Integrali. Alessandro Fallica Liceo Ginnasio Statale G. Verga Adrano. 3 aprile 2014

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1 Integrli Alessndro Fllic Liceo Ginnsio Sttle G. Verg Adrno 3 prile 2014 Indice 1 Differenzile di un funzione Definizione di differenzile Significto geometrico del differenzile di un funzione Differenzili di ordine superiore Integrli indefiniti Definizione di integrle indefinito Proprietà dell integrle indefinito Integrli immediti Integrzione delle funzioni rzionli frtte Integrzione per sostituzione Integrzione per prti Clcolo dell integrle definito Integrli definiti Are di un rettngoloide Integrle definito di un funzione continu Proprietà degli integrli definiti Teorem dell medi L funzione integrle Teorem fondmentle del clcolo integrle Complementi Lunghezz di un curv pin Volume di solidi di rotzione

2 1 Differenzile di un funzione 1.1 Definizione di differenzile Si dt l funzione y = f(x) derivbile in un intervllo [, b]. Diremo differenzile dell funzione dt in un suo punto di sciss x 0 il prodotto dell derivt dell funzione, clcolt in x 0, per l incremento dell vribile. Cioè: dy = f (x 0 ) x (1) l letter d seguit dll vribile dipendente(dy) o dll funzione (df) è ssunt simbolo di differenzizione. L relzione (1) è vlid qundo è verifict l condizione: x 0 e x 0 + x [, b] Esempio 1.1 Dt l funzione y = x 2 1, clcolre il differenzile nel suo punto di sciss 2. dy = 4 x Dicesi differenzile generico o, più semplicemente differenzile di un funzione in un suo punto generico l seguente relzione: con l condizione x e x + x [, b] dy = f (x) x (2) Esempio 1.2 Clcolre il differenzile generico dell funzione y = x 2 1. dy = 2x x Applicndo l definizione di differenzile ll funzione y = x bbimo: df = dx = 1 x = x cioè il differenzile dell vribile è ugule ll incremento dell vribile stess. In bse ciò l (2) può scriversi sotto l form dy = f (x)dx Che ci permette di poter ffermre che: Definizione 1.3 il differenzile dell funzione è nche ugule l prodotto dell derivt dell funzione per il differenzile dell vribile indipendente. Esempio 1.4 Scrivere l espressione del differenzile dell funzione y = sen 3x. dy = 3 cos 3xdx 2

3 Figur 1: Significto geometrico del differenzile 1.2 Significto geometrico del differenzile di un funzione Disegnimo il grfico dell funzione y = f(x) (vedi figur 1), derivbile nell intervllo [, b] e considerimo il punto generico P di coordinte [x, f(x)] con x [, b]. Costruimo l tngente ll curv nel punto P. Considerimo il punto Q, dell tngente, di sciss x + x interno ll intervllo di definizione dell funzione e pplichimo l tringolo rettngolo QP R un noto teorem di trigonometri. Avremo: RQ = P R tn α (3) Si h che: P R = x per costruzione e tn α = f (x) per il significto geometrico dell derivt. l (3) divent: RQ = f (x) x Confrontndo quest ultim con l (2) vremo: RQ = dy cioè: il differenzile dell funzione in un suo punto rppresent l incremento di ordint clcolt sull tngente. 1.3 Differenzili di ordine superiore I differenzili successivi l primo si definiscono come le derivte successive. Così, si chim differenzile del secondo ordine il differenzile del differenzile del primo ordine. Si rppresent con il simbolo d 2 f(x) o d 2 y. Ricordndo che dx deve essere considerto come un costnte si h: d 2 f(x) = d[f (x)dx] = [f (x)dx] dx = [f (x)dx]dx = f (x)dx 2 cioè: d 2 f(x) = f (x)dx 2. 3

4 Anlogmente si definisce, in generle, il differenzile di ordine n, che si indic con d n f(x), e si h: d n f(x) = f (n) (x)dx n (4) cioè: il differenzile di ordine n di un funzione è il prodotto dell derivt n m per l potenz n m del differenzile dell vribile indipendente. Dll (4) si ricv: f (n) (x) = dn f(x) dx n cioè: l derivt n m di un funzione è il rpporto fr il differenzile n mo dell funzione e l potenz n m del differenzile dell vribile indipendente. 4

5 2 Integrli indefiniti 2.1 Definizione di integrle indefinito L integrle indefinito di un funzione dt (che chimeremo funzione integrnd) è un funzione (funzione primitiv) not meno di un costnte ed vente per derivt l funzione integrnd. Indichimo con il simbolo (S deformt) l operzione di integrle indefinito. Diremo che è: f(x)dx = F (x) + C (5) soltnto se è verifict l condizione: D [F (x) + C] = F (x) = f(x) Esempio in qunto (cos x sen 2x)dx = sen x(1 sen x) + C D[ sen x(1 sen x) + C] = cos x(1 sen x) sen x cos x = = cos x sen x cos x sen x cos x = = cos x 2 sen x cos x = cos x 2 sen 2x L precedente definizione ci permette di sottolinere che l integrzione indefinit è l operzione invers dell differenzizione o dell derivzione. Inftti è: d[f (x) + C] = f(x)dx = F (x) + C 2.2 Proprietà dell integrle indefinito A) L integrle dell somm lgebric di due o più funzioni integrbili è ugule ll somm lgebric degli integrli di ciscun funzione [f(x) ± g(x) ±...]dx = f(x)dx ± g(x)dx ±... B) L integrle del prodotto di un costnte per un funzione è ugule ll costnte per l integrle dell funzione Kf(x)dx = K f(x)dx 5

6 2.3 Integrli immediti 1. dx = x + C 2. x n dx = xn+1 + C (n 1) n dx = ln x + C (n = 1) x 4. e x dx = e x + C x dx = x log e + C sen xdx = cos x + C cos xdx = sen x + C 1 cos 2 dx = tn x + C x sen 2 dx = cot x + C x dx 1 x 2 = rcsen x + C dx 1 + x 2 = rctn x + C Tutt l teori degli integrli indefiniti si bs su un definizione, due proprietà e undici integrli immediti. Ogni qul volt ci troveremo di fronte l clcolo di un integrle indefinito dovremo trsformre l funzione integrnd in modo d ricondurre l integrle proposto d un integrle immedito. 6

7 2.4 Integrzione delle funzioni rzionli frtte Si y = N(x) D(x) un funzione rzionle frtt con N(x) un polinomio di grdo m e D(x) un polinomio di grdo n, con m n. In tl cso si può eseguire l divisione tr il polinomio N(x) e il polinomio D(x), ottenendo come quoziente il polinomio Q(x) di grdo m n e come resto il polinomio R(x) di grdo inferiore d n. L funzione (6) può scriversi, llor, nell form: (6) y = Q(x)D(x) + R(x) D(x) = Q(x) + R(x) D(x) Pertnto se si deve clcolre N(x) D(x) dx bsterà clcolre R(x) Q(x)dx + dx (7) D(x) L funzione Q(x) è un polinomio e pertnto è fcilmente integrbile. Occorrerà clcolre, però, R(x) D(x) dx. Esempio: 4x 4 + 8x 2 + x + 3 2x 2 dx + 1 eseguendo l divisione si h: Q(x) = 2x 2 + 3, R(x) = x. Applicndo l (7) (2x 2 x + 3)dx + 2x dx = = 2 x 2 dx + 3 dx Considerimo or: R(x) D(x) dx 4x 2x dx = = 2 x x log(2x2 + 1) + C con R(x) polinomio di grdo inferiore quello di D(x). D qunto esposto precedentemente e in prticolre dll (7) possimo dedurre che spremo integrre un funzione rzionle frtt se spremo ricondurre forme fcilmente integrbili l funzione R(x)/D(x). Considerimo il cso frequente in cui D(x) è un polinomio di secondo grdo. R(x), pertnto, potrà essere o 7

8 di primo grdo o di grdo nullo (cioè un costnte) Ci proponimo, dunque, di clcolre gli integrli del tipo: px + q x 2 dx (8) + bx + c q x 2 dx (9) + bx + c Considerimo i tre possibili csi: > 0, = 0 e < 0. 1 cso > 0. Il trinomio x 2 + bx + c è decomponibile in fttori. Inftti, dette x 1 e x 2 le sue rdici, si vrà: x 2 + bx + c = (x x 1 ) (x x 2 ) l funzione integrnd di entrmbi gli integrli (8) e (9) si può decomporre nell somm di due frzioni elementri: A x x 1 + B x x 2 che sppimo integrre, poichè A e B sono delle costnti, d determinre trmite il principio di identità dei polinomi. 2 cso = 0. In questo cso le rdici x 1 e x 2 del trinomio l denomintore dell funzione integrnd sono coincidenti. Si h, perciò: x 2 + bx + c = (x x 1 ) 2 Per l integrle (9) si procederà così: q x 2 + bx + c dx = q (x x 1 ) 2 dx = q = q (x x 1 ) (x x 1 ) 2 dx q + C = (x x 1 ) + C L integrle (8) si clcolerà, invece, decomponendo l funzione integrnd in un somm del tipo: px + q x 2 + bx + c = px + q (x x 1 ) 2 = A (x x 1 ) + B (x x 1 ) 2 con A e B due costnti d determinre con il principio d identità dei polinomi. 3 cso < 0. Se il discriminnte è negtivo, il trinomio non è decomponibile nel cmpo rele. É possibile dimostrre l seguente formul: 1 x 2 + bx + c dx = 2 rctn 2x + b + C 8

9 2.5 Integrzione per sostituzione In molti csi l risoluzione di un integrle è res compless dll presenz di funzioni composte. É utile, llor, introdurre un vribile usiliri per poter pplicre in mnier più semplice modelli di risoluzione conosciuti. Teorem 2.1 (Teorem di sostituzione) Si f(x) un funzione definit in un intervllo D e si x = g(t) un funzione biunivoc definit in un intervllo A vlori su D e dott di derivt continu e non null in A. Allor: f(x)dx = f[g(t)]dg(t) con t = g 1 (x) Ricordimo che x = g(t) e t = g 1 (x) sono funzioni inverse e quindi l loro composizione fornisce l funzione identic. Se F (x) è un primitiv di f(x) sppimo che: f[g(t)]dg(t) = F [g(t)] + C per cui: f[g(t)]dg(t) = F [g(g 1 (x))] + C = F (x) + C = f(x)dx Esempio 2.2 Clcolre i seguenti integrli indefiniti con il metodo di sostituzione. x + 4dx Ponimo x + 4 = t, d cui x = t 4 e dx = dt. Si h: x + 4dx = tdt = t C risostituendo si ottiene: x + 4dx = 2 3 (x + 4) C. sen (4x 1) dx Se ponimo 4x 1 = t, d cui: x = 1 (t + 1) 4 e quindi sen (4x 1)dx = dx = 1 4 dt sen t 1 4 dt = = 1 4 cos t + C = 1 cos (4x 1) + C 4 9

10 2.6 Integrzione per prti Il metodo di integrzione per prti si bs sul seguente teorem: Teorem 2.3 Se f(x) e g(x) sono funzioni definite in un intervllo [, b] e ivi continue e derivbili, llor: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) g(x)f (x)dx il termine f(x) è detto fttore finito, mentre g (x)dx è detto fttore differenzile. Differenzindo il prodotto delle due funzioni si h: d cui: d[f(x)g(x)] = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx f(x)g (x)dx = d[f(x)g(x)] f (x)g(x)dx Integrndo mbo i membri si ottiene: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) g(x)f (x)dx che è l tesi. Il teorem può nche essere espresso in un modo più comptto: f dg = f g g df (10) Tle formulzione prende il nome di regol di integrzione per prti e può essere lett nel seguente modo: Definizione 2.4 l integrle del prodotto di un fttore finito f per un fttore differenzile dg è ugule l prodotto del fttore finito per l integrle del fttore differenzile diminuito dell integrle del prodotto tr l integrle del fttore differenzile e il differenzile del fttore finito. Impostimo l ppliczione dell regol di integrzione per prti secondo il seguente schem: 1. scegliere il fttore finito f; 2. clcolre df; 3. scegliere il fttore differenzile dg; 4. clcolre dg; 5. pplicre l formul di integrzione per prti. 10

11 Esempio 2.5 Clcolre x sec 2 xdx. Procedimo come segue: 1. fttore finito: f = x 2. df = dx 3. fttore differenzile: dg = sec 2 xdx 4. g = sec 2 xdx = tn x Applicndo l formul (10) si h: x sec 2 xdx = x tn x tn xdx = x tn x + ln cos x + C 2.7 Clcolo dell integrle definito Vedimo or come procedere per clcolre un integrle indefinito: 1. Come prim cos devi vedere se l integrle e immedito, cioe se e compreso nell tbell degli integrli o e riconducibile d essi. 2. Se l integrle non e immedito devi vedere se si puo risolvere medinte sostituzione: in genere e risolvibile per sostituzione se l rgomento dell integrle contiene contempornemente un funzione e l su derivt. 3. Se l integrle non e per sostituzione dovri provre l integrzione per prti: potri fre l integrle per prti se l rgomento dell integrle si puo spezzre in due funzioni, un di cui conosci l integrle e l ltr di cui conosci l derivt. 4. Se ncor non hi risolto l integrle osserv se e un funzione rzionle ed in tl cso us il metodo per le funzioni rzionli. 5. Se poi non e un funzione rzionle prov sviluppre l funzione in serie di potenze e fi l integrle di ogni termine dell serie. 3 Integrli definiti 3.1 Are di un rettngoloide Definizione 3.1 Dt un funzione y = f(x) continu nell intervllo [, b] con f(x) 0 x [, b], si chim rettngoloide o trpezoide o regione pin l insieme: R = {(x, y) R R : x b e 0 y f(x)} 11

12 Figur 2: Rettngoloide Con il termine rettngoloide si intende, pertnto, un dominio pino r individuto d un curv di equzione y = f(x), dll sse delle scisse e dlle rette di equzione x = e x = b (figur 2). Per definire l re di R dividimo l intervllo [, b] in n sottointervlli, tutti di ugule lunghezz x = b n Ponendo x 0 =, x 1 = + x, x 2 = +2 x,..., x i = +i x, x n = b, l intervllo [, b] può essere considerto come l unione degli intervlli [x i 1, x i ], con i {1, 2,..., n 1} privi di punti interni comuni. L insieme degli intervlli [x i 1, x i ] prende il nome di suddivisione o prtizione n-esim di [, b] e viene indicto con σ n. in ciscun intervllo chiuso [x i 1, x i ] l funzione è definit continu e quindi, per il teorem di Weierstrss, è dott si di minimo che di mssimo, che indicheremo rispettivmente con m i ed M i. Considerimo or l figur contorno rettilineo costituit dll unione degli n rettngoli venti come bse gli n intervlli [x i 1, x i ] e come ltezz i rispettivi vlori m i. (figur 3) Definizione 3.2 Si chim plurirettngolo inscritto o scloide interno l rettngoloide R l regione pin: s n = n {(x, y) R R : x i 1 x x i e 0 y m i }. i=1 Dll definizione segue che s n R. Nell figur 3 è riportto un esempio di plurirettngolo inscritto. Definizione 3.3 Considerimo or l figur contorno rettilineo costituit dll unione degli n rettngoli venti come bse gli n intervlli [x i 1, x i ] e 12

13 Figur 3: Plurirettngolo inscritto come ltezz i rispettivi vlori M i. (figur 4) Si chim plurirettngolo circoscritto o scloide esterno l rettngoloide R l regione pin: S n = n {(x, y) R R : x i 1 x x i e 0 y M i }. i=1 Dll definizione discende che S n R. Nell figur 4 è riportto un esempio di plurirettngolo circoscritto. A ogni prtizione σ n dell intervllo [, b] corrisponde un vlore di m(s n ) e uno di m(s n ); essi forniscono due vlori pprossimti, rispettivmente per difetto e per eccesso dell misur del rettngoloide R. L pprossimzione dell re di R è tnto migliore qunto più fine è l prtizione σ. considerimo or le due successioni numeriche: I = {m(s 1 ), m(s 2 ),..., m(s n )} C = {m(s 1 ), m(s 2 ),..., m(s n )} L prim è un successione di numeri reli crescente, l second è un successione di numeri reli decrescente. L prim successione è dott di estremo superiore e l second di estremo inferiore; inftti si h sempre: pssndo l limite si ottiene: e di conseguenz m(s n ) m(r) m(s n ) n N 0 lim m(s n) lim m(r) lim m(s n) n n n m(r) = lim n m(s n) = lim n m(s n) simo così in grdo di dre l definizione di misur di un rettngoloide. 13

14 Definizione 3.4 Dto un rettngoloide R delimitto dll curv continu di equzione y = f(x) (con f(x) > 0), dll sse delle scisse e dlle rette prllele ll sse delle ordinte di equzione x = e x = b, si chim misur o re del rettngoloide il numero rele non negtivo che è il limite comune delle due successioni delle misure delle ree degli scloidi interni ed esterni l rettngoloide. Figur 4: Plurirettngolo circoscritto 3.2 Integrle definito di un funzione continu Definizione 3.5 (Integrle di Cuchy.) Si dice integrle definito dell funzione f(x) esteso ll intervllo [, b] il limite comune delle due successioni degli scloidi interni ed esterni. In simboli: m(r) = lim n m(s n) = lim n m(s n) = b f(x)dx L definizione di integrle definito che bbimo introdotto richiede che l prtizione dell intervllo [, b] si ftt con intervlli [x i 1, x i ] di mpiezz costnte e che per ogni intervllo przile si ricerchino il mssimo ed il minimo. Queste considerzioni restrittive non sono necessrie, è inftti possibile dre un definizione più generle di integrle, ossi l definizione di integrle definito secondo Riemnn, prendendo in considerzione intervlli [x i 1, x i ] di mpiezz non costnte e considerndo un qulunque vlore di f(c i ) che l funzione f(x) può ssumere in quell intervllo. Premettimo lcune definizioni. Definizione 3.6 (Suddivisione.) Si [, b] un intervllo chiuso e limitto dell rett rele. Si chim suddivisione dell intervllo [, b] un insieme di punti: σ = {x 0, x 1, x 2... x n 1, x n } tli che: = x 0, < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b 14

15 si chim mpiezz mssim o dimetro dell suddivisione il numero rele δ che è l mssim misur dell lunghezz degli intervlli [x i 1, x i ] Definizione 3.7 (Somm integrle di Riemnn.) Si f(x) un funzione definit continu in [, b]; si σ un su suddivisione di dimetro δ; sceglimo in ciscun intervllo [x i 1, x i ] un punto c i. Si chim somm integrle di Riemnn l somm: S δ (f) = n f(c i ) (x i x i 1 ) i=1 Definizione 3.8 (Integrle definito secondo Riemnn) Dt un funzione f(x) definit e continu in un intervllo [, b] considerimo le somme integrli: n S δ (f) = f(c i ) (x i x i 1 ) i=1 si chim integrle definito secondo Riemnn il numero l R tle che: l = lim δ 0 S δ (f) = lim n + n f(c i ) (x i x i 1 ) = i=1 3.3 Proprietà degli integrli definiti b f(x)dx = [,b] f(x)dx A) Invertendo gli estremi di integrzione, l integrle cmbi segno, cioé: b f(x)dx = b f(x)dx (11) B) L somm di due o più integrli venti l stess funzione integrnd e tli che l estremo superiore di uno di essi si ugule ll estremo inferiore del successivo è ugule d un unico integrle vente l stess funzione integrnd ed eseguito tr il minore degli estremi inferiori ed il mggiori degli estremi superiori d integrzione. Cioé: b f(x)dx + c b f(x)dx + d c f(x)dx = d f(x)dx (12) C) L somm lgebric di due o più integrli venti gli stessi estremi d integrzione è un unico integrle eseguito tr gli stessi estremi ed vente, per funzione integrnd, l somm lgebric delle funzioni integrnde. Cioé: b f(x)dx ± b g(x)dx = b [f(x) ± g(x)]dx (13) 15

16 3.4 Teorem dell medi Definizione 3.9 si f(x) un funzione continu nell intervllo [, b]. Chimimo medi integrle o vlor medio di f(x) in [, b] il numero: 1 b b f(x)dx Teorem 3.10 ( Teorem dell medi) Dt l funzione f(x), continu nell intervllo [, b] esiste lmeno un punto c interno ll intervllo per il qule risult: b f(x)dx = (b ) f(c) Se F (x) è un primitiv di f(x) llor si vrà: b f(x)dx = F (b) F () bsterà osservre che l funzione F (x) soddisf il teorem di Lgrnge cioé: ossi l tesi. 3.5 L funzione integrle F (b) F () = (b ) f(c) Considerimo un funzione f(x) continu nell intervllo [, b] chiuso e limitto e si x un qulsisi punto dell intervllo considerto. Definizione 3.11 Si chim funzione integrle dell funzione f(x) in [, b] l funzione così definit: F (x) = x f(t)dt (14) che ssoci d ogni x [, b] il vlore numerico x f(t)dt. L vribile indipendente per l funzione F (x) è l estremo superiore x dell integrle definito dto dll (14), è dett vribile di integrzione: d ess si può sostituire un qulsisi ltr vribile; per esempio: F (x) = x f(t)dt = x f(x)dx = x f(z)dz =... 16

17 3.6 Teorem fondmentle del clcolo integrle Il legme esistente tr un funzione e l funzione integrle d ess ssocit è espresso dl seguente teorem. Teorem 3.12 (Teorem fondmentle del clcolo integrle) Se l funzione f(x) è continu in [, b], l corrispondente funzione integrle F (x) è derivbile e, x [, b], risult F (x) = f(x) Considerimo x [, b] e dimo d x un incremento x in modo che si (x + x) [, b]. Nel pssggio d x x + x l funzione integrle subisce l incremento F = x f(x)dx + x+ x x f(x)dx x f(x)dx = x+ x x f(x)dx Applicndo ll ultimo integrle scritto il teorem dell medi si h: F = x+ x x f(x)dx = x f(c) dove c è un conveniente punto dell intervllo [x, x + x]. Il rpporto incrementle dell funzione F, reltivo l punto x e ll incremento x, è pertnto: F x f(c) = = f(c) (15) x x Tenedo presente che x è fissto ed è x c x + x, si h che: x 0 c x Pssndo l limite per x 0 nell (15), e ricordndo che f è continu, si h dunque F lim x 0 x = lim f(c) = f(x) c x l esistenz del limite del rpporto incrementle dimostr che F (x) è derivbile e precismente risult: F (x) = f(x) 17

18 4 Complementi 4.1 Lunghezz di un curv pin Si y = f(x) un funzione continu e derivbile in [, b] ci ponimo il problem di clcolre l misur dell rco Γ vente come estremi i punti A(, f()) e B(b, f(b)). Supponimo che tle misur esist. fisst un prtizione σ di [, b] di dimetro δ trmite i punti successivi x 0 =, x 1, x 2,..., x n = b, un vlore pprossimto dell misur di Γ è dto dll lunghezz dell poligonle ρ di vertici A, A 1, A 2,..., A n 1, B, ossi: m σ (ρ) = n (xi x i 1 ) 2 + [f(x i ) f(x i 1 )] 2 i=1 Al vrire dell prtizione σ di [, b], vri l poligonle ρ e quindi m σ (ρ). Dte due prtizioni σ 1 e σ 2, con σ 1 più fine di σ 2, si h: m σ1 (ρ) m σ2 (ρ). Definizione 4.1 Detto L l insieme dei vlori m σ (ρ), definimo lunghezz dell curv Γ l estremo superiore, se esiste, di tle insieme e lo indichimo con m(γ). L lunghezz dell curv Γ, se esiste, è dt dl seguente teorem. Teorem 4.2 L misur dell lunghezz di un rco Γ di curv, grfico di un funzione di equzione y = f(x), continu e derivbile in un intervllo [, b], è dto d: b m(γ) = 1 + [f (x)] 2 dx Esempio 4.3 Clcolre l lunghezz dell rco di prbol di equzione y = x 2 nell intervllo [ 1, 2]. Poichè f (x) = 2x si h: m(γ) = Volume di solidi di rotzione 1 + (2x) 2 dx Si y = f(x) l equzione di un funzione continu in un intervllo [, b] e supponimo che si f(x) 0, x [, b] Considerimo or il rettngoloide T delimitto dl grfico dell funzione, dll sse delle x e dlle rette di equzione x = e x = b e fccimo ruotre 18

19 di un giro completo ttorno ll sse x tle rettngoloide. Si otterrà un solido di rotzione α di cui voglimo determinre l misur V del volume (vedi fig. 5). Procedimo in modo nlogo qunto ftto nel 3.1: dividimo, pertnto, l intervllo [, b] in n prti uguli, di mpiezz x = b n medinte i punti x 0 =, x 1 = + x, x 2 = +2 x,..., x i = +i x, x n = b. Dicimo, come l solito, m i ed M i rispetivmente i vlori minimo e mssimo che l funzione ssume nell intervllo [x i 1, x i ]. Figur 5: Pluricilindro Considerimo or il plurirettngolo inscritto ed il plurirettngolo circoscritto l rettngoloide T : questi plurirettngoli, nell rotzione di un giro completo ttorno ll sse delle x, dnno luogo due solidi che chimeremo rispettivmente pluricilindro inscritto e pluricilindro circoscritto l solido α. Ricordndo che l misur del volume di un cilindro di rggio r e ltezz h è πr 2 h, indicndo con v n e V n le misure dei volumi del pluricilindro inscritto e circoscritto, si h: v n =πm 2 1 x + πm 2 2 x πm 2 n x (16) V n =πm 2 1 x + πm 2 2 x πm 2 n x (17) Ricordndo nche qunto visto l 3.1, possimo dire che l (16) è l somm integrle inferiore dell funzione di equzione y = π[f(x)] 2 reltiv ll suddivisione di [, b] effettut. Anlogmente, sempre per l stess funzione, l (17) è l somm integrle superiore. 19

20 Al vrire di n N 0 si ottengono le successioni v 1, v 2,... v n,... V 1, V 2,... V n,... cioè le successioni delle somme integrli inferiori e superiori dell funzione y = π[f(x)] 2. Per qunto visto possimo concludere che: Ovvero in conclusione: lim v n = lim V n = n + n + b π[f(x)] 2 dx Teorem 4.4 Dt un funzione di equzione y = f(x) definit, generlmente continu e non negtiv nell intervllo [, b], il volume V del solido di rotzione ottenuto fcendo ruotre il grfico di f(x) ttorno ll sse delle scisse è dto d: m(v ) = π b [f(x)] 2 dx Esempio 4.5 Clcolre l misur V del volume del solido ottenuto dll rotzione ttorno ll sse delle x dell prte di pino individut dll prbol di equzione y 2 = x e dll rett x = 1. Osservimo che il volume richiesto si può ottenere con un rotzione ttorno ll sse delle x dell prte di pino individut in [0, 1] dl grfico dell funzione di equzione y = x Pertnto: V = π 1 0 ( ) 1 [ 2 x 2 x dx = π xdx = π 2 0 ] 1 0 = π 2 Licenz Cretive Commons Integrli di Alessndro Fllic è distribuito con Licenz Cretive Commons Attribuzione Non opere derivte 4.0 Internzionle. 20

21 Riferimenti bibliogrfici [1] N. Dodero, P. Broncini, R. Mnfredi Nuovi elementi di mtemtic tomo B e C ed. Ghisetti e Corvi [2] R. Ferruto, M. Cmpitelli L nuov nlisi infinitesimle Società Editrice Dnte Alighieri [3] R. Bruno, W. Cvlieri, P. Lttnzio Clcolo integrle ed. Arnoldo Monddori Scuol Licenz Cretive Commons Integrli di Alessndro Fllic è distribuito con Licenz Cretive Commons Attribuzione Non opere derivte 4.0 Internzionle. 21