Integrale di Riemann

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1 II-8 DEFINIZIONE DI II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle 5 4. L funzione integrle Il teorem fondmentle del clcolo Integrle di un f definit trtti Funzione integrle di un f definit trtti L integrle di Riemnn generlizzto 9 5. Integrle generlizzto su intervllo non limitto Criteri di convergenz Soluzioni degli esercizi 4 Definizione di integrle di Riemnn Definizione Si [,] in intervllo chiuso e limitto. Chimimo prtizione di [,] un sottoinsieme finito {,,,..., N, N } di punti di [,] tli che = < <... < N < N =. Indichimo con P[,] l insieme di tutte le possiili prtizioni di [,] (ovvimente sono infinite) N N Definizione Supponimo che in [,] si definit un funzione f : [,] R e che f si limitt. Ad ogni prtizione P = {,,,..., N } di [,] possimo ssocire l somm inferiore s(p) e l somm superiore S(P) di Riemnn, definite d N ( ) s(p) = m i i i i= N ( ) e S(P) = M i i i, i= dove m i = inf f() e M i = sup f(). [ i, i] [ i, i] Si leggno ttentmente le definizioni ppen dte e si riflett sul loro significto: le differenze i i sono le mpiezze dei sottointervlli[ i, i ] individuti dll prtizione e le quntità m i e M i sono rispettivmente gli estremi inferiori e superiori dell funzione in tli sottointervlli. Le figure che seguono illustrno l costruzione di un somm inferiore e di un somm superiore di Riemnn di un funzione, reltive d un prtizione dell intervllo in 5 sottointervlli. È chiro che l insieme {,,..., N, N } è ftto d N + punti e che questi punti, con le crtteristiche richieste, suddividono [, ] in N sottointervlli. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

2 DEFINIZIONE DI Somm inferiore di Riemnn Somm superiore di Riemnn Osservzione Sono rppresentte l somm inferiore e l somm ( superiore ) di un funzione positiv, reltive ll prtizione {,,, 3, 4,}. Si osservi che ( le quntità ) m i i i forniscono l re dei rettngoli inscritti dell figur di sinistr, mentre le quntità M i i i forniscono l re dei rettngoli circoscritti dell figur di destr. Quindi l somm inferiore di Riemnn fornisce l re dell unione di tutti i rettngoli inscritti, reltivi ll dt prtizione, e l somm superiore l re dell unione di tutti i rettngoli circoscritti. Entrme le somme dnno un pprossimzione, un per difetto e l ltr per eccesso, dell re dell regione che st tr l sse e il grfico dell funzione. È chiro che tle pprossimzione è piuttosto scrs se l prtizione è di pochi intervlli. Nell figur qui sotto vengono rffigurte l somm inferiore e l somm superiore di Riemnn dell stess funzione precedente, reltive quest volt d un prtizione dell intervllo in 5 sottointervlli. Somm inferiore di Riemnn Somm superiore di Riemnn Osservzione Qui è chiro che l pprossimzione fornit dlle somme inferiore e superiore è molto migliore. Si definiscono or integrle inferiore f e integrle superiore f di Riemnn di f in [,] rispettivmente f = sup s(p) P P[,] e f = inf P P[,] S(P). Osservzione Quindi l integrle inferiore si ottiene prendendo l estremo superiore dell insieme di tutte le possiili somme inferiori. Invece l integrle superiore si ottiene prendendo l estremo inferiore dell insieme di tutte le possiili somme superiori. Nturlmente nessuno ci grntisce che così fcendo ottenimo l stess quntità, cioè che integrle inferiore e integrle superiore sino uguli. Si consideri nche che lmeno uno dei due potree essere infinito. Si può dimostrre che in generle f Ecco or l conclusione dell definizione: dicimo che f è integrile secondo Riemnn nell intervllo [,] se f = f. In tle cso chimimo integrle di Riemnn di f in [,] il vlore comune degli integrli inferiore e superiore di f e lo indichimo con f. Per distinguerlo dll integrle indefinito, questo viene spesso detto integrle definito. Qundo nell scrittur di f ppre esplicitmente l indiczione dell vriile si us scrivere f()d, come già visto con gli integrli indefiniti. f. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

3 II-8 CONDIZIONI DI ESISTENZA DELL 3 Osservzione Dt l definizione di integrle di Riemnn e lcune considerzioni già ftte, è chiro che l integrle h che fre con l re dell regione di pino sottes dl grfico di f. È ene ricordre che l re è un quntità positiv e che quindi qunto detto è vero solo se l f è non negtiv nell intervllo. Quindi l integrle di un f non negtiv è l re dell regione sottes dl grfico di f (può essere quest un interpretzione geometric dell integrle). Se l f cmi segno, non è vero che l integrle si l re dell regione sottes dl grfico di f. In tli csi si può comunque dire che l integrle è l re con segno di quest regione, intendendo con re con segno l re, eventulmente cmit di segno nelle regioni in cui l funzione è negtiv. Esempi Vedimo un esempio molto semplice in cui possimo clcolre l integrle con l definizione. Considerimo l funzione costnte f() = h, dove h è un numero rele, definit nell intervllo [,]. Prendimo un generic prtizione P dell intervllo [, ] dt dll insieme di punti { =,,, 3,..., N, N = } e costruimo l reltiv somm superiore S(P) = = N ( ) M i i i i= N h ( ) i i i= = h( N N ) = h( N ) = h( ). c Se h è positivo ottenimo l formul dell re del rettngolo di se e ltezz h. Osservimo che il vlore dell somm superiore non dipende dll prtizione scelt. Si vede immeditmente or che nche tutte le somme inferiori sono uguli h( ) e che quindi l funzione è integrile e l integrle vle h( ). Può sorgere l domnd se tutte le funzioni, nell intervllo in cui risultno definite, sino integrili secondo Riemnn in tle intervllo. L rispost è negtiv e qui fornisco un esempio di funzione non integrile. Per certi spetti si trtt di un funzione strn. È l funzione di Dirichlet, già incontrt nell sezione II-5. Si f : [,] R definit d f() = { se Q se / Q. Si può provre che f non è integrile secondo Riemnn. Inftti, per le proprietà dei rzionli e dei reli, si può provre che per ogni prtizione P di [,] si h che s(p) = e S(P) =, per cui f f e quindi f non è integrile secondo Riemnn. L integrilità secondo Riemnn non è quindi un proprietà che tutte le funzioni hnno e si pone il prolem di come poter spere se un funzione si integrile oppure no. Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn Dt l complessità dell definizione, non è fcile cpire se un funzione è integrile secondo Riemnn. Si pone llor l seguente questione: ci sono proprietà di un funzione che ssicurno l su integrilità? L rispost è ffermtiv. Teorem Supponimo che si f : [,] R. Se vle un delle condizioni seguenti: (i) f è continu in [,]; (ii) f è monoton in [,]; A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

4 II-8 3 PROPRIETÀ DELL 4 (iii) f è limitt e h un numero finito di punti di discontinuità in [,], llor f è integrile secondo Riemnn. Osservzione Ridisco che queste condizioni sono singolrmente sufficienti per l integrilità. Ciscun quindi, indipendentemente dlle ltre, grntisce l integrilità secondo Riemnn dell funzione. Osservzione Il teorem permette di ffermre che un grndissim prte delle funzioni, definite in un intervllo, che solitmente incontrimo sono integrili secondo Riemnn. Ad esempio un qulunque polinomio, considerto in un qulunque intervllo [, ], lo è. Tutte le funzioni elementri, considerte in un intervllo [, ] in cui risultno definite, lo sono (sono funzioni continue). 3 Anche l funzione f() =, pur non essendo un funzione elementre, è continu in qulunque intervllo chiuso e limitto e quindi integrile secondo Riemnn in tle intervllo. L funzione { [,) f() = [,] è integrile secondo Riemnn in [,], dto che, pur non essendo continu né monoton, è limitt e h un solo punto di discontinuità. 3 Proprietà dell integrle di Riemnn Teorem Supponimo che [, ] si un intervllo chiuso e limitto e che f, g sino integrili secondo Riemnn in [,]. Allor vlgono le proprietà seguenti: (i) (linerità) se c,c sono due costnti, llor c f +c g sono integrili secondo Riemnn in [,] e si h (ii) (monotoni) se f g, llor (iii) se < c <, llor f (c f +c g) = c f +c g; g; 4 f = c f + c f; (iv) se f() M, llor f M ( ); (v) fg è integrile secondo Riemnn in [,]; (vi) f è integrile secondo Riemnn in [, ] e f f. Osservzione Il punto (vi) ridisce quindi che se f è integrile llor nche f lo è e ggiunge un disuguglinz tr gli integrli. Osservzioni Supponimo che > e che f si integrile secondo Riemnn in [,]. Si intuisce, e non sree difficile dimostrrlo, che se f è dispri, llor f = ; se f è pri, llor f = f. 3 Si fcci ttenzione: l intervllo deve essere chiuso e limitto, lmeno per or. Quindi non possimo dire d esempio che ln in (,) si integrile. 4 Non si confond l monotoni di un funzione con l monotoni dell integrle. Qui si prl di monotoni dell integrle. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

5 II-8 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 5 Quindi, nche se non sppimo ncor come clcolre gli integrli, possimo dire che 3 d =, dto che l funzione 3 è integrile (in qunto monoton, o continu) e dispri, cioè simmetric rispetto ll origine. Possimo nche dire che d = d, m quest ultimo non lo sppimo ncor clcolre. È importnte il seguente Teorem (dell medi integrle). Supponimo che f si continu in [,]. Allor esiste c [,] tle che f(c) = f oppure, nlogmente, f = ( )f(c). Il numero f si chim medi integrle di f in [,]. Osservzione Il teorem h un semplice interpretzione geometric: scrivendo l tesi nell form f = ( )f(c) f(c) vi si legge che l integrle è ugule ll re del rettngolo di se l intervllo [, ] e ltezz f(c). Attenzione che quest interpretzione geometric vle se possimo identificre l integrle con l re, cioè se l f è positiv. c Osservzione L tesi può essere fls in ssenz dell ipotesi di continuità di f. Considerimo l funzione f : [, ] R definit d f() = L medi integrle di f in [,] è { se se <. 3/ f = 3, m non esiste nessun punto c dell intervllo [,] in cui f(c) = 3. Osservzione Un interessnte questione è se l nnullrsi dell integrle comport necessrimente che l funzione si sempre null. Qulche studente forse dirà suito che questo è flso, ricordndo uno degli esempi inizili di clcolo dell integrle con l definizione (lo si cerchi). E noterà che in quell esempio l funzione non er continu. Inftti l continuità è importnte in questo spetto. Si potree dimostrre che, se f è continu e non negtiv in [,] e se f =, llor f è identicmente null in [,]. Per esercizio lo studente verifichi che l conclusione può essere fls se si omette l ipotesi di non negtività di f o quell di continuità. 4 Clcolo dell integrle L definizione di integrle non è comod per il clcolo opertivo degli integrli. Occorre un metodo di clcolo più efficce, e tr poco lo ottenimo. 4. L funzione integrle Si f un funzione integrile nell intervllo [, ]. A prtire d f possimo definire un nuov funzione, che ssoci d ogni [,] l integrle di f tr e, cioè F() = f, per ogni [,]. Se voglimo scrivere esplicitmente nell integrle nche l vriile di integrzione è ene fre in modo di non confondere quest con l vriile dell funzione F, cioè. Si scrive llor F() = f(t)dt, per ogni [,]. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

6 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 6 L si ved così: per ogni fissto in [,], t vri tr e ed è l vriile di integrzione. Quest nuov funzione F si chim funzione integrle di f in [,] ed è un funzione molto importnte. L figur qui sopr illustr che il vlore dell funzione integrle in (di un funzione non negtiv) è l re sottes dl grfico tr e, l vrire di. Osservzione Si può dimostrre che l funzione integrle F di un funzione integrile f è un funzione continu (nell intervllo in cui è definit). Quindi, nche se f non è continu, l su funzione integrle lo è. Si potree dire che l funzione integrle è più regolre dell funzione d cui proviene. Quest prticolrità dell funzione integrle è confermt nche dl seguente importntissimo teorem. 4. Il teorem fondmentle del clcolo Teorem (fondmentle del clcolo). Supponimo che f si integrile in [, ] e che F si l su funzione integrle. Vlgono le proprietà seguenti: (i) se f è continu in [,], llor F è derivile e F = f in [,]; (ii) se f è continu in [,] e G è un qulunque primitiv di f in [,], llor f = G() G(). Osservzione Il punto (i) del teorem fferm quindi che se f è continu llor l su funzione integrle è un su primitiv. L funzione costruit con l integrle di f è un funzione che h per derivt f (legme profondo tr derivt e integrle). Il punto (ii) del teorem fondmentle fornisce invece un comodo metodo per il clcolo dell integrle di Riemnn f()d. Dice inftti che, se conoscimo un primitiv G di f in [,], llor l integrle è dto d G() G(). È chiro che l prte difficile st nel clcolo dell primitiv che, imo visto, può non essere nle. Osservzione Nel clcolo dell integrle f()d, dopo ver trovto un primitiv G di f, per indicre che si pplic il teorem fondmentle e si clcol l vrizione dell primitiv gli estremi dell intervllo, si scrive f()d = G(), che st d indicre ppunto G() G(). Vedimo llor qulche esempio di clcolo di integrle definito. Esempi Clcolimo d. Si h d = 3 3 = ( 3 ) = Clcolimo 3 d. Si h 3 d = /3 d = 4/3 4/3 5 Per qunto detto in precedenz sugli integrli di funzioni pri o dispri, si potev nche fre d = d = 3 3 = 3. = 3 4. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

7 4 CALCOLO DELL INTEGRALE 7 Clcolimo e lnd. Si h (ricordo che l integrzione di ln si f per prti) e lnd = (ln ) e =. Clcolimo e d. Ricordndo che e d = ( )e d = e +c, si h e d = e =. Il risultto er prevediile, dto che l funzione è dispri e l intervllo è simmetrico rispetto ll origine. Esempio Per concludere quest sezione vedimo come si può ottenere l espressione di un funzione integrle. 6 Considerimo ncor l funzionef() = e nell intervllo[,]. Trovimo l espressione dell funzione integrle di f in tle intervllo. Dll definizione di funzione integrle imo F() = te t dt = ( )te t dt = e t = ( e e ). A verific del teorem fondmentle, possimo osservre che clcolndo l derivt di F ottenimo F () = e ( ) = e = f(). Non pprofondisco questo spetto, m per evitre che qulche studente perd inutilmente del tempo nel clcolo di qulche integrle (tlvolt per fre qulche esercizio in più ci si invent un funzione e si prov d integrrl) vverto che ci sono funzioni che non si possono integrre. Chirisco il significto: ci sono funzioni che non hnno primitive elementri. Ogni funzione continu h primitive, in conseguenz del teorem fondmentle del clcolo: se f è continu in [,] llor F() = f è un primitiv di f. Non è detto però che se f è un composizione di funzioni elementri tle primitiv si ncor un funzione esprimiile ttrverso funzioni elementri. Ci sono funzioni elementri per cui si può dimostrre che l primitiv non è elementre. Tr queste l più fmos è f() = e. 7 Quindi possimo certmente dire che F() = e t dt è un primitiv di e in tutto R, m non possimo esprimere F medinte funzioni elementri (per esprimerl non possimo fre meno di usre l integrle o ltre forme ncor più complicte e comunque non elementri). Esercizio 4. () (c) (e) (g) (i) (k) e 3 Clcolre i seguenti integrli di Riemnn. d () 7/ e d (d) 3 d (f) d lnd (+) d (h) (j) (l) / 4 e d + d e d ln d + d ( ) d 6 Per chirire il significto di questo fccio osservre che con espressione dell funzione integrle si potree senz ltro intendere l espressione fornit dll definizione stess di funzione integrle, cioè f(t)dt. Però quest è un espressione che coinvolge l integrle e quindi esprime l F() in un modo che non è l composizione di funzioni elementri. Allor l dicitur corrett potree essere: vedimo come ottenere l espressione di un funzione integrle in termini di funzioni elementri. 7 Nemmeno e h primitive elementri, m quell col meno è più fmos, essendo un funzione fondmentle nell teori dell proilità. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

8 II-8 4 CALCOLO DELL INTEGRALE Integrle di un f definit trtti Se doimo clcolre l integrle di un funzione definit trtti st utilizzre l proprietà (iii) dell integrle di Riemnn, quell che fferm che se ho un prtizione dell intervllo di integrzione, il clcolo dell integrle può essere scomposto nell somm di più integrli, ciscuno dei quli su di un sottointervllo dell prtizione. Vedimo llor come si procede in un pio di semplici esempi. Se doimo clcolre d, doimo nzitutto osservre che l funzione cmi segno nell intervllo di integrzione e quindi (dll definizione di vlore ssoluto) si h { f() = se (,] [,+ ) se (,). Pertnto, usndo l proprietà (iii) dell integrle, possimo scrivere d = ( )d+ ( )d ( ) = 3 ( ) = ( ) ( 3 ) =. Se doimo clcolre l integrle in [, ] dell funzione f() = + < <, (lo studente dic perché quest funzione è integrile) possimo scrivere y y f()d = = = 3. (+)d+ ( ) + ( )d+ Un utile esercizio è verificre il risultto utilizzndo il grfico di f e clcolndo con l geometri elementre le ree dei tringoli/qudrti individuti nell figur. + d Osservzione Si potree dimostrre rigorosmente, m mi limito d enuncire quest semplice ed intuitiv questione: il vlore dell integrle non dipende di singoli vlori che l funzione ssume in qulche punto (dicimo in un numero finito di punti). Ad esempio, nel cso ppen visto dell funzione definit trtti, noi potremmo cmire il vlore di f in e in, cioè gli estremi degli intervlli, senz modificre con questo il vlore dell integrle. E forse si intuisce nche che frlo in due punti o in mille non f differenz, il vlore dell integrle resteree sempre lo stesso. Divers è l questione se cmimo il vlore di f in un numero infinito di punti, m qui non vdo oltre. 4.4 Funzione integrle di un f definit trtti Nel corso di Sttistic gli studenti incontrernno nche questo prolem: scrivere l espressione di un funzione integrle di un funzione definit trtti. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

9 II-8 5 L GENERALIZZATO 9 Il prolem è per molti spetti simile quello ppen incontrto, con l piccol difficoltà ggiuntiv dovut ll presenz dell vriile. Considerimo d esempio l funzione f() = < <. Quest funzione è integrile nell intervllo [, ] (lo studente dic perché) e quindi possimo scrivere l funzione integrle di f in tle intervllo, che per definizione è F() = f(t)dt. Evidentemente è un prolem nlogo quello già incontrto poco f qundo imo trovto l espressione di un funzione integrle. L unic differenz è che or l f è definit trtti e quindi non imo un unic espressione di f, m in questo cso tre espressioni distinte, ciscun vlid in un certo intervllo. Allor doimo distinguere tutti i csi possiili circ l posizione dell, che può stre nel primo ([, ]), nel secondo ((,]) o nel terzo intervllo ((, ]). Quindi imo: y se [, ] se (,] F() = F() = f(t)dt = f(t)dt = dt = ; dt+ = ( t)dt t = + ; se infine (,] F() = f(t)dt = dt+ Quindi rissumendo possimo scrivere F() = ( t)dt+ dt = t se + se < + se <. +t = +. Nelle due figure qui sotto ho riportto nuovmente sinistr il grfico di f e destr quello di F. y y 3/ / Osservzione Il grfico di F rende evidente un proprietà (perltro già individuile nell espressione di F()) e cioè l continuità di F nell intervllo considerto. Si noti che invece f non è continu. Questo non deve sorprendere: ho già prlto in precedenz di quest proprietà: se f è integrile, llor F è continu. Lo studente ttento noterà questo punto che F non è invece derivile (in e in ), e si intuisce che ciò dipende dll non continuità dell f. Osservzione Metto quindi in gurdi lo studente su questo punto: se, in un esercizio nlogo l precedente, ll fine dei clcoli ottenimo un funzione integrle che non è continu, imo sicurmente commesso un errore. 5 L integrle di Riemnn generlizzto L integrle di Riemnn richiede, come imo visto, che l funzione si limitt in un intervllo limitto. Nel cso cdno queste ipotesi, si prl di integrle di Riemnn generlizzto. Esistono quindi due possiili situzioni d considerre tle proposito: funzione non limitt o intervllo non limitto. Mi limito d illustrre soltnto l situzione dell intervllo non limitto, perché quest è l tipologi di integrle generlizzto che gli studenti utilizzernno nel corso di Sttistic. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

10 5 L GENERALIZZATO 5. Integrle generlizzto su intervllo non limitto Definizione Si f : [, + ) R e si f continu in [, + ). Dicimo che f è integrile in senso generlizzto in [, + ) Se lim + integrle generlizzto di f in [,+ ) il numero rele f = lim + f (figur sotto sinistr). f esiste finito. In tl cso chimimo Anlogmente, se f : (,] R ed f è continu in (,], dicimo che f è integrile in senso generlizzto in (, ] se lim f esiste finito. In tl cso chimimo integrle generlizzto di f in (,] il numero rele f = lim f (figur l centro). Infine dicimo che f : R R è integrile in senso generlizzto in (,+ ) (in R) se f è integrile in senso generlizzto in (,] e in [,+ ). Chimimo integrle di f in (,+ ) (in R) il numero rele f = f + f (figur destr). Si fcci ttenzione che quindi entrmi gli integrli destr dell ugule devono essere finiti. Se un funzione f è integrile in senso generlizzto in qulche intervllo, si dice nche che il corrispondente integrle generlizzto converge. Altrimenti dicimo che l integrle generlizzto diverge. Le figure qui sopr illustrno che, se f, il suo integrle generlizzto è l re dell regione (or non limitt) sottes dl grfico di f. Quest re può essere finit (se l integrle converge) oppure infinit (se l integrle diverge). Dll definizione di integrle generlizzto e dll linerità dell integrle di Riemnn, si deduce l proprietà seguente: se f e g sono integrili in senso generlizzto in [,+ ) lo stesso vle per c f +c g, e si h (c f +c g) = c f +c g Vle inoltre l seguente importnte proprietà: (nlogmente se l intervllo è (,] o (,+ )). se f è continu in [,+ ) e se f è integrile in senso generlizzto in [,+ ), 8 llor nche f lo è e f f. Esempio L funzione e è integrile in senso generlizzto in [,+ ) e Inftti, e d = lim + e d ( e ) (teorem fond. clcolo) = lim + ( = lim e ) + =. 8 Enunciti nloghi si hnno nturlmente per funzioni definite in intervlli del tipo (,] o (,+ ). e d =. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

11 5 L GENERALIZZATO Si verifichi che invece non è finito e d. Esempio Considerimo l integrle di un funzione potenz, in prticolre considerimo distinguendo i vri csi. Se α =, si h Se α, imo d = lim + d (teorem fond. clcolo) = lim ln + = lim ln + α d = = +. lim + (teorem fond. clcolo) = lim + = α d α+ α+ ( α ). α lim + 9 d con α >, α Il limite è infinito se < α < ed è invece finito se α >. Quindi, rissumendo, l integrle converge se α > e diverge se < α. Ad esempio, d converge, dto che α = >. Invece d e d non convergono, dto che in entrmi α. 5. Criteri di convergenz Lo studio dell integrilità in senso generlizzto di un funzione ttrverso l definizione, cioè ttrverso il clcolo del limite dell integrle, risult tlvolt imprticile, perché richiede il clcolo di un primitiv dell funzione, cos non sempre possiile. Sono utili llor criteri che permettno di stilire l convergenz dell integrle generlizzto senz dover clcolre un primitiv. In quest sezione presento lcuni criteri di convergenz per integrli generlizzti. Per revità enuncio i criteri reltivi gli integrli generlizzti del tipo f; criteri nloghi vlgono per integrli del tipo f. Criteri del confronto. Sino f,g funzioni continue in [,+ ), vlori non negtivi. Vlgono le ffermzioni seguenti: (i) se f g, e g è integrile in senso generlizzto in [, + ), llor nche f è integrile in senso generlizzto in [,+ ); (ii) se f g, e g non è integrile in senso generlizzto in [,+ ), llor nemmeno f è integrile in senso generlizzto in [, + ); (iii) se f() è trscurile rispetto g(), per +, e g è integrile in senso generlizzto in [,+ ), llor nche f è integrile in senso generlizzto in [,+ ); (iv) se f() h lo stesso ordine di grndezz di g(), per +, llor f e g hnno lo stesso crttere, cioè un è integrile se e solo se è integrile l ltr. 9 Si noti che il cso più significtivo è quello di un funzione potenz che tend zero qundo +, e quindi il modello più rgionevole è ppunto α con α >. Se l potenz tende ll infinito l integrle non può convergere. Per ricordre più fcilmente il risultto: l integrle converge se l potenz per + tende zero rpidmente, quindi con α >. f() Ricordo che signific che lim + g() =. f() Ricordo che l scrittur signific che lim + esiste finito e diverso d zero. g() A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

12 5 L GENERALIZZATO Osservzione Si fcci ttenzione che i criteri si pplicno, come detto, funzioni vlori non negtivi. Osservzione Si noti che, se vessimo il cso di f() equivlente g(), per +, e ricordo che signific che f() =, llor si ricde nel cso (iv). g() lim + Osservzione In reltà (iii) e (iv) sono conseguenze di (i). Questo perché (punto (iii)), se f() è trscurile rispetto g() per +, llor f è definitivmente minore o ugule g, 3 I criteri presentti hnno utili conseguenze (confronti con le potenze). Supponimo che f si continu e positiv in [,+ ). Corollrio Se f() è trscurile rispetto α, per + e α >, llor f è integrile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (iii) e del ftto che, essendo α >, / α è integrile. Corollrio Se è trscurile rispetto f(), per + e α, α llor f non è integrile in senso generlizzto in [,+ ). È conseguenz dell (ii) e del ftto che, essendo α, / α non è integrile. Corollrio Se f() è dello stesso ordine di grndezz di α, per +, e α >, llor f è integrile in senso generlizzto in [,+ ); è conseguenz dell (iv) e del ftto che, essendo α >, / α è integrile. Qundo invece l relzione vle con α, llor f non è integrile in senso generlizzto in [,+ ). Osservzione Si fcci ttenzione. Se per un cert funzione f imo che f() è dello stesso ordine di grndezz di / α per +, possimo sempre stilire se l funzione f è integrile in senso generlizzto oppure no. Se imo invece che f() è trscurile rispetto / α per +, possimo concludere solo se α >. Quindi, d esempio, se trovo che f() è trscurile rispetto / per +, non posso concludere null sull integrilità di f. 4 Esempi ln Considerimo 3 d.5 Dopo ver osservto che l funzione integrnd è continu e non negtiv nell intervllo di integrzione, ricordndo che ln per ogni >, possimo dire che ln 3 = 3. Quindi, essendo / integrile in senso generlizzto in [,+ ), per l (i) dei Criteri del confronto il nostro integrle converge. Considerimo l integrle d. Questo non si può clcolre con l definizione in qunto ln ln è un delle funzioni che non hnno primitiv elementre. L integrle non converge. Inftti in [, + ) l funzione è continu e positiv, si h ln, e quindi ln. Dto che / non è integrile in senso generlizzto in [,+ ), dll (ii) dei Criteri del confronto segue llor che nemmeno f() = ln è integrile in senso generlizzto in [,+ ). Considerimo e d. 6 3 Ricordo che definitivmente signific d un certo punto in poi. Quindi dire che un proprietà vle definitivmente vuol dire che non vle dppertutto m vle d un certo punto (vlore rele) in poi. 4 Si considerino d esempio le due funzioni f () = / e f () = /(ln) nell intervllo [,+ ). Entrme sono o(/), per +. L prim è integrile in senso generlizzto in [,+ ), l second no. 5 Per l verità questo integrle si potree clcolre nche con l definizione, dto che di quest funzione simo in grdo di trovre un primitiv (lo studente provi per esercizio: il risultto è 4 ). 6 Anche questo integrle si potree clcolre con l definizione, dto che simo in grdo di trovre un primitiv dell funzione (lo studente provi per esercizio: il risultto è ). A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

13 5 L GENERALIZZATO 3 L funzione f() = e è continu e non negtiv nell intervllo considerto. Confrontndo f() con / possimo osservre che f() 3 lim + / = lim + e = (confronto stndrd). Pertnto f() è trscurile rispetto /, per +. Dll integrilità di / in [,+ ), per l (iii) dei Criteri del confronto, llor nche f è integrile in senso generlizzto in [,+ ), e quindi in [,+ ). +ln +ln L integrle 3 +ln 3 d converge. Inftti, f() = è continu e non negtiv in [,+ ) e, trscurndo i logritmi, f() risult equivlente 3 +ln 3, cioè equivlente 3, per +. Quindi, dto che / è integrile in senso generlizzto in [,+ ), nche f lo è (per l (iv)). Considerimo e d e si trtt di un esempio importnte (fondmentle nell teori dell proilità). L funzione f() = e non h primitive elementri, cioè le sue primitive non si possono esprimere ttrverso funzioni elementri o loro composizioni. Quindi non simo in grdo di clcolre l integrle con l definizione. Possimo però provre che l integrle in questione è finito, cioè che f è integrile in senso generlizzto in (,+ ). Vedimo perché. Si trtt di un funzione continu in tutto R, positiv e pri (simmetric rispetto ll sse y). Possimo considerrl nell intervllo [, + ). Possimo or osservre che e lim + / = lim + e t = lim t + e t = (confronto stndrd). Pertnto e è trscurile rispetto /, per +. Dto che l funzione / è integrile in senso generlizzto in [, + ), per i Criteri del confronto nche f è integrile in senso generlizzto in [, + ), e quindi è integrile in senso generlizzto in [,+ ), dto che tr e l integrle è certmente finito. Dll simmetri segue che nche l integrle generlizzto in (, ] esiste (ed è ugule quello in [, + )). Quindi f() = e è integrile in senso generlizzto in (,+ ). È un funzione (e un integrle) ssolutmente fondmentle nel clcolo delle proilità (li incontrerete nuovmente nel corso di Sttistic). Si può dimostrre che e d = π. Osservzione Fccio nuovmente osservre che con i Criteri del confronto possimo studire l integrilità in senso generlizzto di funzioni di cui non simo in grdo di trovre un primitiv. 7 Osservzione Se f è un funzione integrile in senso generlizzto, è possiile scrivere l su funzione integrle con primo estremo, cioè l funzione F() = f(t)dt. Ad ess è pplicile il teorem fondmentle del clcolo integrle, che grntisce, nel cso f si continu, l derivilità di F e l uguglinz F () = f(). Ritroverete nche quest prticolre situzione nel corso di Sttistic. Per gli scopi del clcolo delle proilità è d esempio importnte l funzione e t dt. Qui l ppliczione del teorem fondmentle port dire fcilmente che quest funzione è monoton crescente. Inoltre ess è positiv e limitt. Le due figure qui sotto illustrno f() = e e l su funzione integrlef() = e t dt. 7 È chiro che, in questi csi, con i criteri di confronto si può dire solo se l integrle è finito o infinito. Per clcolrlo, qundo converge, occorrono ltre tecniche. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

14 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 4 f F π π Esercizio 5. () (c) Esercizio 5. () (c) (e) (g) e d Clcolre i seguenti integrli generlizzti, utilizzndo l definizione. e d () (d) 4 d ln d Stilire se i seguenti integrli generlizzti convergono, utilizzndo i criteri di convergenz d + d +e d d + (h) 6 Soluzioni degli esercizi () (d) (f) d 3 ++ d +e e d d Esercizio 4. () d. Si h 3/ d = = 3/ 3. () 7/ 3 + d. Si h 7/ 3 + d = (+) /3 /3 7/ = 3 4 (8/3 ) = 9 4. (c) e d. Si h e d = e = /e. (d) / + d. Si h / + d = ln(+) / = 8 ln. (e) d. Si h d = d = 4 ln(+4 ) = 4 ln. 8 Il vlore ssoluto qui si può omettere dto che l rgomento è positivo nell intervllo di integrzione. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

15 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 5 (f) 4 e d. Si h 4 e 4 d = e d = e 4 = e(e ). L integrle è stto risolto riconducendolo d un integrle immedito del tipo e f Df. Si potev nche risolverlo con un cmio di vriile. A tle proposito, ricordo che un uon procedur è l seguente: risolvere nzitutto l integrle indefinito, operndo il cmio di vriile. Un volt trovt l primitiv, clcolre l integrle definito. Alterntivmente si può nche operre il cmio di vriile sull integrle definito, m in questo cso occorre ricordrsi di cmire nche gli estremi di integrzione. Ad esempio, nell integrle in questione, questo secondo modo di procedere porteree scrivere (con l sostituzione = t, d cui = t e quindi d = tdt) (g) 4 e e t d = t tdt = e t dt = e t Così fcendo non c è ovvimente l necessità di tornre ll vriile. + 3 d. Si h + 3 d = d = (+ 3 ) 3/ 3 3/ = (e e). = 9 ( ). (h) (i) e e Quindi ln d. lnd. Si h e ln d = e (ln) / d = (ln)3/ 3/ e = 3. Qui serve prim un integrzione per prti per risolvere l integrle indefinito. lnd = ln = 3 3 ln 3 9 +c = 9 3 (3ln )+c. e ( lnd = 9 3 (3ln ) e = 9 (e3 +). (j) (k) d. L integrle si riconduce fcilmente d un integrle immedito: + 3 (+) d. 3 Si h + d = (+) d = + 3 (+) d = 3 + d = ln(+ ) = ln 5. ( ) ( d = ln ln = ln ln3. 9 (l) 3 ( ) d. Anche qui si può rrivre ll soluzione con il solito trucco di ggiungere e togliere: ( ) = + ( ) = ( ) + ( ). 9 Si noti che in questo cso non si può omettere il vlore ssoluto nelle primitive, poiché l funzione è negtiv nell intervllo di integrzione. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

16 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 6 Or si può scomporre il primo termine nuovmente con l ggiungere e togliere e si ottiene Pertnto 3 ( ) d = 3 ( ) = + ( ) + ( ) = + ( ). ( ) ( + ( ) d = ln ln 3 = ln3 ln+/. Esercizio 5. () e d. Si h e d = lim e d = lim e = lim ( e ) =. () (c) 4 d. e d. Si h 4 Si h d = lim d = lim = lim ( 4) = e d = = lim = lim e d+ e d e d+ lim + ( /e + lim + e d ( /e = / lim ( e ) / lim + (e ) =. (d) ln d. Si noti che l funzione è continu in tutto l intervllo di integrzione. Quindi l integrle diverge. d = lim d = lim ln + ln lnln = lim ( ) lnln lnln = Esercizio 5. () 3 ++ d. L funzione è continu e positiv in [,+ ). Trscurndo denomintore + rispetto d 3 possimo dire che 3 ++ è equivlente 3, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / 3 è integrile ll infinito, l integrle dto converge. Si noti che l funzione è dispri. Attenzione! Non è vero in generle che l integrle generlizzto di un funzione dispri è sempre, in qunto l integrle potree non essere finito. È vero però che, se un funzione dispri è integrile in senso generlizzto, llor l integrle è zero. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz

17 6 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 7 () (c) (d) d. L funzione è continu e positiv in [,+ ). Trscurndo tutte le quntità trscurili possimo dire che è equivlente ++ 3 =, per +. Quindi per il criterio del confronto, dto che l funzione / non è integrile ll infinito, l integrle dto non converge. + d. Funzione continu e positiv nell intervllo di integrzione. Trscurndo l rdice imo che Quindi l integrle converge d. + è equivlente, per +. Funzione continu e positiv nell intervllo di integrzione. Trscurndo, sotto rdice, + rispetto d, possimo dire che 3 ++ è equivlente /3, per +. Dto che 3 < l integrle diverge. +e (e) d. L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e, trscurndo l esponenzile (che tende zero per + ), possimo dire che +e è equivlente, per +. Quindi l integrle dto diverge. (f) (g) (h) +e d. Trscurndo l esponenzile imo che Quindi l integrle dto converge. +e è equivlente, per +. d. + L funzione è positiv nell intervllo di integrzione e, trscurndo l esponenzile, imo che Quindi l integrle dto converge. e d. + è equivlente, per +. Possimo osservre che l funzione è pri. Allor considerimo funzione /. Si h e 4 t lim + / = lim = lim + e t + e t =. e d. Fccimo un confronto con l Quindi imo che e è trscurile rispetto /, per +. Allor per il criterio del confronto l integrle dto converge. A. Peretti Corso di Mtemtic UNIVR Sede di Vicenz