Programma di Matematica a.a. 2018/2019

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1 Progrmm di Mtemtic /2019 LIMITI Concetto di intorno e di limite di un funzione Definizione di limite finito di un funzione in un punto, limite infinito in un punto, limite finito ll infinito e limite infinito ll infinito Esempi di funzioni che non mmettono limite in un punto sin x Dimostrzione limite fondmentle lim = 1 x 0 x DERIVATE Concetto di derivt e significto geometrico di derivt Clcolo dell equzione dell rett tngente e dell rett normle l grfico di un funzione continu in un punto Derivt di un funzione in un punto, derivt destr e sinistr Derivte delle funzioni elementri Dimostrzione dell derivt dell funzione sinx Derivt di un somm, di un prodotto, di un rpporto e di un funzione di funzione Teorem: funzione derivile funzione continu Differenzile di un funzione e significto geometrico del differenzile INTEGRALI Funzione primitiv Integrle indefinito e sue proprietà Integrli indefiniti delle funzioni più comuni Regole di derivzione delle funzioni composte Integrle definito, proprietà dell integrle definito Teorem dell medi Teorem fondmentle del clcolo integrle (Torricelli) Formul fondmentle del clcolo integrle Clcolo dell integrle di sin 2 x e sue ppliczioni in fisic 1

2 LIMITI Alcune definizioni preliminri: Intorno completo di un punto dto un numero rele x 0 si chim intorno di x 0 un qulunque intervllo perto I(x 0 ) contenente x 0 : I(x 0 ) = ]x 0 δ 1 ; x 0 + δ 2 [ con δ 1 e δ 2 numeri reli positivi. Intorno circolre di x 0 qundo δ 1 = δ 2 il punto x 0 è il punto medio dell intervllo: I(x 0 ) = ]x 0 δ; x 0 + δ[ Intorno destro di x 0 I δ + (x 0 ) = ]x 0 ; x 0 + δ[ Intorno sinistro di x 0 I δ (x 0 ) = ]x 0 δ; x 0 [ Per introdurre il concetto di limite considerimo un esempio: f(x) = 2x2 8 x 2 con D = R {2} In questo cso non esiste il vlore dell funzione f(2) m si possono ttriuire d x vlori che si vvicinno sempre di più l punto 2 ottenendo: Intuitivmente si cpisce che ttriuendo d x vlori sempre più vicini 2 l funzione ssume vlori sempre più vicini 8. In mtemtic, il concetto di limite serve descrivere l'ndmento di un funzione 2

3 ll'vvicinrsi del suo rgomento un dto vlore, oppure l crescere illimitto di tle rgomento. Esistono essenzilmente 4 tipi di limiti che ndremo d illustrre. 1. Limite finito per x che tende un sciss finit: 3

4 Mentre si st fcendo tendere x x 0, interess stilire cos tende (si vvicin) il vlore corrispondente di y. Se ccde che qundo x è molto prossimo x 0, l ordint corrispondente è molto prossim d un certo vlore l (come nel cso d esempio, in cui per x prossimo 2 f(x) è prossim 8) llor si scriverà: lim f(x) = l x x 0 Che si legge il limite per x che tende x 0 di f(x) è ugule l. 4

5 Il formlismo mtemtico trduce questi concetti nel modo seguente: lim f(x) = l ε > 0 δ > 0 x (x 0 δ; x 0 + δ) {x 0 }, f(x) l < ε x x 0 Si dice che il limite per x che tende x 0 di f(x) è ugule d l se e solo se per ogni ε > 0, dove ε è un numero piccolo picere, esiste un δ > 0 tle che per ogni x pprtenente ll ' intervllo (x 0 δ; x 0 + δ), escluso l più x 0, l funzione f(x) pprtiene ll'intervllo (l ε; l + ε) Limite destro lim f(x) = l ε > 0 δ > 0 x (x x x+ 0; x 0 + δ) {x 0 }, f(x) l < ε 0 Limite sinistro lim f(x) = l ε > 0 δ > 0 x (x x x 0 δ; x 0 ) {x 0 }, f(x) l < ε 0 5

6 2. Limite infinito per x che tende un sciss finit: lim x x0 f(x) = ± lim f(x) = + M > 0 δ > 0 x (x 0 δ; x 0 + δ) {x 0 }, f(x) > M x x 0 Si dice che il limite per x che tende x 0 di f(x) tende + se e solo se per ogni M > 0, dove M è un numero grnde picere, esiste un δ > 0 tle che per ogni x pprtenente ll ' intervllo (x 0 δ; x 0 + δ), escluso l più x 0, l funzione f(x) risult mggiore di M Anlogmente si dice: lim f(x) = M > 0 δ > 0 x (x 0 δ; x 0 + δ) {x 0 }, f(x) < M x x 0 6

7 3. Limite finito per x che tende d infinito: lim f(x) = l x ± N lim f(x) = l ε > 0 N > 0 x (N; + ), f(x) l < ε x + Si dice che il limite per x che tende + di f(x) è ugule l se e solo se per ogni ε > 0, dove ε è un numero piccolo picere, esiste un N > 0 tle che per ogni x pprtenente ll ' intervllo (N; + ) l funzione f(x) pprtiene ll'intervllo (l ε; l + ε) -N Anlogmente si dice: lim f(x) = l ε > 0 N > 0 x ( ; N), f(x) l < ε x 7

8 4. Limite infinito per x che tende d infinito: lim f(x) = ± x ± lim f(x) = + x + lim f(x) = + M > 0 N > 0 x (N; + ), f(x) > M x + Si dice che il limite per x che tende + di f(x) è tende + se e solo se per ogni M > 0, dove M è un numero grnde picere, esiste un N > 0 tle che per ogni x pprtenente ll ' intervllo (N; + ) l funzione f(x) pprtiene ll'intervllo (M; + ) N lim f(x) = + x -N lim f(x) = + M > 0 N > 0 x ( ; N), f(x) > M x Si dice che il limite per x che tende di f(x) è tende + se e solo se per ogni M > 0, dove M è un numero grnde picere, esiste un N > 0 tle che per ogni x pprtenente ll ' intervllo ( ; N) l funzione f(x) pprtiene ll'intervllo (M; + ) lim f(x) = M > 0 N > 0 x (N; + ), f(x) < M x + lim f(x) = M > 0 N > 0 x ( ; N), f(x) < M x 8

9 Esempi di funzioni che non mmettono limite: Un funzione non mmette limite se: esiste il limite destro e limite sinistro dell funzione per x x 0 m sono diversi tr loro quindi l funzione non mmette il limite per x x 0 Esempio: f(x) = e 1 x lim e 1 x =? x 0 lim x 0 e1 x = 0 lim x 0 + e1 x = + il limite non esiste Esempio: f(x) = sin x lim sin x = non esiste x + L funzione continu d oscillre tr +1 e -1 9

10 Clcolo dei limiti 10

11 Dimostrzione del limite fondmentle: lim x 0 sin x x = 1 Considerimo il limite destro lim x 0 + Se lim x 0 + sin x x = lim x 0 sin x x sin x sin x e il limite sinistro lim. x x 0 x llor esiste il limite ilterle. Se prendimo il limite sinistro, poiché l funzione seno è un funzione dispri: sin x lim x 0 x = lim x 0 + sin( x) x = lim x 0 + sin x x = lim x 0 + sin x x Quindi limite destro e limite sinistro sono uguli. Posso quindi limitrmi dimostrre il limite destro. Dimostrimo questo limite in modo geometrico utilizzndo l circonferenz goniometric (r=1) e considerndo un ngolo x nel primo qudrnte: gurdndo l figur si vede che il segmento PH è minore dell rco PA che è su volt minore del segmento TA. y PH < PA < TA x P T M i segmenti PH e TAnon sono ltro che rispettivmente il seno e l tngente dell ngolo x mentre l rco PA corrisponde ll ngolo x misurto in rdinti x rd = PA m OP = 1 OP H A x sin x < x < tn x Divido tutto per sin x che nel primo qudrnte è positivo: sin x sin x < x tn x < sin x sin x 11

12 1 < x sin x < 1 cos x Fccio i reciproci, cmindo il verso dell disequzione: cos x < sin x x < 1 Psso i limiti: sin x Quindi lim x 0 x sin x lim cos x < lim < lim 1 x 0 x 0 x x 0 sin x 1 < lim < 1 x 0 x = 1 poiché compreso tr 1 e 1 12

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14 Significto geometrico dell derivt: Considerimo un funzione y = f(x) continu in un intervllo [, ] e considero due punti P e Q interni ll intervllo [, ]. Il punto P h coordinte (x 0 ; f(x 0 )), quelle di Q sono (x 0 + h; f(x 0 + h)). Se considero l rett s pssnte per P e Q quest è secnte ll funzione e il suo coefficiente ngolre è: m s = y x = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) x 0 + h x 0 h Quindi il coefficiente ngolre dell rett secnte è il rpporto incrementle dell funzione f(x) reltivo l punto x 0 e ll incremento h. Se or fccimo il limite per h 0 grficmente il punto Q v coincidere con il punto P e l rett secnte, pssnte per P e Q, divent l rett pssnte solo per P e quindi tngente ll funzione nel punto P. Se fccio il limite per h 0 del coefficiente ngolre dell rett 14

15 secnte ottengo quindi il coefficiente ngolre dell rett tngente ll funzione nel punto P nonché l derivt dell funzione nel punto P di coordinte (x 0 ; f(x 0 )) f(x 0 + h) f(x 0 ) m tg = lim m sec = lim = f (x h 0 h 0 h 0 ) Quindi l derivt di y = f(x) clcolt nel punto x 0 è il coefficiente ngolre dell rett tngente ll funzione nel punto x 0. 15

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22 D(k)=0 D(x)=1 D(x 2 )=2x D kf(x) =kd f(x) 22

23 Dimostrzione del clcolo dell derivt dell funzione f(x) = sin x Clcolimo l derivt ttrverso il limite per incremento che tende zero del rpporto incrementle: sin(x + h) sin x lim = h 0 h Applico l formul di ddizione sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin x cos h + sin h cos x sin x = lim = h 0 h Rccolgo sin x fttor comune e divido il limite nell somm di due limiti: sin x(cos h 1) + sin h cos x sin x(cos h 1) sin h cos x = lim = lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h sin x e cos x posso portrli fuori dl limite poiché non dipendono d h: cos h 1 sin h = sin x lim + cos x lim h 0 h h 0 h = Risolvimo questo limite: Limite fondmentle ugule d 1 cos h 1 = lim = h 0 h Moltiplico e divido per cos h + 1 (cos h 1)(cos h + 1) cos 2 h 1 = lim = lim h 0 h(cos h + 1) h 0 h(cos h + 1) = Per l relzione fondmentle dell trigonometri cos 2 h 1 = sin 2 h 23

24 = lim h 0 sin 2 h h(cos h + 1) = lim h 0 sin h ( ) ( sin h h cos h + 1 ) = Divido il limite come il prodotto di due limiti: = lim ( sin h ) lim h 0 h h 0 ( sin h cos h + 1 ) = 0 Poiché il primo è il limite fondmentle che vle 1 mentre il secondo se si sostituisce h = 0 si ottiene 0. Quindi riprendendo il limite del rpporto incrementle: cos h 1 sin h = sin x lim + cos x lim = sin x 0 + cos x 1 = cos x h 0 h h 0 h In modo nlogo si può dimostrre l derivt del cos x. 24

25 DERIVATE DELLE FUNZIONI PIU COMUNI y = f(x) y = f (x) Funz. costnte y = k y = 0 Funz. potenz y = x n In prticolre: y = nx n 1 y = x y = 1 y = x y = x x n y = x y = 1 n n x n 1 y = 1 x y = 1 x 2 Funz. goniometriche y = sin x y = cos x y = tn x Funz. logritmic y = log x y = ln x y = cos x y = sin x y = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x y = 1 x log e = 1 x ln y = 1 x Funz. esponenzile y = x y = e x y = x ln y = e x 25

26 Derivt di un somm Per l derivt di un funzione somm di più funzioni derivili vle il seguente teorem: L derivt dell somm di due (o più) funzioni derivili esiste ed e ugule ll somm delle derivte delle singole funzioni. y(x) = f(x) + g(x) con f(x) e g(x) funzioni derivili in x, per il teorem enuncito srà: y (x) = f (x) + g (x) Derivt di un prodotto Per l derivt di un funzione prodotto di due funzioni derivili vle, invece, il teorem: L derivt del prodotto di due funzioni derivili esiste ed è ugule l prodotto dell derivt del primo fttore per il secondo più il prodotto del primo fttore per l derivt del secondo. y(x) = f(x) g(x) con f(x) e g(x) funzioni derivili in x, per il teorem enuncito srà: y (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Derivt di un rpporto Per l derivt di un funzione quoziente di due funzioni derivili vle il teorem: L derivt del quoziente di due funzioni derivili esiste ed è ugule l rpporto tr l differenz tr il prodotto del denomintore per l derivt del numertore e il prodotto del numertore per l derivt del denomintore e il qudrto del denomintore. y(x) = f(x) g(x) con f(x) e g(x) funzioni derivili in x, per il teorem enuncito srà: y (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) [g(x)] 2 26

27 Derivt di un funzione di funzione Se l funzione g(x) è derivile nel punto x e funzione f è derivile nel punto g(x) llor l funzione compost y(x) = f(g(x)) è derivile in x e l su derivt è il prodotto delle derivte di f rispetto g(x) e di g(x) rispetto d x. y(x) = f(g(x)) con f funzione derivile in g(x) e g(x) derivile in x per il teorem enuncito srà: y (x) = f (g(x)) g (x) Quest è forse l'operzione più importnte per sper clcolre esttmente l derivt. Per fre l derivt di un funzione di funzione prim fccio l derivt dell funzione estern senz toccre quell intern e poi moltiplico per l derivt di quell intern. Vedimo di cpire meglio con un esempio: y(x) = sin(log x) prim devo fre l derivt dell funzione estern che è sin l cui derivt è cos f(g(x)) = sin(log x) f (g(x)) = cos(log x) Poi devo fre l derivt dell funzione intern g(x) g(x) = log x g (x) = 1 x L derivt dell funzione compost srà quindi il prodotto di queste due: y(x) = sin(log x) y (x) = cos(log x) 1 x = cos(log x) x Altre regole di derivzione ricvili d queste: y(x) = [f(x)] n y(x) = 1 f(x) y (x) = n[f(x)] n 1 f (x) y (x) = f (x) [f(x)] 2 27

28 Teorem (derivilità continuità) Se un funzione f(x) è derivile in un punto x 0 llor è continu in quel punto. Ipotesi: l funzione è derivile quindi esiste ed è finito il f(x) f(x 0 ) lim = f (x x x 0 x x 0 ) 0 Tesi: l funzione è continu: lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 OSSERVAZIONE IMPORTANTE: Il teorem non è invertiile: non è detto che se un funzione è continu in un punto x 0 si nche derivile in quel punto. Esempio: 3 y = x è continu in x 0 = 0 m non è derivile. Verifichimolo pplicndo il limite del rpporto incrementle per incremento che tende 0: lim h 0 3 x + h h 3 x = se lo clcolimo in x 0 = 0 divent: 3 h h 0 = lim h = lim h 0 h1/3 h 1 = lim h 2 h 0 3 = lim 3 = + h 2 h 0 1 Quindi non è derivile in x 0 = 0 poiché l derivt risult. Quindi l continuità in un punto è condizione necessri, m non sufficiente, per l derivilità in quel punto. 28

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32 Differenzile di un funzione Si f(x) un funzione derivile e quindi continu in un intervllo I e sino x e x + x due punti pprtenenti tle intervllo. Definimo il DIFFERENZIALE di un funzione f(x), reltivo l punto x e ll incremento x, il prodotto dell derivt dell funzione clcolt in x per l incremento x. Il differenzile viene indicto con df(x) oppure dy: df(x) = f (x) x Si osserv che se si consider l funzione il differenzile srà: f(x) = x df(x) = 1 x = x dx = x quindi il differenzile dell vriile indipendente coincide con l incremento dell vriile stess Sostituendo quindi nell definizione di differenzile, possimo scrivere: df(x) = f (x) dx cioè il differenzile di un funzione è ugule l prodotto dell su derivt per il differenzile dell vriile indipendente. D quest ultim relzione ricvndo f (x), imo: f (x) = df(x) dx L derivt prim di un funzione è quindi il rpporto tr il differenzile dell funzione e quello dell vriile indipendente. 32

33 Significto geometrico del differenzile Considerimo il grfico dell funzione y = f(x) e l rett tngente ll funzione nel punto P di coordinte (x; f(x)) che form un ngolo con l sse delle scisse. Considerimo poi sull rett tngente il punto Q di sciss x + x e il punto R di coordinte (x + x; f(x)) Il tringolo PQR è rettngolo in R e per il teorem dei tringoli rettngoli possimo scrivere: RQ = PR tn α M PR = x e tn α = f (x) ndndo sostituire ottenimo che: RQ = f (x) x = dy Ciò signific che il differenzile dy è l vrizione che suisce l ordint dell rett tngente ll curv qundo si pss dl punto di sciss x l punto di sciss x + x. 33

34 Considerimo il punto S pprtenente ll funzione di sciss x + x L incremento y dell funzione reltivo l punto x e l punto x + x è l vrizione che suisce l ordint dell curv, cioè RS: RS = f(x + x) f(x) = y D qunto detto possimo concludere che sostituire ll incremento y dell funzione il suo differenzile signific geometricmente pprossimre nell intorno di x l curv con l tngente in x. Il differenzile costituisce quindi un pprossimzione dell incremento dell funzione tnto più ccettile tnto più è piccolo x. 34

35 L funzione primitiv IL CALCOLO INTEGRALE Si f(x) un funzione continu in un intervllo I ε R. Si dice che l funzione F(x) è un primitiv dell funzione f(x) se si verific che: F (x) = f(x) Ad esempio: l funzione F(x) = x2 è un primitiv dell funzione f(x) = x in qunto 2 F (x) = 2x 2 = x = f(x) l funzione F(x) = cos x è un primitiv dell funzione f(x) = sin x in qunto F (x) = sin x = f(x) Per le funzioni primitive vlgono i seguenti teoremi: Se l funzione f(x) mmette in un intervllo I ε R come primitiv l funzione F(x), llor ne mmette infinite che si ottengono tutte ggiungendo ll F(x) un qulunque costnte C ε R. (L dimostrzione è immedit in qunto l derivt di un costnte vle sempre zero.) Per ogni funzione continu in un intervllo I ε R esiste sempre lmeno un primitiv. 35

36 Integrle indefinito Si dice integrle indefinito di un funzione f(x), e si indic con il simolo f(x) dx l totlità delle primitive dell f(x) f(x) dx = F(x) + C In quest scrittur f(x) si dice funzione integrnd e l vriile x vriile d integrzione. Dll definizione precedente poiché F (x) = f(x) segue che D[ f(x) dx] = f(x). Questo signific che l operzione di integrzione è l opposto dell derivzione m l integrzione indefinit ssoci d un funzione un clsse di funzioni, che si ottengono ggiungendo un costnte ll primitiv, mentre l derivzione ssoci d ogni funzione un sol funzione. Esempio: cos x dx = sin x + C poiché D[sin x + C] = cos x Un funzione che mmette un primitiv, e quindi infinite primitive, si dice integrile. Teorem: Condizione sufficiente di integrilità: Se un funzione è continu in un intervllo [,] llor mmette primitive nello stesso intervllo Proprietà di linerità dell integrle indefinito: [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx k f(x)dx = k f(x)dx Dimostrzione Se derivimo entrmi i memri ottenimo: D [ k f(x)dx] = D [k f(x)dx] = k D [ f(x)dx] = k f(x) D [k f(x)dx] = k D [ f(x)dx] = kf(x) che risultno quindi uguli 36

37 Integrli immediti Dlle regole di derivzione ottenimo gli integrli indefiniti fondmentli: x α dx = xα+1 α+1 + C con α 1 Inftti D [ xα+1 α+1 + C] = 1 α+1 (α + 1)xα+1 1 = x α Csi prticolri: dx = x + C xdx = x2 2 + C xdx = 2 3 x 3 + C 1 dx = ln x + C x Inftti D[ln x + C] = 1 x perché: se x > 0, D[ln x ] D[ln x] = 1 x se x < 0, D[ln x ] D[ln( x)] = 1 x ( 1) = 1 x e x dx = e x + C x dx = 1 ln x + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 37

38 Regole di derivzione delle funzioni composte Si ricvno dlle regole di derivzione, viene riportt l dimostrzione solo dell prim come esempio. [ f(x)] α f (x)dx = [ f(x)]α+1 α+1 Dimostrzione Si deve vere che: D [ [ f(x)]α+1 α + 1 D [ [ f(x)]α+1 α C] = [ f(x)] α f (x) + C con α 1 + C] = 1 α + 1 D[[ f(x)]α+1 + C] = 1 α + 1 (α + 1)[f(x)]α f (x) = [f(x)] α f (x) Ricordndo D[[ f(x)] n ] = n[f(x)] n 1 f (x) f(x) dx = ln f(x) + C f (x) sin f(x) dx = cos f(x) + C f (x) cos f(x) dx = sin f(x) + C f (x) e f(x) dx = e f(x) + C 38

39 Integrle definito Si chim trpezoide un figur pin delimitt del grfico di un funzione f(x) continu in un intervllo chiuso [; ], dll sse delle scisse e dlle rette prllele di equzioni x = e x =. M1 m1 Per clcolre l re di un trpezoide occorre dividere l intervllo [; ] in un certo numero n di prti uguli di mpiezz x = n e considerimo gli n rettngoli venti ciscuno per se x e per ltezz m i (che è il minimo vlore ssunto dll funzione f(x) nell i esimo intervllino). Indichimo con s n l somm delle ree di tutti questi n rettngoli: s n = m 1 h + m 2 h + + m n h L re del trpezoide viene così pprossimt per difetto d s n. In modo nlogo possimo pprossimre per eccesso l re del trpezoide considerndo l somm delle ree degli n rettngoli venti ciscuno per se x e per ltezz M i (che è il mssimo vlore ssunto dll funzione f(x) nell i esimo intervllino). Indichimo con S n l somm delle ree di tutti questi n rettngoli: S n = M 1 h + M 2 h + + M n h Ottenimo così due successioni s n e S n di ree tli che per ogni l re S del trpezoide risult: s n < S < S n TEOREMA: se un funzione f(x) è continu e positiv nell intervllo [; ], i limiti per n delle successioni s n e S n esistono finiti e sono coincidenti: lim s n = lim S n n n 39

40 Nell spiegzione imo considerto un funzione positiv per cpire meglio il concetto di integrle m questo procedimento è vlido nche se l funzione ssume vlori positivi e negtivi ll interno dell intervllo considerto. Definizione di integrle definito: Dt un funzione f(x) continu nell intervllo [; ], si chim integrle definito esteso ll intervllo [; ] il vlore comune del limite per n delle due successioni s n, per difetto e S n, per eccesso. Tle vlore viene indicto con l scrittur: f(x)dx dove viene chimto estremo inferiore, estremo superiore e f(x) funzione integrnd. N.B. A differenz dell integrle indefinito, che è un clsse di funzioni, l integrle definito è invece un numero (essendo il clcolo di un re) e non dipende dll vriile x. Proprietà dell integrle definito: f(x)dx se < = 0 f(x)dx = f(x)dx prodotto per un costnte k f(x)dx dditività [f(x) + g(x)]dx f(x)dx c = f(x)dx + f(x)dx c = f(x)dx = k f(x)dx + g(x)dx confronto tr funzioni se f(x) g(x) f(x)dx g(x)dx 40

41 Teorem dell medi 41

42 Geometricmente: M f(c) m f(c) è l ltezz del rettngolo di se (-) che h re equivlente ll re del trpezoide. 42

43 Teorem fondmentle del clcolo integrle: Si f definit in [, ] R un funzione continu llor l funzione integrle definit x F(x) f(t)dt Dimostrzione: è un funzione derivile in [, ] e si h che, x R, F (x) = f(x) Considero due punti x [, ] e x + h [, ], per clcolre F (x) devo clcolre il limite del rpporto incrementle qundo l incremento tende zero. Clcolo prim il rpporto incrementle che ricordndo l definizione dt nell enuncito del teorem di funzione integrle F(x) possimo scrivere come: F(x + h) F(x) h = x+h f(t)dt h x f(t)dt = Applichimo l proprietà dditiv degli integrli: f(x)dx c = f(x)dx + f(x)dx c = x f(t)dt x+h + f(t)dt x h Applicndo il teorem dell medi x f(t)dt f(x)dx = x+h f(t)dt x h = f(c) con c [, ] possimo scrivere: x+h x f(t)dt h = f(c h ) dove c h [x, x + h] Quindi imo trovto che F(x + h) F(x) h = f(c h ) Per clcolre F (x) doimo fre il limite per h 0 m se h 0 c h x poiché c h [x, x + h]. F F(x+h) F(x) (x) = lim h 0 h = lim f(c h ) = f(x) c h x C.V.D. 43

44 Formul fondmentle del clcolo integrle: Si f definit in [, ] R un funzione continu e F definit in [, ] R un primitiv di f in [, ] ovvero F (x) = f(x) llor f(t)dt = F() F() Per clcolre l integrle definito f(t)dt si deve cercre un F(t) primitiv di f(t) e si deve clcolre l differenz tr i vlori d ess ssunti nel punto e nel punto. Dimostrzione: x Nel teorem fondmentle del clcolo integrle imo definito F(x) = f(t)dt quindi F() = f(t)dt e F() = f(t)dt F() F() = f(t)dt f(t)dt = Per l proprietà dditiv degli integrli: f(t)dt f(t)dt = f(t)dt + f(t)dt f(t)dt = f(t)dt C.V.D. 44

45 Aimo visto che, dt un funzione f(x) l re del trpezoide ABCD definito nell intervllo [,] è dt d f(x)dx Vedimo il clcolo dell re nel cso l funzione si in prte negtiv o due funzioni delimitno un superficie chius. L funzione è in prte negtiv: considerimo l funzione f(x) = x 3 e l superficie S del trpezoide ABCD compres fr l funzione e l sse delle x nell intervllo [-1;1]. Clcolimo l integrle definito esteso d -1 1: 1 x 3 dx = 1 [ x4 1 4 ] = = 0 1 Questo integrle non fornisce l misur dell re poiché risult nullo. Risult quindi necessrio scomporre l superficie nelle superfici ABO, in cui l funzione è negtiv, e OCD, in cui l funzione è positiv, e scomporre di conseguenz nche l integrle. Nell intervllo in cui l funzione è negtiv l re s dell superficie compres tr l funzione e l sse x è quindi dt d f(x)dx. Quindi: 0 S = x 3 dx x 3 dx 0 = [ x4 0 4 ] + [ x4 1 4 ] = ( 1 4 ) =

46 In generle quindi se voglimo clcolre l re nell intervllo [,c] nel cso in figur: srà: S = f(x)dx c f(x)dx Considerimo or due funzioni delimitno un superficie chius: L re dell superficie S compres tr le due funzioni è dt dll re tr l funzione f(x) e l sse x nell intervllo [,] meno quell tr l funzione g(x) e l sse x nello stesso intervllo, se f(x) g(x): S = f(x)dx g(x)dx Esempio: Voglimo clcolre l re tr f(x) = 3x + 3 e g(x) = 3x 2-6x

47 Le due curve si intersecno nei punti di sciss 0 e 3 quindi l re dell regione compres tr le due curve è l re tr f(x) e l sse x (S1) meno l re tr g(x) e l sse x (S2). 3 S 1 = f(x)dx = 0 3 (3x + 3)dx 0 = [ x2 + 3x] = = S 2 = g(x)dx = 0 3 (3x 2 6x + 3)dx 0 = [x 3 3x 2 + 3x] 0 3 = = 9 quindi S = S1 - S2 = 27/2. Oppure molto più semplicemente, pplicndo le proprietà degli integrli: 3 S = (3x + 3)dx 0 3 (3x 2 6x + 3)dx 0 3 = [3x + 3 (3x 2 6x + 3)]dx 0 3 = ( 3x 2 + 9x) dx 0 = [ x x2 ] 3 0 = =

48 Clcolo dell integrle di sin 2 x sin 2 x dx = Applico l formul di isezione sin β 2 = ± 1 cos β 2 Elevo l qudrto entrmi i memri: sin 2 β 2 1 cos β = 2 Pongo β 2 = x β = 2x: sin 2 x = 1 cos 2x 2 sin 2 1 cos 2x x dx = 2 dx = Divido l integrle nell somm di due integrli: = 1 2 dx cos 2x 2 dx = 1 x 1 cos 2x dx = 2 2 Integrle di un funzione compost: per clcolre questo integrle devo pplicre l formul f (x) cos f (x) dx = sin f (x) + C Quindi dentro l integrle devo vere l derivt dell funzione rgomento del coseno. In questo cso f (x) = 2x f (x) = 2. Quindi moltiplico e divido per 2 l integrle e ottengo: cos 2x dx = cos 2x dx = 1 sin 2x + C 2 = 1 2 x 1 2 cos 2x dx = 1 2 x sin 2x + C = 1 2 x 1 sin 2x + C 4 sin 2 x dx = x 2 48 sin 2x 4 + C

49 Appliczioni in fisic: 1) Nel clcolo del potenz medi in un circuito in corrente lternt è necessrio clcolre l integrle del sin 2 (ωt) dt in un periodo, è l pulszione ed è ugule 2 / τ sin 2 (ωt) 0 dt = Applico un sostituzione di vriile: x = ωt dx = ω dt dt = dx ω Clcolo i nuovi estremi di integrzione: t = 0 x = 0 t = τ x = ωτ = 2π τ τ = 2π 2π = sin 2 x ω 0 dx = 1 2π ω sin 2 x 0 dx = 1 ω [x 2 2π sin 2x 4 ] 0 = = 1 ω [(2π 2 sin 2(2π) ) ( sin 0 4 )] = π ω = π 2π τ = τ 2 τ sin 2 (ωt) 0 dt = τ 2 49

50 2) Per clcolre invece l energi totle rcchius d un ond stzionri è necessrio clcolre l integrle del sin 2 (kl) dl sull lunghezz L dell fune, k è il numero l ond ed è ugule 2 /. L sin 2 (kl) 0 L dl = sin 2 ( 2π λ l) 0 dl = Applico un sostituzione di vriile: x = 2π λ l dx = 2π λ dl dl = dx 2π λ Clcolo i nuovi estremi di integrzione: l = 0 x = 0 = λ 2π dx l = L x = 2π λ L = 2π λ λ 2 = π Le onde stzionrie su un fune di lunghezz L possono vere solo determinte lunghezze d ond L = n λ 2 con n (numero intero) 1. Nell sostituzione dell estremo superiore si è considerto il cso con n = 1. π = λ 2π sin 2 x 0 dx = λ 2π sin 2 x 0 π dx = λ π 2π [x sin 2x 2 4 ] 0 = = λ 2π [(π 2 sin 2(π) ) ( sin 0 4 )] = λ 2π π 2 = λ 4 L sin 2 (kl) 0 dl = λ 4 50