmigli di funzioni semplii on le quli onfrontre funzioni più omplite, ome bbimo già ftto negli Esempi.,.,.4,.6 e.7. Tr le più omode funzioni test on ui onfrontre l ssegnt funzione vi sono le potenze. Nelle seguenti tbelle sono rissunti i omportmenti degli integrli impropri delle potenze. α d = α d = + per α (diverge) α per α < (onverge) + per α (diverge) α per α > (onverge) L interpretzione geometri è l seguente: le funzioni del tipo on α <, (ome d esempio α ) vnno ll infinito lentmente per +, quindi il loro grfio è viino ll sse vertile, e deit un regione ilitt e tuttvi di re finit (in Ros nell prim figur). Le stesse funzioni vnno lentmente zero per +, e quindi il loro grfio è meno viino ll sse orizzontle, e deit un regione di re infinit. Al ontrrio, le funzioni dello stesso tipo, m on α > (ome d esempio ) vnno zero veloemente per + ; quindi il loro grfio è viino ll sse orizzontle e deit un regione ilitt m di re finit (in Azzurro nell seond figur). Le stesse funzioni vnno veloemente ll infinito per +, e quindi il loro grfio è meno viino ll sse vertile e deit un regione di re infinit..5 y.5 d =.5 y.5 d =.5 R A Esempio.8 Stbio il omportmento dei seguenti integrli impropri. + ( + ) d. L funzione integrnd f è positiv e ontinu in (, ]. Inoltre per + si h f(), quindi l integrle improprio onverge. 7

8 4 + ( + ) d. L funzione integrnd f è positiv e ontinu in [4, + ). Inoltre per + si h f(), quindi l integrle improprio onverge. Esempio.9 Studimo il omportmento di L funzione integrnd f è positiv e ontinu in (, + ) e non è itt in un intorno destro di. Per ogni < < + lo spezzmento (, + ) = (, ] [, + ) i port onsiderre singolrmente i due integrli impropri d. f () d e f () d. Il seondo integrle è onvergente, in qunto, per +, si h f() Invee, per + si h f() = ( + )/4 ( + ) e quindi l integrle improprio f () d diverge 4 + In onlusione, l integrle d non onverge. + /4 = 4 4 =. /4 È utile osservre he l selt del punto è totlmente ininfluente, i fini dell determinzione del omportmento dell integrle ssegnto. Questo omportmento dipende eslusivmente di vlori ssunti d f in un intorno destro di = e in un intorno di +. Un ltr fmigli di funzioni test delle quli è noto il omportmento è: α >, β qulunque α log β d onverge solo nei si oppure α =, β > e diverge negli ltri si. Esempio. Per + si h Studimo il omportmento, l vrire di >, di + 5 log( + ) log + 5 log( + ) d. e quindi l integrle è onvergente se e solo se >. 8