Integrali in senso generalizzato

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1 Integrli in senso generlizzto Pol Rubbioni Anlisi Mtemtic II - CdL in Ingegneri Informtic ed Elettronic.. 6/7 Integrzione su domini non itti Definizione. Un funzione continu f : [, + [ R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) su [, + [ se esiste finito il ite ed il vlore del ite si indic con il simbolo f(x) dx f(x) dx ; nlogmente, un funzione continu f : ], b] R si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) su ], b] se esiste finito il ite ed il vlore del ite si indic con il simbolo ω ω f(x) dx f(x) dx. Esempio. L funzione f : ], ] R definit d f(x) = e x, x

2 è G-integrbile. Inftti si h ω ω e x dx = ω [ex ] ω = ( ω eω ) =. Dunque e x dx =. Osservzione. Si noti che, ffinché esist l integrle in senso generlizzto, è necessrio che l funzione integrnd si infinitesim per x +. L esempio che segue è di prticolre interesse. Esempio. Studimo l vrire del prmetro α > l integrbilità in senso generlizzto dell funzione f : [, + [ R, definit d Se α = si h x dx = f(x) = x α, x. quindi l funzione f(x) = non è G-integrbile; x se α si h invece [ ] x x α α ω dx = α [log x]ω = log ω = +, = ω α = α α = { α, α > +, α <. Allor l funzione f(x) = x α, x, è G-integrbile se e solo se α > ed in tl cso x dx = α α. Per lo studio dell G-integrbilità bbimo disposizione i teoremi che seguono. Teorem. (Criterio del confronto) Sino f, g : [, + [ R due funzioni continue ed infinitesime per x +. Supponimo che le due funzioni sino non negtive e che f(x) g(x) per ogni x. Allor: se g è G-integrbile nche f lo è; se f non è G-integrbile, nemmeno g lo è.

3 Dimostrzione. Dlle ipotesi bbimo f(x) g(x), per ogni x ; quindi, per l monotoni dell integrle, si h g(x) dx, per ogni ω. Or, poiché f e g sono non negtive, le corrispondenti funzioni integrli F (ω) = G(ω) = g(x) dx, ω, risultno essere monotone non decrescenti, pertnto f(x) dx = sup ω sup G(x) dx ω g(x) dx. f(x) dx e L tesi segue llor immeditmente. Teorem. (Criterio del confronto sintotico) Sino f, g : [, + [ R due funzioni continue ed infinitesime per x +. Supponimo che le due funzioni sino non negtive e che x + f(x) g(x) = k. Allor f è G-integrbile se e solo se g è G-integrbile. Ovvimente, come ccde per le serie, se un funzione risult G-integrbile dl confronto con un ltr G-integrbile, il vlore numerico dei due integrli potrà essere diverso. Teorem.3 Si f : [, + [ R un funzione continu. Se f è G-integrbile, llor nche f è G-integrbile. Inoltre si h f(x) dx f(x) dx. Osservzione. E fcile vedere che gli integrli in senso generlizzto verificno le proprietà di dditività e linerità. Esempio.3 L funzione f : R R, f(x) = +x, è G-integrbile e si h + x dx = π. Inftti, per l dditività dell integrle e per l simmetri di f è + x dx = = + x dx x dx = dx = + x rctg ω = π. 3 + x dx =

4 Dimo infine un teorem che leg gli integrli che stimo trttndo ll teori sulle serie numeriche. Teorem.4 Si f : [, + [ R un funzione continu, infinitesim per x + e non crescente. Allor l serie + n= f(n) e l successione ( f(x) dx) hnno lo stesso comportmento. n N Inoltre, in cso di convergenz, si h n + + n= f(n) f() + n + f(x) dx. Dimostrzione. Fissimo n N e considerimo l divisione D = {,,..., n} dell intervllo [, n]. Per tle divisione, dll definizione di integrle di Riemnn, si h inf f(]k, k[) k= sup f(]k, k[) ; k= tle stim, essendo l funzione non crescente e continu, si riscrive f(k) k= f(k ) k= ovvero f(k) f() n f(k). k= k= Pssndo or l ite per n che tende + si h l tesi. Integrzione di funzioni non itte Definizione. Un funzione continu f : [, b[ R che si ilitt in prossimità di b, ovvero tle che x b f(x) = + oppure x b f(x) =, si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito il ite ε + ε f(x) dx ; nlogmente, un funzione continu f :], b] R che si ilitt in prossimità di, ovvero tle che x + f(x) = + oppure x + f(x) =, si dice integrbile in senso generlizzto (brevemente, G-integrbile) se esiste finito il ite f(x) dx. ε + ε 4

5 In entrmbi i csi il vlore del ite si indic con il simbolo Esempio. L funzione f : [, [ R definit d f(x) = f(x) dx. x, x [, [ è G-integrbile. Inftti ε ε + x dx = [rcsen x] ε ε + = rcsen ( ε) = π ε +. Dunque x dx = π. Dimo or un esempio di notevole importnz. Esempio. Studimo l vrire del prmetro α > l integrbilità in senso generlizzto dell funzione f : ], ] R, definit d Per α = si h f(x) =, x ], ]. xα dx = ε + ε x [log x] ε + ε = log ε = +, ε + quindi l funzione f(x) = non è integrbile in senso generlizzto neppure in ], ]; x per α si h invece ε + ε [ ] x x α α dx = ε + α ε = = ε + α ε α α = { α, α < +, α >. Possimo llor concludere che l funzione f(x) = x α, x ], ], è G-integrbile se e solo se < α < ed in tl cso x dx = α α. 5

6 Osservzione. Notimo che l esempio precedente studi completmente nche le funzioni f(x) = (x x ) α, x ]x, b], f(x) = (x x) α, x [, x [, sempre per α >. Bst inftti effetture rispettivmente le sostituzioni t = x x e t = x x. Per lo studio dell G-integrbilità delle funzioni non itte si possono dre teoremi nloghi quelli per l G-integrbilità delle funzioni definite su domini non itti. Teorem. (Criterio del confronto) Sino f, g : [, b[ R due funzioni continue ilitte in prossimità di b. Supponimo che le due funzioni sino non negtive e che f(x) g(x) per ogni x [, b[. Allor: se g è G-integrbile nche f lo è; se f non è G-integrbile, nemmeno g lo è. Teorem. (Criterio del confronto sintotico) Sino f, g : [, b[ R due funzioni continue ilitte in prossimità di b. Supponimo che le due funzioni sino non negtive e che x b f(x) g(x) = k. Allor f è G-integrbile se e solo se g è G-integrbile. Teorem.3 Si f : [, b[ R un funzione continu ilitt in prossimità di b. Se f è G- integrbile, llor nche f è G-integrbile. Inoltre si h Esempio.3 L funzione f : ], ] R definit d f(x) dx f(x) dx. f(x) = x sen x, x ], ] è G-integrbile. Inftti f(x) x, x ], ] quindi f è G-integrbile per il criterio del confronto ( x è G-integrbile). Allor f è G-integrbile per il teorem precedente. Fccimo infine osservre che le proprietà di dditività e linerità continuno vlere nche in questo cso. Esempio.4 L funzione f : ], [ R definit d f(x) = x( x), x ], [ 6

7 è integrbile in senso generlizzto nel suo dominio. Osservimo che ess è ilitt si in prossimità di che di, quindi l studimo seprtmente sui due intervlli ], /] e [/, [. Or, f è G-integrbile su ], /] per confronto sintotico con l funzione g(x) = x qundo x +. D ltr prte f è nche G-integrbile su [/, [ per confronto sintotico con l funzione h(x) = x qundo x. Per l dditività dell integrle possimo concludere che f è G-integrbile su ], [. 3 Esercizi 3. Clcolre l integrle log x dx 3. Studire l integrbilità in senso generlizzto delle seguenti funzioni: ) f(x) = x x, x [, [ ) f(x) = sen x x, x [, [ 3) f(x) = + cos x 3 x, x [, [ 4) f(x) = + x, x [, [ x 5) f(x) = e x ( + x ), x 6) f(x) = ( + x ), x 7) f(x) = sen x x, x 8) f(x) = x sen x, x 7