AM210: Esercizi 2. + e x sin x dx 6. x log 3 x 9. dx

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1 Integrli impropri: esercizi AM: Esercizi Discutere l convergenz dei seguenti integrli ed eventulmente clcolrli. d. ( 3) d d 3. d 5. ( + ) 3 e sin d 6. e sin d 7. e cos d 8. d + log 3 9. d + + sin. sin d Gli integrli -7 sono ssolutmente convergenti: gli integrndi sono continui nei rispettivi intervlli di integrzione e vnno zero per tendente ll infinito, in - come, con, rispettivmente, p =, 3, 3,, mentre in decdono p in modo esponenzile. Effettuimo or il clcolo.. 3. M M M ( d = M 3) 3 d = M + 3 d = M + 3 ( d d 3) d = [ M 3 ] M + d = log + + M M + log. + d = [log + + ]M M + log.. Posto + = t, si h d = ( +) 3 8 t 3 =. 5. Siccome l integrle é convergente, bst clcolre, per esempio, k lim e sin d k + Integrndo due volte per prti, trovimo k k k e sin d = e cos d = e sin d + ( e k ) e quindi k e sin d = + e k k +

2 6-7. Intnto, = : e d = e sin + e cos d. Poi, integrndo due volte per prti, trovimo e sin d = e sin() d = Siccome cos() = sin deducimo e cos() d e sin d = 5 e cos d = 3 5 In 8- il criterio sintotico é insufficente e occorre rgomentre direttmente: 8. + d = log 3 log + = log 9. d +sin d = + + k. Integrndo per prti, sin k d = perché k ( sin cos )d = sin cos d d < +. d k sin d k + + Od nche: k sin d n k= k k sin d = n k= k k + + Discutere or l convergenz/ssolut convergenz dei seguenti integrli: sin d,. sin d 3. α. sin(e ) d, 5. sin d 6. sin α d, sin(log ) d sin sin d < + per il criterio del confronto.. Se α >, l integrle é ssolutmente convergente per il criterio del confronto.

3 Si < α Integrndo per prti, M sin α d = α M ove l ultimo integrle converge perché ssolut: + sin d α cos cos M d α+ M α sin M + α cos d α+ α + > Tuttvi l convergenz non é d = +. Se α =, l integrle non converge. Se α <, β := α >, si h (k+) k β sin d (k) β (k+) k sin d = (k) β k + + k (k ) β sin d [(k ))] β k Dunque, se α <, (k ) sin α d non esiste. sin d = [(k ))] β k + 3. Per α = l integrle non converge. Per α >, posto α = t, si ottiene M sin α d = α che, come visto, converge (m non ssolutmente!) se e solo se α > Infine, se α <, sin α si comport come α per grnde, e quindi l integrle converge (inftti ssolutmente) se e solo se α < M sin t t α. Posto e = t, si ottiene non ssolutmente!). sin(e ) d = sin t che converge (m t 5. Posto = t, si h sin d = sin t t che, come visto, converge (m non ssolutmente!). 6. Posto log = t, si ottiene due integrzioni per prti si trov M sin(log ) d = log M e t sin t. Dopo k e t sin t = ek k + 3

4 INTEGRALI IMPROPRI INTEGRAZIONE DI FUNZIONI NON LIMITATE Definizione Si f integrbile in [, ] < b, sup [,b) f = +. Se f esiste b f := lim f b lim b si dice integrle improprio (o in senso generlizzto) di f su [, b]. Se tle limite é finito, f si dice integrle convergente (o integrbile in senso improprio o generlizzto) su [, b] Definizione nlog se f, integrbile in [, b], >, é non limitt ttorno d. NOTA. In generle, lim b [, ) sin t t = f non esisterá. Ad esempio, se sin τ dτ = cos, non h limite per tendente. UN ESEMPIO FONDAMENTALE : t α é convergente α < Inftti, α = ( t α α α ) α ( α ) + se α > Infine, per α = si h se α < mentre α = log t +. Definizione Si (, b), f integrbile in [, δ], [ + δ, b], δ > piccolo e sup [,b) f = +. Diremo che f é integrbile (in senso improprio) in [, b] se e solo se f é integrbile (in senso improprio) in [, ] ed in [, b] e in tl cso b f := f + srá l integrle improprio di f in [, b]. Diremo nche che f h in un singolritá integrbile. Ovvi l definizione di b f se f h in [, b] solo singolritá integrbili. b ESEMPIO. é un singolritá integrbile per f() = α se e solo se α < Inftti, posto t =, si h f + +δ d = α δ t α

5 In prticolre, le singolritá delle funzioni rzionli sono non integrbili. Definizione Se f : R R, é integrbile (nche solo in senso improprio) in ogni intervllo limitto, diremo che f é integrbile in senso generlizzto su R se esistono + f := lim + f e f := lim f e scriveremo f := f + f Se I é un intervllo illimitto, perto o chiuso, l definizione di integrbilitá in senso improprio su I si dá in modo nlogo. Esempi. e d = e d + e d =.. d (+) =. Inftti, posto t = s, (rctn rctn ) e ds s(+s ) +. t(+t) = ds s(+s ) = Definizione di ssolut integrbilitá. Se f é integrbile (in senso improprio) sull intervllo I, f si dice ssolutmente integrbile su I. NOTA Se f é integrbile in ogni [, b] I, I intervllo perto, limitto od illimitto, é sup I inf I f = sup [,b] I e quindi sup I inf I f esiste sempre, finito od infinito. L ssolut integrbilitá potrá scriversi nell form b f ESEMPIO : sup I inf I f < + t α < + α < Condizioni di integrbilitá. Criterio del Confronto Sino f, g integrbili in [, ] < b. Allor (i) f() g() [, b), b g < + b f < + 5

6 (ii) g f [, b), b g = + b f = + Inftti: (i): f b g [, b) (ii): f g b + Corollrio. (i) M >, α > : f () M b α [, b) b f < + (ii) M > : f () M, b [, b) b f = + Integrbilitá e comportmento sintotico. (i) α > : b α f() b c < + b f < + (ii) b f() b c > b f = + I criteri sopr esposti sono inftti criteri di ssolut integrbilitá. L rilevnz dei criteri di confronto é descritt in prticolre dl ftto seguente L ssolut integrbilitá implic l integrbilitá b f < + Questo ftto é su volt un conseguenz del b f Criterio di Cuchy. Si f integrbile in [, ] < b. Allor b f ( ɛ >, ɛ : ɛ < < b f ɛ) che ltro non é che l condizione di Cuchy perché esist finito il limite, per tendente b, di F () := f. Inftti : F ( ) F ( ) = f. Ed llor, se f < +, e quindi f soddisf l condizione di Cuchy, nche f soddisf l condizione di Cuchy, dto che f f. NOTA. Un f puó essere integrbile senz essere ssolutmente integrbile. Si, d esempio, f(t) = t sin t, t (, ]. Posto t = s, trovimo (, ) : t sin t = sin s s ds + sin s s ds 6

7 Dunque l integrle converge, m t sin t = sin s s ds = +. Esercizi. Discutere l convergenz dei seguenti integrli, ed eventulmente clcolrli. d. sin d 3. p ( ) q d, p, q >. d p log q, p, q > 5. d cos 6. log( + ) e sin d 7. log(sin ) d 8. n d 9. α log n d, n N L funzione =, = Si h: h due singolritá di ordine d = rcsin = e quindi integrbili, in sin. d = cos d ( ) 3 dispritá, vle zero. M, fcilmente, l convergenz non é ssolut! Dunque l integrle é convergente e, per 3. L funzione f() := p ( ) q é continu in [, ] se p, q Se p <, f h un singolritá in =, che é integrbile sse p >. Se q <, f h un singolritá in =, che é integrbile sse q >. Dunque l integrle converge sse p, q >.. L funzione h in = un singolritá di ordine q (inftti p log q log = + ( ) per vicino d ) e quindi l integrle diverge se q Si quindi q < : in tl cso l singolritá in = é integrbile. Se p >, é < per > e, e quindi l integrle converge. p log q p Infine, p d d p log q log q Dunque l integrle converge sse q < e p > = ( log q q ) + = Siccome cos v zero come per che tende, l funzione h in = un singolritá non integrbile: d = +. cos cos 7

8 6. Siccome log( + ) = vicino, l funzione log(+ ) ssolutmente integrbile: + ( ), e sin = + () per é in = un infinito di ordine e sin ) log(+ d < +. e sin 7. Intnto log(sin ) d ( log( sin ) + log ) d < +. Clcolo dell integrle: posto = t, si h log(sin ) d = log(sin t) = log + Or, siccome cos t = sin( t), posto s = t ottenimo e quindi e quindi log(cos t) = log(sin( t)) = log(sin ) d = log + log(sin ) d = log log(sin s) ds = ed é quindi log(sin t) + log(cos t) log(sin ) d log(sin s) ds 8. L funzione n h singolritá integrbili in =, = ed é quindi integrbile in [, ]. Poi, posto = sin t, si h 9. n d = sin n t α log n d converge sse α > Clcolimo I n := α log n d, α > Intnto, integrndo per prti, I = Poi, di nuovo integrndo per prti, e quindi I n = α+ logn α α + d = (α + ) d = (α + ) α logn+ n + I n+ = n + α + I (n + )n n = ( ) (α + ) I n (n + )! n =... = ( ) (α + ) I n = = ( )n+ (n + )! (α + ) n+ d 8