Analisi Matematica 1, Informatica Università di Cagliari, 2006/2007 Esercizi e domande relativi al secondo parziale.

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1 Anlisi Mtemtic, Informtic Università di Cgliri, 006/007 Esercizi e domnde reltivi l secondo przile Formul di Tylor Richimi sull formul di Tylor: f e n volte derivbile in ], b[ e 0 ], b[ si h: n f (k) ( 0 ) f() = ( 0 ) k + R n () k! dove il resto n -esimo R n ) soddisf (il resto di Peno). Il polinomio T n () = R n () = o(( 0 ) n ) n f (k) ( 0 ) ( 0 ) k k! si chim il polinomio di Tylor. Se 0 = 0: l formul di McLuren. Formule di Tylor (McLurin) per funzioni elementri e = n k k! + o(n ) sin = n ( ) k k+ (k + )! + o( n+ ) Osservzione domnd: tenendo conto del ftto che sin e dispri e sin C, il resto e O( n+ ). cos = n ( ) k k + o( n ) (k)! Osservzione domnd: tenendo conto del ftto che cos e dispri e cos C, il resto e O( n+ ). ln( + ) = n ( ) k k k= k + o( n ) Scrivere l fromul di Tylor e clcolre T n per f in 0, dove

2 ) f() = sin(+), 0 = /, n =. Soluzione: Due pprocci, il primo e semplicemente pplicre le formule, il secondo consiste nell osservzione che posto t = + bbimo t 0 = 0 + = 0 e si h sin t = t t 6 + o(t ) = + ( + ) 6 + o(( + ) ) ) f() = cos(), 0 = π, n =. Cenni sull soluzione: prte il clcolo diretto, potete fre con meno clcoli osservndo che cos() = cos(( π) + π) = cos(( π)), ponendo t = e usndo che cos t = + t + o(t ). f() = 7, 0 = 6/7, n =. Cenni sull soluzione: si h (verificre) f( 6/7) =, f ( 6/7) = 7, f ( 6/7) = quindi T () = 7 7 ( ) ( ). 4. f() = rctg (), = /, n =. 5. f() = sin(π), 0 =, n =. Soluzione: Si h f () = sin(π) ( sin(π) f () = sin(π) ( sin(π) ( π cos(π) sin(π) + sin(π) + π cos(π) ln ) + π cos(π) ln ) π sin(π) ln + π cos(π) quindi f() =, f () = 0, f () = π e T () = π( ). Controllte!!! Integrli indefiniti ), Ricordimo che f() d = g() + C se g () = f(). L funzione g() si chim primitiv di f(). Integrli indefiniti del tipo f( + b) d = g( + b) + C dove g (y) = f(y) oppure usndo df() = f ()d si puo scrivere f( + b) d = f( + b) d( + b) =...

3 . (Integrli qusi immediti) Clcolre ) (cos( 4) ) d b) (sin() ) d c) cos( 7)d 4 d) (5 ) 5d. Soluzione: Si h 4 (5 ) 5d = 8 (5 ) 5 d(5 ) = (5 ) 4 + C e) 4 + d. Soluzione: Si h 4 + d = 4 + (/) d = + (/) d( ) = rctg ( ) + C Integrli definiti (di Riemnn) Richimi sull definzione dell integrle definito (di Riemnn) b f(t)dt, il suo significto geometrico, i teoremi notevoli (teorem dell medi, teorem fondmentle del clcolo integrle).. Esercizi-domnde del tipo teorico: ennuncire (ed eventulmente illustre geometricmente) il teorem dell medi, il teorem fondmentle del clcolo integrle. Oppure l formul per l re dell figur delimitt dl Γ f e Γ g (l notzione per il grfico di f o g) se f() g() per [, b].. Esercizi del tipo clcolre b f()d dove f()...: in sostnz, si trtt (certmente, si suppone che si un buon pdronnz dei teoremi e metdoi, cf. il punto precedente). In sintesi: per clcolre l integrle definito, bst trovre un primitiv (cioe risolvere l integrle indefinito) e poi clcolre l incremento di un (qulsisi) primitiv nell intervllo [, b]. A titolo di esempio: esercizi di livello integrli qusi immediti : /7+π/4 /7 π/ sin( 7) d = [ 7 cos( 7)]/7+π/4 /7 π/ = 7 cos( π ) 7 cos(π ) = 4 Controllte!!!

4 Altri essercizi su integrli definiti ppiono piu vnti.. Esercizi del tipo: trovre l re dell regione Ω delimitt d i) il grfico di f() = e e l intervllo [ ln( 7), 0]. Soluzione: si trov (osservimo che ln( 7) = ln 7) quindi, l re = 0 Ω = {(, y) : 0 y e, 0 ln 7]} ln( 7) e d = [ e ]0 ln( 5) = + eln 7 =. Controllte!!! ii) y = ( + ) e y = + 4. Soluzione: si trov quindi, l re = 4 Controllte!!! Ω = {(, y) : ( + ) y ( + ), 4 } ( ( + ) ( + ))d = [ ( + ) ( + ) ] 4 = = 4 Esercizi su integrli (indefiniti, definiti) medinte diversi metodi Clcolre gli integrli 0 ) d: Soluzione: Poiche = ( )( + 7) l funzione e continu in [ 6, 0] (N.B. considerzione importnte, per poter procedere con il clcolo dell integrle di Riemnn, ltrimenti non h senso di prltre di integrle b scompone frtti semplici se, per esempio, f non e limitt in [, b]). si = A + B + 7 Si trov A =, B = e quindi d = ln + ln C = ln( ( )( + 7) ) + C. Concludimo: d = [ ln( ( )( + 7) )]0 6 = ln 7.

5 Controllte!!! ) 5 d Cenni sull soluzione: prim si osserv che + + = + ( + )( + ). + ) d. Soluzione: poiche = ( + ) + 6 (irreducibile) si h d = ( + ) 6 + ( + ) d = ( + ) 6 + ( + ) d Controllte!!! 4) ( )e d. 5) 6) 7) 8) ( + )e d. cos(7) d. ( ) sin( ) d. 6 + ( + ) d = ln(6+(+) ) + rctg ( 4 4 )+C. ln( + ) d. Soluzione: L integrzione per prti implic: ln( + ) d = ln( + ) d( ) = ln( + ) Concludimo osservndo che (clcoli elementri) ( + ) = ( + ) + ( + ), e medinte integrli immediti ottenimo ( + ) d = 4 ( + ) + ln( + ) + C, quindi l rispost e (dopo semplificzioni) : ln( + ) d = + ln( + ) + 4 ( + ) + C. ( + ) d.

6 Controllte!!! Osservzione: Non bbimo scritto ln + come un primitiv poiche gi ll inizio e stto scritto ln( + ), cioe deve essere vlid l disequzione >. 8) d. Suggerimento: usre l sostituzione t = tg () oppure prim sin(4 ξ = 4 e poi t = tg ( ξ ) 9) 7 cos d. 0) + e d. Soluzione: ponimo η = + e. Quindi = ln(η ), d = η η dη e ottenimo + e d = = dη + η dη η η dη η dη = η + ln η + η + + C e ll fine, sostituzione di η con + e. Controllte!!! Integrli impropri (generlizzti) Richimi sulle definzioni di integrli impropri (due tipi), il significto geometrico, criteri per l esistenz (nonesistenz).. Esercizi-domnde del tipo teorico: ennuncire criteri per integrli impropri (generlizzti), l esistenz o l nonesistenz di + αd, 0 αd, ( ) αd, vrindo α > 0. Studire gli integrli impropri e clcolre nel cso di esistenz: ) + ( 5) d. Soluzione: Si h N ( 5) d = [ ( 5) ]N = (N 5).

7 b) c) d) e) f) + / 9/ / 5 d. + /4d. ( + )e d. e d. + d.. Esercizi del tipo: studire se l re dell regione Ω nonlimitt e finit, e se si, clcolrl, dove ) Ω e definit dl grfico di f() = ( + ), > 0. b) Ω e definit dl grfico di f() = ( + ) /, ]0, ]. Cenni sull soluzione: si h ( + ) / = / + /, quindi per l re si h = 0 / d + 0 d il primo integrle e definito mentre il secondo e improprio m esiste (clcoli qusi immediti). Concludere. c) Ω e definit dl grfico di f() = ( + ) /, ]0, ]. d) Ω e definit dl grfico di f() = ( + ) /, [, /[. e) Ω e definit dl grfico di f() = ( + )e, ], /].