Chapter 1. Integrali doppi

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1 Chpter 1 Integrli doppi Nelle presenti note esporremo un pproccio semplificto ll teori degli integrli doppi. efiniremo tli integrli direttmente su domini normli, come limiti di opportune somme integrli. Useremo l nozione elementre di re e l interpretzione geometric dell integrle di un funzione continu di un vribile e dremo un dimostrzione sufficentemente rigoros delle formule di riduzione. Notzioni Se 1 = (x 1, y 1 ), 2 (x 2, y 2 ) sono due punti del pino xy, denoteremo con dist( 1, 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 l loro distnz. Se A è un sottoinsieme non vuoto del pino xy, dim(a) = sup{dist( 1, 2 ) 1, 2 A} indicherà il suo dimetro. Se T è un sottoinsieme del pino xy e v = (, b) un vettore bidimensionle, denoteremo con T +v = {(x+, y +b) (x, y) T } l trslzione di T secondo v. Are Se T è un sottoinsieme del pino xy sufficientemente regolre, denoteremo con ret l su re. Si può dimostrre che esiste un lrg clsse di sottoinsiemi del pino, detti insiemi misurbili secondo eno-jordn, per i quli l re è ben definit. Inoltre l re verific le seguenti proprietà: 1) ret 0; 2) re(t 1 T 2 ) = ret 1 + ret 2 - re(t 1 T 2 ) (dditività); 3) re(t 1 + (, b)) = ret 1 (invrinz per trslzioni); 4) se T 1 T 2 llor ret 1 ret 2 ; 5) re([0, 1] [0, 1]) = 1. Si può inoltre dimostrre che le proprietà 1),2),3) e 5) crtterizzno l re come funzione definit nell fmigli degli insiemi misurbili secondo eno-jordn. Richimi In quest sezione richimimo brevemente il significto geometrico dell integrle di un funzione di un vribile; per mggiori dettgli consultre il testo di Anlisi Mtemtic I. Si f : [, b] R un funzione continu nell intervllo [, b]; supponimo poi che 1

2 2 CHATER 1. INTEGRALI OI f(x) 0 per ogni x [, b]. Un prtizione di [, b] in n intervlli è dt d n + 1 punti x 0 = < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b; si pone poi M h = mx [x h 1,x h ] f e m h = min [x h 1,x h ] f. Il dimetro di è definito ponendo dim() = mx h x h 1. Le somme integrli sono h=1,...,n dte d: σ(f; ) = Σ(f; ) = (x h x h 1 )m h somm integrle inferiore h=1 (x h x h 1 )M h somm integrle superiore h=1 Ricordimo che l tendere zero di dim(), entrmbe le somme integrli convergono llo stesso limite, e tle vlore è per definizione l integrle f(x)dx. osto T = {(x, y) x b e 0 y f(x)} (rettngoloide reltivo ll f ), si h poi evidentemente σ(f; ) ret Σ(f; ) e quindi l tendere di dim() zero, Σ(f; ) e σ(f; ) non possono che tendere l vlore ret e necessrimente si h ret = f(x)dx. omini normli Un insieme del tipo = {(x, y) x b, y }, dove, b R e α, β sono funzioni continue definite in [, b] e tli che per ogni x [, b], è detto dominio normle rispetto ll sse x. i richimi nell sezione precedente, segue che l re di è dt dll formul

3 3 re = [ ]dx Un prtizione del dominio normle è dt d m + 1 punti x 0 = < x 1 < x 2 < x m 1 < x m = b ed n + 1 funzioni continue λ 0 = α, λ 1,..., λ n 1, λ n = β definite in [, b] tli che λ 0 (x) < λ 1 (x) < < λ n (x) per ogni x [, b]. Un modo di definire tli funzioni è d esempio ponendo λ k (x) = + k n per k = 0, 1, 2,..., m. onimo T h,k = {(x, y) x h 1 x x h e λ k 1 (x) y λ k (x)} e dim() = mx{dim(t h,k ) h = 1, 2,..., m e k = 1, 2,..., n}. Chirmente ogni T h,k è un dominio normle. Inoltre re = ret h,k. E fcile provre poi che infittendo l prtizione si puó rendere il suo dimetro piccolo picere.

4 4 CHATER 1. INTEGRALI OI Funzioni continue In quest sezione richimimo il teorem di Heine-Cntor sull uniforme continuità per funzioni di due vribili reli ed il teorem di Weiestrss sull esistenz del mssimo e del minimo ssoluti: Teorem (Heine-Cntor). Se f è un funzione continu in un insieme chiuso e limitto C del pino xy llor f è uniformenente continu in C nel senso che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tle che se, Q C e dist(, Q) < δ llor f( ) f(q) < ε. Teorem (Weiestrss). Un funzione f continu in un insieme chiuso e limitto C nel pino xy mmette in C minimo e mssimo ssoluti. Integrli doppi Si f un funzione continu in un dominio normle definito come sopr. res un prtizione di come sopr, definimo M h,k = mx f(x, y) e (x,y) T h,k m h,k = min f(x, y) (M h,k e m h,k esistono per il teorem di Weiestrss). efinimo poi (x,y) T h,k le somme integrli reltive ll f ed ll prtizione ponendo σ(f; ) = m h,k ret h,k Σ(f; ) = M h,k ret h,k Chirmente si h sempre σ(f; ) Σ(f; ) somm integrle inferiore somm integrle superiore Lemm er ogni ε > 0 esiste δ > 0 tle che se dim() < δ llor Σ(f; ) σ(f; ) < ε. imostrzione. Applicndo il teorem di Heine-Cntor ll funzione f bbimo che esisite δ > 0 tle che se dim() < δ llor M h,k m h,k < ε per h = 1, 2,..., m e

5 k = 1, 2,..., n (M h,k e m h,k sono due vlori ssunti in due punti l cui distnz è minore di δ). Quindi 5 Σ(f; ) σ(f; ) = (M h,k m h,k )ret h,k < ε ret h,k = ε re. Lemm er ogni prtizione di si h: ( b ) σ(f; ) f(x, y)dy dx Σ(f; ) imostrzione. Osservimo preliminrmente che in bse l teorem sull continuità degli integrli dipendenti d prmetri, f(x, y)dy è continu come funzione dell x in [, b] e quindi l integrle nell enuncito del teorem esiste. Si h poi: f(x, y)dy dx = = h=1 xh f(x, y)dy dx x h 1 xh x h 1 ( λk (x) f(x, y)dy λ k 1 (x) ) dx. (0.1) Notimo inoltre che m h,k f(x, y) M h,k per ogni (x, y) T h,k. Quindi, integrndo in dy d λ k 1 (x) λ k (x) queste disuguglinze, si ottiene: (λ k (x) λ k 1 (x))m h,k λk (x) λ k 1 (x) integrndo ncor in dx d x h 1 x h si h poi: m h,k ret h,k xh x h 1 f(x, y)dy (λ k (x) λ k 1 (x))m h,k λk (x) f(x, y)dy dx M h,k AreT h,k λ k 1 (x) infine, sommndo su h e k e tenendo conto di (0.1) si h l tesi. i Lemmi e segue subito che ( b ) sup σ(f; ) = f(x, y)dy dx = inf Σ(f; ) (0.2) dove il sup e l inf sono presi su tutte le prtizioni di. E nturle quindi porre:

6 6 CHATER 1. INTEGRALI OI efinizione Il vlore comune in (0.2) verrà chimto integrle doppio di f esteso l dominio ed indicto con il simbolo: f(x, y)dxdy. In ltri termini: f(x, y)dxdy = sup σ(f; ) = f(x, y)dy dx = inf Σ(f; ). Osservzione Usulmente si definisce l integrle doppio su domini piú generli ed usndo prtizioni più generli di quelle uste d noi. Si dimostr prim che il sup e l inf dell formul sopr sono uno stesso e si definisce l integrle doppio come tle numero: f(x, y)dxdy = sup σ(f; ) = inf Σ(f; ). Successivmente, su domini normli, usndo le prtizioni introdotte d noi, si dimostr l formul di riduzione: f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx. Osservzione Un nlog teori vle per funzioni continue su domini normli rispetto ll sse y: se = {(x, y) c y d e γ(y) x δ(y)}, dove γ, δ sono funzioni continue in [c, d], e l funzione f è continu nell insieme, llor si h: f(x, y)dxdy = d c δ(y) f(x, y)dx dy. Osservzione Se R non è normle m si può decomporre nell form R = n k=1 k, con k, k = 1, 2,..., n, domini normli venti in comune l piú punti dell frontier, llor porremo: R f(x, y)dxdy = γ(y) k=1 k f(x, y)dxdy Significto geometrico dell integrle doppio remo come noto o intuitivmente vero il seguente ftto (volume di un cilindro retto): se T è un dominio pino ed l un numero positivo, llor volume(t [0, l]) = l ret

7 questo ftto segue subito che l integrle doppio di un funzione f(x, y) > 0 per ogni (x, y) h un ovvio significto geometrico. etto {(x, y, z) (x, y) e 0 z f(x, y)} il cilindroide dell f reltivo ll insieme, si h: 7 m h=1 n k=1 T h,k [0, m h,k ] {(x, y, z) (x, y) e 0 z f(x, y)} m h=1 n k=1 T h,k [0, M h,k ] e quindi ogni somm inferiore rppresent il volume di un solido contenuto nel cilindroide di f reltivo mentre ogni somm superiore rppresent il volume di un solido che contiene tle cilindroide. Ne segue che tli somme dnno un vlore rispettivmente per difetto e per eccesso del volume del cilindroide e quindi l integrle dell f esteso non puó che dre esttmente il vlore del volume di tle cilindroide. iú in generle, se f, g sono funzioni continue nel dominio pino e si h g(x, y) f(x, y) per ogni (x, y) llor posto T = {(x, y, z) (x, y) e g(x, y) z f(x, y)} si h: volumet = (f(x, y) g(x, y)) dxdy.