Osservazioni varie su primitive e integrali

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1 vrie Lucino Btti Versione del 5 mrzo 2007 Pg. 1 di 20 In quest not propongo lcune osservzioni reltive lle proprietà delle primitive, degli di Riemnn, degli impropri e delle funzioni, normlmente sprse in diversi cpitoli dei testi di clcolo infinitesimle e che invece mi pre opportuno sintetizzre in un unico documento. L lettur di queste pgine h senso solo dopo ver studito i concetti di integrle e di primitiv, in qunto non vengono fornite tutte le definizioni e proprietà richieste, né proposte dimostrzioni. Potete trovre un complet ed esuriente trttzione di tutti questi concetti nelle seguenti pgine di :

2 htm Pg. 2 di 20

3 1 Primitive 4 2 Integrle di Riemnn 9 3 Integrli impropri 11 4 L funzione integrle 17 5 Il link tr primitive e 19 Pg. 3 di 20

4 1. Primitive Pg. 4 di 20 Dt un funzione rele di vribile rele: f : D R, dove D è un intervllo o un unione di intervlli, si dà l seguente Definizione Primitiv di f è un qulunque funzione F : D R, derivbile e tle che F (x) = f(x), x D. (1) In sostnz l opertore primitiv si present come l inverso dell opertore derivt, nel senso che prtire d un funzione f si deve ricercre un funzione F di cui f si l derivt. Osservzione 1.1. È molto importnte segnlre che l uguglinz contenut nell formul (1) deve vlere per ogni x del dominio D. Per cpire il problem considerimo l esempio che segue. L funzione f(x) = sin x non h sicurmente l funzione F (x) = x come primitiv, eppure l derivt di F (x) è 1, che coincide con il vlore di sin x, nei punti π /2 + 2kπ. Un primitiv di f(x) è invece cos x, l cui derivt coincide con sin x su tutto il suo dominio, ovvero su tutto R. Osservzione 1.2. Si noti che, come conseguenz dell osservzione precedente, non h lcun significto prlre di primitiv di un funzione in un punto (in contrsto con qunto succede per il concetto di derivt): h solo senso prlre di primitiv in un insieme. Osservzione 1.3. Se il dominio dell funzione è un intervllo, due sue primitive diverse differiscono per un costnte (per uno dei corollri del teorem di Lgrnge),

5 ovvero: (f definit in I, intervllo) (F, G primitive di f) F (x) G(x) = c. L cos non è fftto ver se il dominio di f (come succede spessissimo) non è un intervllo, m un unione di intervlli disgiunti. Per rendersi conto del problem si può considerre l funzione f(x) = 1 x. È immedito provre che le due funzioni che seguono: { { ln x + 1 se x > 0 ln x + 3 se x > 0 F (x) =, G(x) = ln( x) + 2 se x < 0 ln( x) 1 se x < 0, sono entrmbe primitive di f, m l loro differenz vle F (x) G(x) = { 2 se x > 0 3 se x < 0, funzione che non è fftto costnte. Osservzione 1.4. Come conseguenz dell osservzione precedente si conclude che, mentre un funzione derivbile h un ben definit derivt, un funzione che bbi primitive ne h sempre infinite. Pg. 5 di 20 Osservzione 1.5. Si us indicre l insieme di tutte le primitive di un funzione f con il simbolo f(x) dx, o nche f dx, o semplicemente f.

6 Pg. 6 di 20 Se F è un primitiv di f si dovrebbe scrivere, pertnto, F f(x) dx ; nei pronturi e negli esercizi si trov scritto, invece, f(x) dx = F (x) + k. L notzione è comod ed è ormi entrt nell uso comune, m bisogn utilizzrl con molt ttenzione, nche ll luce dell osservzione 1.3. Osservzione 1.6. Un funzione che bbi, in un intervllo, un discontinuità slto (di solito discontinuità di prim specie) non può vere primitive sull intervllo. Per esempio l funzione f(x) = sgn(x) = 1 se x < 0 0 se x = 0 1 se x > 0 non può vere primitive nel suo dominio, cioè in R, mentre l funzione g(x) = x x, che è definit per x 0, può vere primitive nel suo dominio, proprio perché il suo dominio non è un intervllo; un primitiv è:, G(x) = { x se x < 0 x se x > 0.

7 Pg. 7 di 20 Osservzione 1.7. Come conseguenz del teorem fondmentle del clcolo integrle si deduce che ogni funzione continu su un intervllo h primitive, m nche funzioni discontinue su intervlli possono vere primitive (ovvimente purché non si trtti di discontinuità slto). Un esempio si può costruire con il rgionmento che segue. Si dt l funzione È fcile provre che si h F (x) = F (x) = f(x) = { { x 2 cos 1 x 2 se x 0 0 se x = 0. 2x cos 1 x x cos 1 x 2 se x 0 0 se x = 0. L funzione F è, per costruzione, un primitiv di f, m f non è continu (in 0), e ddirittur nemmeno limitt in un intorno di 0. Osservzione 1.8 (Molto importnte ll tto prtico). Come è ben noto non tutte le funzioni continue sono derivbili, mentre, come già ricordto, tutte le funzioni continue hnno primitive: l opertore primitiv è meno esigente dell opertore derivt. Dl punto di vist prtico c è però un grosso problem: mentre l derivt di un funzione elementre qulunque è ncor un funzione elementre, lo stesso non ccde per le primitive. Tr gli esempi più fmosi, e storicmente importnti, citimo le funzioni sin x se x 0 f(x) = e x2 e g(x) = x, 1 se x = 0

8 che non hnno primitive elementri. Questo ftto h come conseguenz che, molto spesso, il clcolo delle primitive di un funzione è tecnicmente complesso, se non ddirittur irrisolubile con tecniche elementri. Pg. 8 di 20

9 2. Integrle di Riemnn Pg. 9 di 20 Il concetto di Integrle di Riemnn è, logicmente, profondmente diverso d quello di primitiv. Anche se non intendo or occuprmi dell definizione, ricordo che il problem di cui ci si occup qui è quello dell qudrtur (clcolo di ree) di regioni pine opportune, secondo un ben precis definizione di misur (Peno-Jordn), che estende il concetto di re di figure poligonli introdotto nell geometri euclide. Osservzione 2.1. Il concetto di integrle di Riemnn si introduce solo ed esclusivmente per funzioni definite in un intervllo [, b] chiuso e limitto; limitte nell intervllo [, b]. Si noti, già d qui, un differenz nche tecnic con il concetto di primitiv: un funzione illimitt può trnquillmente vere primitive, vedi oss.1.7, mentre non è sicurmente integrbile secondo Riemnn. Osservzione 2.2. Il simbolo utilizzto per l integrle di Riemnn (detto nche integrle definito) è b f(x) dx, o nche b f dx, o semplicemente Nonostnte l qusi identità di notzioni rispetto ll insieme delle primitive di un funzione, i due simboli hnno significti completmente diversi: f(x) dx rppresent un insieme di funzioni (se l funzione f h primitive!); b f(x) dx rppresent un numero rele (se l funzione f è integrbile!). b f.

10 Osservzione 2.3. Tutte le funzioni continue sono integrbili secondo Riemnn, m nche funzioni nche mpimente discontinue, purchè limitte, sono integrbili: un fmoso teorem (di Vitli e Lebesgue) clssific le funzioni Riemnn-integrbili in relzione ll numerosità dei loro punti di discontinuità; nche se l enuncito preciso di questo teorem esul dgli scopi di quest not, segnlo che un funzione che bbi un numero finito o un infinità numerbile di discontinuità è integrbile secondo Riemnn. Come conseguenz di questo ftto, e l cos riveste un grnde importnz, l integrle di Riemnn non cmbi se si cmbi il vlore di un funzione in un numero finito, o ddirittur in un infinità numerbile di punti: l integrle di Riemnn si preoccup dell ndmento globle di un funzione (limitt) su un intervllo, e non del suo comportmento locle. Pg. 10 di 20

11 3. Integrli impropri L integrle di Riemnn risolve il problem dell misur di insiemi pini in un grnde numero di csi, m non è sufficiente per le ppliczioni, nche in csi di frequente interesse. Solo l teori dell integrzione secondo Lebesgue risult essere pienmente soddisfcente, si dl punto di vist prtico che d quello teorico. Considert comunque l complessità di quest teori, è possibile considerre invece un estensione del concetto di integrle di Riemnn, sufficiente trttre i csi più comuni: si trtt del concetto di integrle improprio, che trtt i csi di funzioni definite su intervlli illimitti, oppure illimitte in prossimità di un numero finito di punti. Per questo si introducono le definizioni che seguono. Comincimo con il cso di funzioni d integrre su intervlli illimitti. Definizione (Integrle improprio su intervlli illimitti) Si f : I = [, + [ R un funzione integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [c, d] contenuto in I. Allor h senso, t I, t f(x) dx. Pg. 11 di 20 Se t lim f(x) dx = l R, t +

12 l funzione si dice integrbile in senso improprio, o generlizzto, in I e si pone + f(x) dx = lim t + t f(x) dx = l Pg. 12 di 20 Anlog definizione se l funzione gode delle stesse proprietà in I =], ], che port ll considerzione dell integrle f(x) dx = lim f(x) dx, u u nell ipotesi che il limite esist finito. Se poi l funzione gode delle stesse proprietà ddirittur in tutto R, llor si può definire l integrle + f(x) dx come somm degli f(x) dx e + f(x) dx, purchè entrmbi gli esistno, ciscuno per proprio conto, finiti, ovvero purché esistno finiti i due limiti t lim f(x) dx e lim f(x) dx. t + u u

13 Considerimo or il cso di funzioni illimitte in prossimità di qulche punto del loro dominio. Definizione (Integrle improprio di funzioni illimitte) Si f : I = [, b] \ {x 0 } R un funzione integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [c, d] contenuto in I. L funzione può nche essere illimitt in un intorno di x 0. Se t e u sono punti di I, con t < x 0 e u > x 0, hnno senso, rispettivmente, gli t f(x) dx, t < x 0 e Se, ciscuno per proprio conto, esistono finiti i limiti lim t x 0 t b u f(x) dx, u > x 0. b f(x) dx e lim u x + 0 u f(x) dx, llor si pone b f(x) dx = lim t x 0 t f(x) dx + b lim f(x) dx u x + 0 u Pg. 13 di 20 Se x 0 coincide con oppure con b, bst considerre uno solo dei due e limiti precedenti. Se invece di un unico punto x 0, ce ne sono un numero finito con le stesse crtteristiche, bsterà spezzre l integrle in corrispondenz di ciscuno dei punti, esttmente come ftto con x 0.

14 Osservzione 3.1. Bisogn prestre prticolre ttenzione l ftto che, in entrmbi i csi considerti, gli impropri + f(x) dx e b f(x) dx Pg. 14 di 20 sono definiti medinte due limiti che vnno clcolti seprtmente e che devono esistere, entrmbi, finiti. A titolo d esempio considerimo l funzione f(x) = x (su tutto R). Per vlutre l integrle improprio + x dx, dobbimo clcolre, seprtmente, 0 t lim x dx e lim x dx. t t + t 0 Il primo limite vle, mentre il secondo vle +, per cui l integrle richiesto non esiste o, come si us dire, diverge. Se vessimo clcolto, invece, lim t t + t x dx, vremmo ottenuto 0, e questo non srebbe stto il vlore dell integrle proposto.

15 Pg. 15 di 20 Come secondo esempio considerimo l funzione g(x) = 1 /x, in [ 1, 1]. Per clcolre l integrle improprio dobbimo clcolre, seprtmente, t lim t x dx, 1 dx x e 1 lim u 0 + t 1 x dx. Anche or il primo limite vle, mentre il secondo vle +, per cui l integrle richiesto non esiste o, come si us dire, diverge. Se vessimo clcolto, invece, t lim 1 1 t 0 + x dx + 1 x dx, 1 vremmo, nche in questo cso, ottenuto zero e, ncor un volt, questo non srebbe stto il vlore dell integrle proposto. Osservzione 3.2. Anche se il significto geometrico dell integrle improprio non è dissimile d quello dell integrle di Riemnn, con l prticolrità ggiuntiv che or si consente l qudrtur nche di regioni illimitte del pino, il concetto di integrle improprio è logicmente diverso, in qunto ottenuto medinte un processo di limite. Un delle proprietà che rendono evidente l differenz è che, nell integrle di Riemnn, se un funzione è integrbile lo è nche il suo modulo, mentre nell integrle improprio succede esttmente l opposto: se il modulo di un funzione è integrbile, llor lo è nche l funzione, m non vicevers. t

16 Osservzione 3.3. Si possono nturlmente considerre situzioni in cui ci sono combinzioni dei due csi qui trttti, ovvero su intervlli illimitti di funzioni illimitte in prossimità di qulche loro punto: bisognerà spezzre opportunmente l integrle nell somm di diversi, ciscuno dei quli dovrà esistere finito. Potete trovre un trttzione più dettglit del concetto di integrle improprio, comprendente l spiegzione del perché l definizione viene dt nel modo indicto, nel fscicoletto Integrli impropri, reperibile in mtemtic/_int_impropri/int_impropri.htm. Pg. 16 di 20

17 4. L funzione integrle Considerimo un funzione f, definit in un insieme D, con l proprietà di essere integrbile, mgri in senso improprio, in ogni sottointervllo di D. Se e x sono punti di D, h llor senso l integrle x f(t) dt, e questo integrle è, un volt che si si fissto, un funzione di x: F (x). Si dà in proposito l seguente Definizione (Funzione integrle) Nelle ipotesi dette per f, l funzione F (x) = x f(t) dt, si chim funzione integrle, di punto inizile, dell funzione f. Pg. 17 di 20 Se l integrle x f(t) dt, è elementrmente clcolbile, llor l funzione F (x) si può esprimere in termini di

18 funzioni elementri. Per esempio si h: F 0 (x) = x sin t dt = [ cos t] x 0 = cos x Pg. 18 di 20 Se però l integrle citto non è elementrmente clcolbile, llor l funzione F (x) non si può esprimere in termini di funzioni elementri. È per esempio il cso seguente: F 0 (x) = x 0 e t2 dt, qundo l funzione ottenut non è elementre. È d tenere presente che l uso dell funzione integrle è uno dei sistemi più importnti per costruire funzioni non elementri. Osservzione 4.1. L esistenz dell funzione integrle F (x) è legt unicmente ll integrbilità, mgri in senso improprio, dell funzione f, nell intervllo [, x], oppure [x, ] (nel cso che l integrbilità di f si intes in senso improprio bisogn prestre l mssim ttenzione; nelle ppliczioni si consider qusi esclusivmente il cso di funzioni integrbili secondo Riemnn). In ogni cso l funzione f può essere mpimente discontinu nel suo dominio. Ebbene è un risultto molto importnte il ftto che l funzione integrle è sempre continu, qulunque si il punto inizile : l funzione integrle è, nell sostnz, più regolre che non l funzione integrnd.

19 5. Il link tr primitive e Pg. 19 di 20 Il risultto crucile di tutt l teori degli, probbilmente uno dei risultti più importnti dell nlisi delle funzioni di un vribile, è il fmoso Teorem fondmentle del clcolo integrle Se un funzione f, definit in D, e dott di funzione integrle F (x), con punto inizile, è continu in un punto x 0 di D, llor l funzione integrle è derivbile in x 0 e si h F (x 0 ) = f(x 0 ). In prticolre, se f è continu in tutto l intervllo I, F (x) è derivbile in tutto I e si h, sempre in tutto I, F (x) = f(x), ovvero F è un primitiv di f. Osservzione 5.1. Il teorem precedente stbilisce un link essenzile tr il concetto di primitiv e quello di integrle definito e, in un certo senso, costituisce un giustificzione dell similrità dei simboli usti nei due csi. Si deve però ricordre che questo link vle solo per funzioni continue. In prticolre: se un funzione è integrbile h sicurmente funzioni, m, se è discontinu, non è detto che bbi primitive, bst considerre l esempio dell funzione f(x) = sgn(x) (vedi oss.1.6); vicevers un funzione può vere primitive senz essere integrbile, come visto in oss.1.7. Osservzione 5.2. Anche considerndo funzioni continue, si deve osservre che, se è vero che ogni funzione integrle è un primitiv, vicevers ci possono essere primitive che non sono funzioni, ovvero l insieme delle primitive è un soprinsieme proprio di quello delle funzioni. Per convincersi di questo bst osservre che un qulunque funzione integrle deve nnullrsi lmeno in un punto (il punto

20 inizile), mentre un funzione può vere primitive sempre diverse d zero; un esempio semplice è costituito dll funzione f(x) = 2x, che h l funzione F (x) = x tr le sue primitive e, come si può vedere bnlmente, F non si nnull mi. Pg. 20 di 20