Definizione (primitiva, integrale indefinito). Data una funzione f diremo che una funzione F è una primitiva di f se

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1 Cpitolo 6 Integrli L opertore derivt D ssoci d un funzione f l su derivt: Df f 0 Ci ciedimo se è possiile invertire quest operzione, vle dire trovre un funzione l cui derivt si un funzione ssegnt Definizione 60 (primitiv, integrle indefinito) Dt un funzione f diremo ce un funzione F è un primitiv di f se F 0 () f() per ogni nel dominio dell funzione f Denoteremo con il simolo di integrle indefinito f() d {F : F 0 f} (leggi: integrle di f di in d ) l insieme di tutte le primitive dell funzione f Ad esempio osservimo ce l funzione F () + è un primitiv di f() in qunto F 0 () f() M ogni funzione del tipo F () + c con c R un costnte fisst, è un primitiv di f in qunto l derivt dell costnte è null Teorem 60 (crtterizzzione dell insieme delle primitive) Si f : I! R un funzione definit su un intervllo I R SeF è un qulunque primitiv di f llor l insieme di tutte le primitive è f() d {F + c: c R} e scriveremo più semplicemente f() d F ()+c Dimostrzione Se F è u n p r i m i t i v d i f si F 0 f Dunque, se c R è u n qulunque costnte, si (F ()+c) 0 F 0 ()+0f() equindif + c è ncor un primitiv di f Supponimo or ce G() si un qulunque primitiv di f, cioè supponimo ce si i G 0 () f() Allor posto H() G() F () si : H 0 () G 0 () F 0 () f() f() 0 3

2 Dunque, per il criterio di monotoni, l funzione H() è contempornemente crescente e decrescente Dunque è costnte Ciò signific ce esiste c R tle ce H() c edunque G() F ()+H() F ()+c L tell delle derivte ce imo visto nel cpitolo precedente, divent quindi (invertendo le due colonne) un tell di primitive elementri R R f() f() d f() f() d m m + c c e e + c log + c cos sin + c sin cos + c p rcsin + c p rccos + c +tg cos tg + c + rctg + c 6 Linerità dell integrle Le regole di derivzione ci permettevno di esprimere l derivt di qulunque espressione compost dlle funzioni elementri Per gli integrli l situzione non è così fvorevole clcolre gli integrli non è un processo meccnico e non sempre l integrle di un composizione di funzioni elementri può essere espresso medinte funzioni elementri M, comunque, le regole di derivzione ci permettono di ottenere ltrettnte regole di integrzione Spendo d esempio ce l derivt di un somm è l somm delle derivte si ottiene l linerità dell integrle: (f()+g()) d f() d + g() d cf() d c f() d Esempio 6 Clcolimo l integrle di f() ( ) : ( ) d ( + ) d d d+ d c c 3 Osservimo ce, nell esercizio precedente, ogni integrle ndree corredto con l su costnte c, e se imo integrli diversi le costnti potreero essere diverse Non è però riduttivo considerre l somm di tutte le costnti dditive ce risult quindi un nuov costnte ritrri Per questo scrivimo un unico + c ll fine dell integrle 6 Sostituzione indirett L formul per l derivt dell funzione compost, posto ce si F 0 f, sipuò scrivere come segue: (F (g()) 0 F 0 (g())g 0 () f(g())g 0 () 4

3 Questo ci permette di ricvre l formul di integrzione per sostituzione indirett: pple f(g())g 0 () d F (g()) + c [F (y)] yg() + c f(y) dy yf() Nell formul precedente imo usto l notzione [] yg() per indicre ce nell espressione tr prentesi qudre isogn sostituire l vriile y con l espressione g() In prtic osservimo ce l integrle destr dell formul si ottiene d quello sinistr, sfruttndo le seguenti sostituzioni: y g(), dy g 0 () d Esempio 6 Clcolimo R log d Osservimo ce ponendo g() log si g 0 () / dunque provimo fre l sostituzione: y log, dy d per ottenere pple log d ydy ylog pple y + c ylog log + c Spesso si scrive più semplicemente: log d y log, dy d ydy y + c log + c L importnte è ricordrsi ll fine di non lscire l vriile y m di e etture sempre l sostituzione y f() 63 Sostituzione dirett Nell sostituzione indirett si osserv l presenz del termine g 0 () moltiplicre nell espressione d integrre L presenz di tle termine suggerisce di e etture l sostituzione indirett Se però non c è quel termine, si può provre comunque procedere con l sostituzione dirett: g(y), f() d d g 0 (y) dy f(g(y))g 0 (y) dy Esempio 63 Nell integrle R + p d provimo fre l sostituzione y +p ce corrisponde (y ) Sidunque (y ), d (y ) dy + p d y (y ) dy y dy dy y y y log y + c ( + p ) log + p + c + p log( + p )+c 5

4 64 Integrzione per prti L formul dell derivt di un prodotto, se F 0 f, cidicece d cui (F ()g()) 0 F 0 ()g()+f ()g 0 () f()g()+f ()g 0 () f()g() (F ()g()) 0 F ()g 0 () Si ottiene quindi l seguente formul (integrzione per prti) per il clcolo degli integrli: f()g() d F ()g() F ()g 0 () d se F è un qulunque primitiv di f Come vedimo l formul di integrzione per prti permette di ricondurre l integrle di un prodotto, ll integrle di un nuovo prodotto dove un fttore risult integrto, e l ltro è derivto Esempio 64 Voglimo trovre un primitiv di cos Osservimo ce se fccimo l derivt di e l integrle di cos il prodotto si semplific Aimo dunque: cos d sin sin d sin + cos + c 65 Integrli definiti: clcolo dell re Dt un funzione f :[, ]! R considerimo le seguenti regioni del pino: G + f {(, y) R :0pple y pple f()}, G f {(, y) R : f() pple y pple 0} Definimo quindi l integrle di f sull intervllo [, ] come f() d Are(G + f ) Are(G f ) Essendo l re un funzione dditiv d insieme (cioè: l re dell unione di due regioni disgiunte è l somm delle due ree), possimo dedurre ce l integrle definito è dditivo rispetto l dominio Cioé, se pple pple c si : c f() d f() d + c f() d Teorem 65 (teorem fondmentle del clcolo integrle) Si f :[, ]! R un funzione continu Allor posto G() risult ce G: [, ]! R è derivile e G 0 () f() (cioé G è un primitiv di f) L funzione G si cim funzione integrle di f Dimostrzione Osservimo ce si (per l dditività rispetto l dominio): G( + ) G() R + R R + 6

5 Supponimo or per semplicità ce l funzione f(t) si positiv nell intervllo [, + ] Si vrà llor + Are(R) dove R è l regione di pino delimitt dll sse delle, dlle due rette verticli pssnti dl punto (, 0) e ( +, 0) e dl grfico dell funzione f Se l funzione è continu ci spettimo ce per molto piccolo quest regione si poss pprossimre con quell di un rettngolo di se e ltezz f() Si vrà llor: Dunque G 0 () f() lim!0 G( + ) G() f() f() Teorem 65 (formul fondmentle del clcolo integrle) Se f è un funzione continu e F è un primitiv di f, si: f() d F () F () [F ()] pple f() d Dimostrzione Si F () R f() d un qulunque primitiv di f Si G() l funzione integrle di f ovvero: G() Per il teorem precedente sppimo ce G è u n p r i m i t i v d i f come lo è F Dunque, per l crtterizzzione delle primitive, G e F di eriscono per un costnte: G() F () + c Osservimo inoltre ce G() 0 in qunto l integrle rppresent l re di un regione intermente contenut nell rett, ce quindi necessrimente re null Dunque: f() d G() G() G() F ()+c (F ()+c) F () F () Esempio 653 Clcolimo l re del settore di prol di se e ltezz : Si P {(, y) R :0pple pple, 0 pple y pple } Are(P ) 0 pple 3 d