CORSO DI CALCOLO E BIOSTATISTICA. A.A APPUNTI SUGLI INTEGRALI

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1 CORSO DI CALCOLO E BIOSTATISTICA. A.A APPUNTI SUGLI INTEGRALI Il testo che segue contiene brevi ppunti reltivi lle lezioni svolte sull teori elementre dell integrzione di funzioni reli di un vribile rele. Lo scopo è quello di dre un orientmento semplice e sintetico sull rgomento. Gli studenti sono invitti consultre i testi consigliti per completre l preprzione. 1. Integrle definito. Definizione. Se f(x) è un funzione regolre (lmeno continu, o continu trtti) definit nell intervllo [, b], e positiv, o comunque non negtiv, il suo integrle definito sull intervllo, che si denot f(x)dx. (1) rppresent l re dell figur delimitt dl grfico dell funzione, l sse delle scisse (sse delle x), e le rette verticli x = e x = b. I punti e b sono detti, rispettivmente, estremo inferiore ed estremo superiore di integrzione. Esempio 1. Si consigli il lettore di disegnre l re nel pino crtesino reltiv l cso =, b = 1, f(x) = x 2. Se l funzione è costnte l re designt dll integrle (1) si determin fcilmente: l figur è un rettngolo di bse b ed ltezz c, e l re è quindi c(b ). Nello stesso modo si risolve nche il cso di funzioni costnti trtti, tli cioè che il loro dominio si divide in intervlli su ciscuno dei quli l funzione è costnte. (Queste funzioni si chimno nche funzioni semplici.) L figur di cui dobbimo determinre l re è in questo cso ftt di un certo numero di rettngoli che hnno per bse quegli intervlli e per ltezz il vlore dell funzione. L integrle (1) è quindi l somm delle ree di questi rettngoli. Esempio 2. Considerimo l integrle sull intervllo [, 1] dell funzione costnte trtti definit come f(x) = 1 per x < 1/2 e f(x) = 2 per 1/2 x 1. (Si disegni l figur per mggiore chirezz.) L figur di cui si deve clcolre l re è ftt di due rettngoli, entrmbi di bse 1/2, il primo di ltezz 1 e il secondo di ltezz 2. Si h pertnto 1 f(x)dx = 1/2 1+1/2 2 = 3/2. Nel cso generle di un funzione continu positiv qulsisi f(x) l re si clcol come limite di pprossimzioni successive relizzte con funzioni costnti trtti, con un procedimento che or illustreremo in form semplifict. Denotimo con A l re incognit d clcolre A = 1 f(x)dx. (2)

2 Dividimo l interllo [,b] in un numero n di intervllini di lunghezz δ = b n : I 1 = [,+δ], I 2 = [+δ,+2δ],..., I n = [+(n 1)δ,b]. (Si noti che +nδ = b.) L funzione f è continu, e quindi su ognuno degli intervllini I j, che sono chiusi e limitti, ssume si un vlore minimo, che denotimo m j, che un vlore mssimo M j, e sino x j e x j punti in cui sono rggiunti rispettivmente i vlori m j e M j. Considerimo l funzione costnte trtti f (n) M (x) che in ogni intervllino I j ssume il vlore mssimo M j. Il grfico di f (n) M (x) è un specie di sclint che st sempre sopr il grfico dell f(x), cioè f (n) M (x) f(x). Quindi si h n S n = f (n) M (x) = δ n M j = f(x j )δ > A. (3) j=1 Inftti S n rppresent l re dell figur compres tr il grfico dell f (n) M (x) (l sclint ), l sse delle scisse e le rette verticli x = e x = b, che contiene l figur l cui re è clcolt dll integrle (2) dell f(x). Quindi S n, che è l somm delle ree dei rettngolini con bse I j, di lunghezz δ, ed ltezz M j, è un re mggiore di A. (Si trcci l figur, oppure si confronti con l figur pg. 154 di [1]). Anlogmente si vede che se si costruisce l funzione semplice con gli stessi intervlli I j, m prendendo i minimi, invece dei mssimi, ottenimo un nuov funzione con grfico sclint, tle che f m (n) (x) f(x). Rgionndo come sopr si vede che s n = f (n) n m (x) = δ m j = j=1 j = 1 n f(x j )δ < A. In generle se prendimo dei punti qulsisi x j in ogni intervllo I j invece dei punti di mssimo e di minimo vremo un somm con vlore intermedio n s n f(x j )δ S n. (4) j = 1 Abbimo quindi, per ogni n, s n A S n (scrivimo invece di < per coprire il cso bnle in cui f è costnte). E chiro quindi che j = 1 (3b) S n A S n s n, A s n S n s n. (5) Si può dimostrre che S n s n per n, il che implic per le (5) che lim n S n = A, di lim n s n = A e (per il teorem dei crbinieri ) nche tutte le somme intermedie del tipo (4) tendono d A. L dimostrzione del ftto che S n s n è semplice nel cso che f si derivbile. Inftti S n s n rppresent l redi nrettngolidi bse δ eltezz M j m j = f(x j ) f(x j ) (si ricvi l figur dlle figure di [1], pg. 154) e quindi S n s n = n [f(x j ) f(x j )]δ. (6) j=1 2

3 Applicndo il teorem di Lgrnge, si trov f(x j ) f(x j ) = f (x j )(x j x j ) dove x j I j e f rppresent l derivt. Se dunque K = mx x [,b] f (x), osservndo che x j x j δ, perchè i due punti sono dentro lo stesso intervllino I j, ottenimo dll (6), ricordndo che δ = b n, S n s n Knδ 2 = K (b )2, n e il membro di destr tende zero per n. Dunque l re che dovevmo trovre si ottiene come limite per n di somme del tipo (4), tr le quli includimo come csi prticolri le somme S n e s n. Questo ftto è ricordto nell notzione stess dell integrle: il simbolo, che è un S llungt, st per l somm, mentre il termine f(x)dx rppresent l re del rettngolo di bse infinitesim dx e ltezz f(x). L notzione è quindi un rppresentzione simbolic del limite delle somme finite (4). Osservzione. Qunto detto non è del tutto corretto, perchè gli intervllini contigui, essendo chiusi hnno un punto estremo in comune. Per esempio nel punto + δ, che è l estremo in comune d I 1 e d I 2 non si s se ssegnre s f (n) M (+δ) il vlore M 1 oppure M 2. Il problem si può risolvere ssegnndo nel punto in comune di due intervlli, nel cso di vlori diversi per i due mssimi o minimi, il vlore dell intervllo di sinistr. Osservzione. Si può fcilmente vedere che non è necessrio dividere l intervllo [, b] in intervllini di egule lunghezz. Si possono considerre somme integrli del tipo (4) in cui le lunghezze degli intervllini possono essere diverse, m è comunque necessrio che l loro lunghezz mssim tend zero nel procedimento di limite. L nozione di integrle definito si estende l cso di funzioni che sono negtiveinmodo semplice. Se l funzione f è negtiv l integrle (1) rppresent sempre l re compres tr il grfico di f, l sse delle scisse e le rette verticli x =, e x = b, m pres con il segno, cioè l integrle è negtivo. Anche in questi csi è ovvio che l integrle (1) è il limite di somme integrli del tipo (4). Nel cso generle l intervllo[,b]si dividein intervlliincui f èpositiv ein intervlli in cui f è negtiv, e si sommno i corrispondenti integrli. In conclusione possimo dire che per un vst clsse di funzioni bbstnz regolri, come quelle ci limitimo considerre nell nostr trttzione, l integrle definito (1) è il limite per il numero n, dove n è degli intervllini in cui è diviso l intervllo di integrzione, di somme integrli del tipo (4). Queste somme sono nche dette somme di Riemnn, dl nome del mtemtico tedesco dell Ottocento che per primo ne h studito le condizioni di convergenz. Proprietà elementri dell integrle definito. L integrle definito (1) h le seguenti proprietà (si ved [1]). 3

4 Se f 1,f 2 sono funzioni continue trtti e k è un numero si h [f 1 (x)+f 2 (x)]dx = f 1 (x)dx+ f 2 (x)]dx, (7) (kf(x))dx = k f(x)dx f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. Le prime due sono ovvie dll definizione di integrle definito come limite. L (7c) è nche ovvi se c [,b]. Se invece c è fuori dell intervllo l (7c) segue dll convenzione f(x)dx = f(x)dx, b che si ssume vlid per ogni scelt di,b e di f(x). (7b) (7c) 2. Medi integrle. Si f(x) un funzione continu sull intervllo [, b]. Si definisce medi integrle su [,b] l quntità 1 b f(x)dx. (8) b L medi integrle h proprietà nloghe quelle dell medi ritmetic. In prticolre l seguente. Lemm. L medi integrle (8) è compres tr il mssimo e il minimo dell funzione: min f(x) 1 f(x)dx mx f(x). (9) x [,b] b x [,b] Dimostrzione. Supponimo per semplicitàche sif(x) perognix [,b],edicimo M il suo mssimo e m il suo minimo su [,b]. E chiro che l figur l cui re è dt dll integrle nell (8) è contenut nel rettngolo di bse [,b] e ltezz M, e quindi 1 b f(x)dx M(b ) b b = M. L ltr disuguglinz (9) si ottiene osservndo che l figur l cui re è dt dll integrle nell (8) contiene il rettngolo di bse [,b] e ltezz m. 3. Primitiv o integrle indefinito. 4

5 Definizione. Si dice primitiv dell funzione f(x) (che supponimo continu), in un certo dominio D, un funzione F tle che F (x) = f(x) per ogni x D. Per esempio l funzione F(x) = sinx è un primitiv dell funzione f(x) = cosx. Teorem di Torricelli.L funzione integrle dell vribile x F T (x) = x f(t)dt (1) qulunque si nel dominio di f, è un primitiv dell funzione f(x). Dimostrzione. Per clcolre l derivt scrivimo il rpporto incrementle F T (x+h) F T (x) h [ = 1 x+h f(t)dt h x f(t)dt ] = 1 h x+h x f(t)dt, (11) dove bbimo usto l proprietà (7c) con c = x, b = x+h. Supponendo per semplicità h >, destr dell (11) bbimo l medi integrle di f nell intervllo [x,x+h]. Sino x h e x h i punti dell intervllo [x,x+h] in cui l funzione f rggiunge il mssimo e il minimo rispettivmente. Per il lemm precedente bbimo f(x h ) F T(x+h) F T (x) h f(x h ). Qundo h si x h che x h tendono x per il teorem dei crbinieri (sono compresi tr x e x+h), e poichè f è continu bbimo lim h f(x h ) = lim h f(x h ) = f(x). Osservzione. Si noti che per l funzione (1) si h F T () = e quindi x f(t)dt = F T (x) F T (). (12) Il termine destr dell (12) si chim incremento dell funzione F T tr ed x. L incremento di un funzione F nell intervllo [x 1,x 2 ] si indic nche per brevità come F(x 2 ) F(x 1 ) = [F] x 2 x 1. L primitivdi un funzione f(x)nonèunic, mdtedue qulunqueprimitivef 1,F 2 di ess, l loro differenz è un costnte. Inftti si F(x) = F 2 (x) F 1 (x). Abbimo F (x) = F 2 (x) F 1 (x) = f(x) f(x) =. Quindi F 2 F 1 = c ovvero F 2 = F 1 +c. D questo segue che gli incrementi di F 1 e F 2 sono gli stessi per ogni scelt di x 1 < x 2 : F 2 (x 2 ) F 2 (x 1 ) = F 1 (x 2 ) F 1 (x 1 ). 5

6 Qunto detto nelle righe di sopr è in prtic l dimostrzione di un semplice m importnte risultto, dto dl seguente teorem. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Se F è un qulunque primitiv di f, llor per ogni intervllo [,b] nel dominio di f si h f(x)dx = F(b) F() = [F] b. (13) Dimostrzione. Inftti per l (12) il risultto è vero per l primitiv F T dt dll (1). Poichè gli incrementi sono eguli per tutte le primitive di f, ne segue l sserto del teorem. L clsse di tutte le primitive F di f si chim integrle indefinito di f e si indic con il segno di integrle senz gli estremi di integrzione. Per esempio si può scrivere cosx dx = sinx, m srebbe più corretto scrivere cosx dx = sinx+c, dove c indic un qulunque constnte. 4. Metodi di integrzione. Oltre ll conoscenz esplicit delle primitive delle singole funzioni (potenze, esponenzili, etc.) che proviene dlle regole di derivzione, indichimo due metodi di crttere generle. Integrzioni per prti. L ben not regol per l derivzione del prodotto (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x) conduce ll regol di integrzione f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. (14) Quest regol nturlmente v pplict nei csi in cui l integrle sinistr non si s fre direttmente m quello destr si s fre. Un esempio è il seguente: xe x dx = xe x e x dx = e x (x 1). Qui si è pplict l (14) prendendo g(x) = x, f (x) = e x. L posizione invers g(x) = e x, f (x) = x conduce invece d un integrle più complicto. 6

7 Integrzione per sostituzione. L regol di derivzione dell funzione compost conduce ll regol di integrzione d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) f (g(x)) g (x)dx = f(g(x)). Anche qui si pone un problem di interpretzione. Ad esempio nell integrle 2 per pplicre l regol dobbimo scrivere 2 x 1+x2dx (15) x 1+x 2dx = 1 2 2x 2 1+x 2dx e interpretre 2x come l derivt di g(x) = 1+x 2. In questo modo si vede che L integrle (15) è quindi pri 2x 1+x 2 = g (x) g(x) = d dx lng(x). 1 [ ln(1+x 2 ) ] 2 2 = ln5 2 = ln( 5). Bibliogrfi. [1] Cmillo Cmmrot. Elementi di clcolo e di sttistic. Edizioni Libreri Scientific Dis, Rom, 21 7