Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione del 20 Aprile 2011

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1 Anlisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione del 2 Aprile 2

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3 Indice Cpitolo. Teori dell integrle di Riemnn. Integrli generlizzti 5. Integrli impropri su intervllo illimitto 5 2. Convergenz ssolut 7 3. Integrli oscilltori 8 4. Integrli impropri di funzioni non limitte 9 5. Esercizi Cpitolo 2. Introduzione lle equzioni differenzili ordinrie 3. Equzioni differenzili lineri del primo ordine 3 2. Equzione differenzili vribili seprbili 4 3. Equzioni differenzili lineri del secondo ordine 5 4. Metodo dell vrizione delle costnti 7 5. Equzioni lineri del secondo ordine coefficienti costnti 8 6. Esercizi svolti 9 7. Esercizi 22 3

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5 CAPITOLO Teori dell integrle di Riemnn. Integrli generlizzti. Integrli impropri su intervllo illimitto Definizione.. Sino R ed f : [, ) R un funzione tle che l restrizione f : [, M] R si (limitt e) Riemnn-integrbile per ogni M <. Dicimo che f è integrbile in senso improprio su [, ) se esiste finito il limite (.) I = lim M In questo cso, chimimo il numero rele f(x)dx. f(x)dx = I integrle improprio di f su [, ) ovvero dicimo che l integrle improprio converge Se il limite non esiste oppure esiste m infinito diremo che l integrle improprio di f diverge. L integrle improprio eredità dll integrle di Riemnn le proprietà di linerità, di monotoni e di decomposizione del dominio. Esempio.2. Studimo l convergenz del seguente integrle improprio l vrire del prmetro rele α > x dx. α Nel cso α si h [ ] x α+ x=m x dx = = M α α α + x= α e quindi: ) Se α > l integrle converge M α dx = lim xα M α b) Se < α < l integrle diverge Nel cso α = si h per ogni M > M α dx = lim xα M α dx = log M, x 5 = α ; =.

6 6. TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI e quindi l integrle diverge dx = lim log M =. x M Osservimo che se f è un funzione non negtiv su [, ), llor il limite in (.) esiste finito oppure infinito. Inftti, l funzione I(M) = f(x)dx è monoton per M e dunque h limite per M. Teorem.3 (Criterio del confronto). Sino f, g : [, ) R, R, due funzioni Riemnn-integrbili su ogni intervllo [, M] R con M <. Supponimo che esist x tle che f(x) g(x) per ogni x x. Allor: ) b) g(x)dx < f(x)dx = f(x)dx < ; g(x)dx =. Dim. Senz perdere di generlità si può supporre x =. Per l monotoni dell integrle di Riemnn, si h per ogni M : f(x)dx g(x)dx. Le ffermzioni ) e b) seguono pssndo l limite per M. Teorem.4 (Criterio del confronto sintotico). Sino f, g : [, ) R, R, due funzioni Riemnn integrbili su ogni intervllo [, M], M. Supponimo che risulti g(x) > per ogni x e che esist finito e diverso d zero il limite Allor: L = lim x f(x) g(x). f(x)dx converge se e solo se g(x)dx converge. Dim. Supponimo d esempio < L <. Allor, per il Teorem dell permnenz del segno esiste x tle che per ogni x x si h L 2 f(x) g(x) 2L. Siccome g >, si può riordinre l disuguglinz ottenendo L g(x) f(x) 2Lg(x) 2 per ogni x x. L tesi segue dl Teorem del confronto. Esempio.5. Studimo l convergenz dell integrle improprio x α+ I α = ( x + log + ) dx x

7 2. CONVERGENZA ASSOLUTA 7 l vrire del prmetro rele α R. Ricordimo lo sviluppo infinitesimle del logritmo ( log + ) = ( ) x x + o x per x, dove o(/x) è un errore che converge zero più velocemente di /x qundo x. Allor l funzione integrnd è f(x) = ( xα + /x log + ) = ( + o()). x x α Scelt l funzione di confronto g(x) = x α, risult g(x) > per x > e inoltre f(x) lim x g(x) =. Siccome l integrle dx x α converge se e solo se α <, l integrle in esme pure converge se e solo se α <. Ad esempio, nel cso α = 2 con un conto lscito come esercizio si può clcolre esplicitmente ( x 2 + x log + ) dx = x 2 log Convergenz ssolut Definizione 2.. Sino R ed f : [, ) R un funzione tle che l restrizione f : [, M] R si (limitt e) Riemnn integrbile per ogni M <. Dicimo che f è ssolutmente integrbile su [, ) se converge l integrle improprio f(x) dx <. In questo cso, dicimo che l integrle improprio f(x)dx converge ssolutmente. Teorem 2.2. Si f : [, ) R un funzione (limitt e) Riemnn integrbile su ogni intervllo dell form [, M], M. Se f è ssolutmente integrbile su [, ) llor è integrbile in senso improprio su [, ) e inoltre (2.2) f(x)dx f(x) dx. Dim. Definimo le funzioni f +, f : [, ) R f + (x) = mx{f(x), } e f (x) = min{f(x), }, x. Chirmente f(x) = f + (x) + f (x) e f(x) = f + (x) f (x) per ogni x. È noto, inoltre, che le funzioni f +, f sono Riemnn integrbili su ogni intervllo [, M]. Per il Teorem del confronto gli integrli impropri f + (x)dx e f (x)dx

8 8. TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI convergono. Pssndo l limite per M nell identità f(x)dx = ( f + (x) + f (x) ) dx = f + (x)dx + f (x)dx si ottiene l convergenz dell integrle improprio di f su [, ). Pssndo l limite nell disuguglinz f(x)dx = f + (x)dx + f (x)dx si ottiene l (2.2). f + (x) dx + f (x) dx = f(x) dx sin x Esempio 2.3. L integrle improprio dx non converge ssolutmente, x ovvero sin x dx =. x Inftti, sul generico intervllo [kπ + π/4, kπ + 3π/4], k =,, 2,..., risult 2 sin x e 2 x kπ + 3π/4, e dunque Si deduce che (k+)π kπ sin x dx x sin x 2π dx x 8 k= 2π 8(kπ + 3π/4). 3. Integrli oscilltori Tipici esempi di integrli oscilltori sono f(x) sin xdx, ovvero l integrle vlori complessi f(x)e ix dx = f(x) cos xdx + i kπ + 3π/4 =. f(x) cos xdx, f(x) sin xdx, dove f : [, ) R è un funzione non negtiv, f. Il seguente teorem fornisce condizioni sufficiente per l convergenz di integrli di questo tipo. Teorem 3. (Criterio per integrli oscilltori). Sino f C([, )) e g C ([, )), R, due funzioni con le seguenti proprietà: i) f = F con primitiv F C ([, )) limitt; ii) g e lim x g(x) =.

9 Allor l integrle improprio converge. 4. INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI NON LIMITATE 9 f(x)g(x)dx Dim. Per ogni M > si ottiene con un integrzione per prti: f(x)g(x)dx = [ F (x)g(x) ] x=m x= = F (M)g(M) F ()g() Siccome F è limitt e g è infinitesim per M, si h D ltr prte, siccome g si trov F (x)g (x) dx sup F (x) x [, ) lim F (M)g(M) =. M = ( g() g(m) ) sup F (x), x [, ) e dunque, usndo nuovmente il ftto che g è infinitesim F (x)g (x)dx F (x)g (x)dx. g (x) dx = sup F (x) g (x)dx x [, ) F (x)g (x) dx g() sup F (x) <. x [, ) Dl momento che l funzione F g è ssolutmente integrbile su [, ), per il Criterio dell convergenz ssolut esiste finito nche il limite lim M Questo termin l prov del teorem. F (x)g (x)dx. Esempio 3.2. Usndo il Teorem 3. sugli integrli oscilltori, si vede che per ogni scelt del prmetro α > l integrle improprio sin x x dx α converge. Inftti, l funzione f(x) = sin x h primitiv limitt F (x) = cos x e l funzione g(x) = /x α h derivt negtiv per x > ed è infinitesim per x. 4. Integrli impropri di funzioni non limitte Definizione 4.. Si f : (, b] R, < < b <, un funzione (limitt e) Riemnn integrbile su ogni intervllo dell form [ + ε, b] con < ε < b. Dicimo che f è integrbile in senso improprio su (, b] se esiste finito il limite I = lim ε + b +ε f(x)dx.

10 . TEORIA DELL INTEGRALE DI RIEMANN. INTEGRALI GENERALIZZATI In questo cso, dicimo che l integrle improprio di f su (, b] converge e ponimo b f(x)dx = I. Lo studio degli integrli impropri di funzioni come nell definizione precedente si può ricondurre llo studio di integrli impropri su intervllo illimitto trmite il cmbimento di vribile y = b che port ll trsformzione formle di integrli b x f(x)dx = (b ) ( f + b y ) dy y 2. Esempio 4.2. Con un discussione nlog quell svolt nell Esempio.2 si deduce che, l vrire del prmetro rele α >, l integrle improprio converge se e solo se α <. x α dx Enuncimo, senz dimostrzione, un Teorem del confronto sintotico per integrli di funzioni non limitte. Teorem 4.3 (Criterio del confronto sintotico). Sino f, g : (, b] R, < < b <, due funzioni (limitte e) Riemnn-integrbili su ogni intervllo dell form [ + ε, b], < ε < b. Supponimo che: i) lim g(x) = ; x + ii) il seguente limite esiste finito e diverso d zero Allor: b f(x) lim x + g(x). f(x)dx converge b 5. Esercizi g(x)dx converge. Esercizio. Al vrire del prmetro α, studire l convergenz e l convergenz ssolut dell integrle improprio sin x log x dx. x α Questo esercizio è stto risolto in clsse. L rispost è l seguente: per α > si h convergenz ssolut (e quindi nche semplice); per < α non si h convergenz ssolut m c è convergenz semplice; per α = non c è convergenz semplice. Esercizio 2. Clcolre i seguenti integrli impropri log x ) dx; 2) x 2 e x (x + ) 2 dx; 3) e βx cos(αx) dx, β >, α R.

11 5. ESERCIZI Esercizio 3. Stbilire se convergono i seguenti integrli impropri ) sin 2 x dx; 2) π sin(x) dx; 3) 3 x x 2 dx. Esercizio 4. Stbilire se convergono ssolutmente i seguenti integrli impropri sin x ( ) dx; 2) x 2 e x cos x dx; 3) + x2 x x) tn sin x dx. Esercizio 5. Clcolre tutti gli α > tli che converg ciscuno dei seguenti integrli impropri ) 3) ( cos x) α tn x x dx; 2) rctn x π/2 x α dx; 4) sin(x α ) log( + x) dx; 2 sin x log α x dx. Esercizio 6. Studire l convergenz dei seguenti integrli oscilltori sin x ) dx; 2) sin x rcsin log x x dx; 3) x sin(x 4 ) dx. 2 Esercizio 7. i) Determinre tutti i prmetri α, β R tli che il seguente integrle improprio converg + x β x α ( + x 2 ) dx. ii) Rppresentre i prmetri mmissibili nel pino crtesino αβ.

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13 CAPITOLO 2 Introduzione lle equzioni differenzili ordinrie. Equzioni differenzili lineri del primo ordine Si I R un intervllo perto e sino, b C(I) due funzioni continue. Un equzione differenzile dell form (.3) y + (x)y = b(x), x I, si dice equzione linere del primo ordine. Fissti x I e y R, possimo prescrivere il vlore dell soluzione nel punto x : (.4) y(x ) = y. Il problem di risolvere l equzione differenzile (.3) con l condizione inizile (.4) si chim Problem di Cuchy. L incognit del problem è un funzione y C (I). Dedurremo l formul risolutiv dell equzione differenzile, e più in generle del Problem di Cuchy, con un rgomento euristico. Considerimo preliminrmente il cso b = : (.5) y + (x)y =, x I. In questo cso, l equzione differenzile si dice omogene. Supponendo y, d esempio y >, l equzione differenzile (.5) si può riscrivere nell form y /y = (x). Un primitiv dell funzione y /y è log y. Dunque, indicndo con A un primitiv di, ovvero A (x) = (x) per ogni x I, bbimo A = log y + d, per qulche costnte d R. Segue che y = exp( d A) e ponendo c = e d trovimo l soluzione (.6) y(x) = ce A(x), x I. Quest funzione risolve l equzione omogene per ogni c R (in ltri termini l limitzione y > può essere lscit cdere). Or cerchimo un soluzione dell form (.6) per l equzione non omogene (.3), dove or c C (I) è un funzione incognit che deve essere determint. Questo metodo si chim vrizione dell costnte. Inserendo y = c e A ce A nell equzione (.3) ottenimo c e A = b, ovvero c = be A. Integrndo tle equzione su un intervllo (x, x) I ottenimo c(x) = c(x ) + 3 x x b(t)e A(t) dt,

14 4 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE e dunque trovimo ( x ) (.7) y(x) = c(x ) + b(t)e A(t) dt e A(x), x I, x dove c(x ) R è un numero rele. Per ogni scelt di tle numero, l funzione (.8) verific l equzione differenzile (.3). Il numero c(x ) si può determinre imponendo che l integrle generle y verifichi l condizione inizile y(x ) = y. Si ottiene c(x ) = y e A(x). Dunque ottenimo l formul di rppresentzione per l soluzione del Problem di Cuchy: ( x ) (.8) y(x) = y e A(x) + b(t)e A(t) dt e A(x), x I, x Nel prossimo teorem provimo che il metedo seguito rilev in effetti l unic soluzione del problem di Cuchy. Teorem.. Sino I R un intervllo perto, x I,, b C(I) e y R. Allor l funzione (.8) risolve in modo unico il Problem di Cuchy (.3)+(.4). Dim. Che l funzione (.8) risolv il problem è un conto che ripercorre ritroso l rgomento euristico. Provimo che quest soluzione è l unic. Si z C (I) un soluzione dell equzione differenzile (.3) e considerimo l funzione usiliri w(x) = e A(x) z(x) b(t)e A(t) dt, x dove A è un primitiv di. Dl momento che sull intervllo I risult x w = (z + z )e A be A =, per il Teorem di Lgrnge l funzione w è costnte su I, ovvero esiste k R tle che w(x) = k R per ogni x I. Dunque, si h ( x ) z(x) = k + b(t)e A(t) dt e A(x). x D ltr prte, se z risolve nche l condizione inizile z(x ) = y deve essere k = y e A(x) e quindi z coincide con l funzione in (.8). 2. Equzione differenzili vribili seprbili Sino I, J R due intervlli perti e sino f C(I) e g C(J) due funzioni continue. Cerchimo le soluzioni dell equzione differenzile del primo ordine (2.9) y = f(x)g(y), x I, per qulche intervllo I I. Un simile equzione si dice vribili seprbili. Eventulmente, fissti un punto x I e un vlore y J possimo prescrivere l condizione inizile (2.) y(x ) = y. Il problem (2.9)+(2.) si chim Problem di Cuchy. Osservimo preliminrmente che se g(y ) = llor l funzione costnte y(x) = y, x I, è certmente un soluzione dell equzione differenzile (2.9) che verific l condizione inizile.

15 3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL SECONDO ORDINE 5 Siccome voglimo dividere per g, supponimo che g(y ). Allor risult g in un intervllo perto J J che contiene y. Possimo llor dividere e seprre le vribili. L equzione differenzile si riscrive nel seguente modo: (2.) y (x) g(y(x)) = f(x), dove x vri in un intorno I I del punto x tle che y(x) J per ogni x I. Si G C (J ) un primitiv di /g(y) (nell vribile y), definit nell intervllo J e dove risult g. L funzione G è strettmente monoton, perchè G (y), e pertnto G è invertibile. Si poi F C (I) un primitiv di f. Integrndo l equzione differenzile (2.) si ottiene (2.2) G(y(x)) = F (x) + C, x I. Qui, C R è un costnte che può essere determint trmite l condizione inizile, e precismente C = G(y ) F (x ). L soluzione del Problm di Cuchy è dunque (2.3) y(x) = G (F (x) F (x ) + G(y )), x I, dove G : G(J ) J è l funzione invers di G. L intervllo I I è in generle più piccolo di I. Il precedente rgomento rilev due tipi di soluzione dell equzione differenzile (2.9): le soluzioni costnti e le soluzioni per cui g(y). Potrebbero, tuttvi, esserci ltre soluzioni. Se g su J, l rgomento prov che l soluzione è necessrimente dell form (2.3). Teorem 2.. Sino I, J R due intervlli perti, x I e y J, e sino f C(I), g C(J) tli che g su J. Allor il Problem di Cuchy (2.9)+(2.) h un soluzione unic y C (I ) dt dll formul (2.3), per qulche intervllo perto I I contenente x. L dimostrzione del teorem è contenut nell rgomento precedente. 3. Equzioni differenzili lineri del secondo ordine Si I R un intervllo perto e sino, b, f C(I) funzioni continue. In quest sezione studimo l equzione differenzile linere del secondo ordine: y + (x)y + b(x)y = f(x), x I. L incognit è un funzione y C 2 (I). L equzione differenzile si dice linere perchè l opertore differenzile L : C 2 (I) C(I) L(y) = y + (x)y + b(x)y è un opertore linere. Il seguente teorem di esistenz e unicità dell soluzione per il reltivo problem di Cuchy è il corollrio di un teorem più generle che srà visto e provto nel corso di Anlisi 3.

16 6 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Teorem 3.. Sino I R un intervllo perto, x I e y, y R, e sino, b, f C(I) funzioni continue. Allor il Problem di Cuchy y + (x)y + b(x)y = f(x), x I, (3.4) y(x ) = y y (x ) = y h un unic soluzione y C 2 (I). Studimo or il cso omogeneo f =. dell equzione omogene Considerimo l insieme delle soluzioni S = { y C 2 (I) : y + (x)y + b(x)y = su I }. Dl teorem precedente segue il seguente ftto. Proposizione 3.2. L insieme S delle soluzioni dell equzione omogene è uno spzio vettorile rele di dimensione 2. Dim. S è uno spzio vettorile, perchè per ogni α, β R e y, y 2 S, ovvero L(y ) = L(y 2 ) =, risult L(αy + βy 2 ) = αl(y ) + βl(y 2 ) =, e quindi αy + βy 2 S. Provimo che S h dimensione esttmente 2. Fissto un punto x I, definimo l trsformzione T : S R 2 definit nel seguente modo T (y) = ( y(x ), y (x ) ). L trsformzione T è linere. Provimo che T è iniettiv e suriettiv. Ne segue che S ed R 2 sono linermente isomorfi e dunque dim(s) = dim(r 2 ) = 2. Prov dell iniettività: se T (y) = T (z) con y, z S llor y e z risolvono lo stesso Problem di Cuchy (3.4) (con f = ). Siccome per il Teorem 3. l soluzione del problem è unic, deve essere y = z. Prov dell suriettività: dto (y, y ) R 2, dl Teorem 3. segue l esistenz di y S tle che T (y) = (y, y ). Dunque, lo spzio vettorile S h un bse vettorile compost d due soluzioni. Considerimo due soluzioni y, y 2 S (non necessrimente linermente indipendenti). Formimo l mtrice Wronskin ( ) y (x) y W y,y 2 (x) = 2 (x) y 2(x) y 2(x), e il determinnte Wronskino ( ) y (x) y w(x) = det 2 (x) y 2(x) y 2(x) = y (x)y 2(x) y 2 (x)y (x). Chirmente risult w C (I) e inoltre w = y y 2 y 2y + y y 2 y 2 y = y ( (x)y 2 b(x)y 2 ) y 2 ( (x)y b(x)y ) = (x)w.

17 4. METODO DELLA VARIAZIONE DELLE COSTANTI 7 Integrndo l equzione differenzile scoprimo che il determinnte Wronskino h l form ( x ) w(x) = w(x ) exp (t)dt, x I. x In prticolre, se w(x ) = in un punto x I llor w = in tutti i punti. Proposizione 3.3. Sino y, y 2 S soluzioni dell equzione omogene e si w = det W y,y 2 il corrispondente determinnte Wronskino. Allor: (A) y, y 2 sono linermente dipendenti se e solo se esiste x I tle che w(x ) = (equivlentemente se e solo se w = su I); (B) y, y 2 sono linermente indipendenti se e solo se esiste x I tle che w(x ) (equivlentemente se e solo so w su I). Dim. Provimo (A). Se y, y 2 sono linermente dipendenti llor esistono (α, β) (, ), α, β R, tli che αy + βy 2 = su I. Derivndo vle nche αy + βy 2 = su I, e dunque ( ) ( ) ( ) y y 2 α y 2 y 2 =. β Segue che w = su tutto I. Supponimo or che w(x ) = in un punto x I. Allor, esistono (α, β) (, ) tli che ( y (x ) y 2 (x ) y 2(x ) y 2(x ) ) ( α β ) ( = L funzione z = αy + βy 2 è in S e verific z(x ) = e z (x ) =. Dll unicità dell soluzione per il Problem di Cuchy segue che z = e quindi y, y 2 sono linermente dipendenti. L ffermzione (B) segue d (A) per negzione. ). 4. Metodo dell vrizione delle costnti In quest sezione illustrimo il metodo per clcolre un soluzione dell equzione non omogene (4.5) y + (x)y + b(x)y = f(x), x I, un volt si sppi risolvere l equzione omogene corrispondente. Si y, y 2 un bse di soluzioni per l equzione omogene y +(x)y+b(x)y =. Cerchimo un soluzione del tipo (4.6) y = c y + c 2 y 2 dove c, c 2 : I R sono funzioni d determinre. Derivndo l relzione si ottiene Imponendo l condizione y = c y + c y + c 2y 2 + c 2 y 2. (4.7) c y + c 2y 2 = l espressione precedente si riduce ll seguente y = c y + c 2 y 2.

18 8 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE Derivndo nuovmente si ottiene y = c y + c y + c 2y 2 + c 2 y 2. Sostituendo nell equzione differenzile di prtenz, dopo qulche clcolo, si rriv ll seguente equzione c (y + y + by ) + c 2 (y 2 + y 2 + by 2 ) + c y + c 2y 2 = f. Usndo il ftto che y, y 2 risolvono l equzione omogene si ottiene l second condizione (4.8) c y + c 2y 2 = f. Mettendo sistem le condizioni (4.7) e (4.8) si rriv l sistem ( ) ( ) ( ) y y 2 c y y 2 c =. 2 f Nel sistem è pprs l mtrice Wronskin di y, y 2. Per l Proposizione 3.3, quest mtrice è invertibile in ogni punto x I. Questo permette di risolvere il sistem in c e c 2: ( ) ( ) c ( ) y y c = 2 2 y y 2. f Le due equzioni del sistem possono essere integrte. Questo procedimento determin c e c 2 meno di due costnti ddittive che ppiono nel processo di integrzione. Un volt sostituite c e c 2 nell (4.6), le due costnti possono essere determinte con delle eventuli condizioni inizili. 5. Equzioni lineri del secondo ordine coefficienti costnti Considerimo un equzione differenzile del tipo (5.9) y + y + by = dove or, b R sono costnti. Si cercno soluzioni dell form y(x) = e λx, dove λ C è un prmetro complesso. Sostituendo le derivte y = λe λx e y = λ 2 e λx nell equzione differenzile si ottiene l equzione e λx (λ 2 + λ + b) =. Siccome e λx, tle equzione è verifict se e solo se λ verific l equzione crtteristic: λ 2 + λ + b =. Si = 2 4b il discriminnte dell equzione. Si possono presentre tre csi. ) >. L equzione crtteristic h due soluzioni reli distinte λ = e λ 2 = In questo cso, l soluzione generle y di (5.9) è un combinzione linere delle soluzioni y (x) = e λx e y 2 (x) = e λ2x, che sono linermente indipendenti: dove c, c 2 R. y(x) = c e λ x + c 2 e λ 2x, x R

19 6. ESERCIZI SVOLTI 9 2) <. L equzione crtteristic h due soluzioni complesse coniugte λ = + i 2 = α + iβ e λ 2 = i 2 dove si è posto α = /2 e β = /2. Le funzioni z (x) = e (α+iβ)x = e αx e iβx = e αx (cos βx + i sin βx) z 2 (x) = e (α iβ)x = e αx e iβx = e αx (cos βx i sin βx) = α iβ sono soluzioni vlori complessi dell equzione differenzile. Dunque, le funzioni y (x) = z (x) + z 2 (x) = e αx cos βx 2 y 2 (x) = z (x) z 2 (x) = e αx sin βx 2i sono soluzioni vlori reli dell equzione differenzile. Le funzioni y e y 2 sono linermente indipendenti e dunque l soluzione generle dell equzione differenzile è dell form y(x) = (c cos βx + c 2 sin βx)e αx con c, c 2 R. 3) =. L equzione crtteristic h l soluzione rele λ = /2 con molteplicità 2. In questo cso, il metodo produce un sol soluzione y (x) = e λx. Un conto diretto mostr che l funzione y 2 (x) = xe λx è pure un soluzione che è linermente indipendente dll precedente. In effetti, si h: y 2 + y 2 + by 2 = 2λe λx + λ 2 xe λx + ( e λx + λxe λx) + bxe λx = (λ 2 + λ + b)xe λx + (2λ + )e λx =, dove nell ultimo pssggio si è usto il ftto che che λ risolve l equzione crtteristic e che λ = /2. L soluzione generle dell equzione (5.9) è dunque y(x) = (c + c 2 x)e λx, c, c 2 R. 6. Esercizi svolti Esercizio 8. Cerchimo l soluzione del Problem di Cuchy seguente y = + 2x (6.2) cos y y() = π. L equzione differenzile è vribili seprbili y = f(x)g(y) con f(x) = + 2x e g(y) = / cos y. In prticolre, g è definit per cos y, ovvero per y π/2 + kπ con k Z. Siccome voglimo che g si definit su un intervllo, tenuto conto dell condizione inizile dovremo considerre g : (π/2, 3π/2) R. Chirmente g. Seprndo le vribili ottenimo y cos y = + 2x, e integrndo trovimo l soluzione generle in form implicit dell equzione differenzile sin y = x + x 2 + C,

20 2 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE dove C R è un costnte che si determin con l condizione inizile y() = π, ovvero C = sin y() =. Or dobbimo invertire l relzione sin y = x + x 2. Osservimo che l inversione meccnic z(x) = rcsin(x + x 2 ) non fornisce l soluzione del problem (6.2) perchè z() = rcsin() = e l condizione inizile non è verifict. Per determinre l soluzione corrett osservimo che l funzione rcsin è l invers dell funzione sin ristrett ll intervllo [ π/2, π/2]. Nel nostro cso, tuttvi, y prende vlori in un intorno di π. Allor procedimo in questo modo. Ponendo w(x) = y(x) π, bbimo w() = y() π = e sin w = sin(y π) = sin y = (x + x 2 ). Siccome w ssume vlori in un intorno di, è or lecito invertire l funzione seno e ottenimo w = rcsin(x + x 2 ) e quindi y(x) = π rcsin(x + x 2 ). Quest è l soluzione del problem, che è definit nell intervllo perto I = { x R : x + x 2 < }. Esercizio 9. Clcolre l integrle generle dell equzione differenzile y y = ex e x +. L equzione crtteristic è λ 2 = le cui soluzioni sono λ = ±. L soluzione generle dell equzione omogene è quindi y = c e x + c 2 e x. Clcolimo l soluzione generle dell equzione non omogene con il metodo dell vrizione delle costnti. Cerchimo un soluzione dell form y = c (x)e x + c 2 (x)e x, con c, c 2 funzioni d determinre. Derivndo si ottiene y = c e x +c e x +c 2e x c 2 e x e imponendo l prim condizione c e x + c 2e x = si h y = c e x c 2 e x e quindi y = c e x + c e x c 2e x + c 2 e x. Sostituendo nell equzione di prtenz si trov e x (c + c ) + e x (c 2 c 2) c e x c 2 e x = e quindi si ottiene l second condizione e x c c 2e x = ex + e x. Risolvimo il sistem delle due condizioni { c e x + c 2e x = c e x c 2e x = ex + e. x ex + e x,

21 Sommndo e sottrendo le due equzioni si ottiene c = 2 + e x c 2 = e 2x 2 + e. x Per determinre c clcolimo l integrle indefinito c (x) = dx 2 + e x 6. ESERCIZI SVOLTI 2 medinte l sostituzione t = e x. Si ottiene c (x) = dt 2 t( + t) = ( 2 t )dt = 2 t + log e x + e + k, x dove k R è un costnte dditiv. Per determinre c 2 (x) clcolimo l integrle c 2 (x) = e 2x 2 + e dx x con l stess sostituzione. Si ottiene c 2 (x) = 2 ex + 2 log( + ex ) + k 2, con k 2 R. In conclusione, si ottiene l soluzione generle ( ) ( y(x) = 2 log e x + e + k x e x + 2 ex + 2 ) log( + ex ) + k 2 e x, dove k, k 2 R sono due costnti libere. Esercizio. Al vrire del prmetro α R studire esistenz e unicità dell soluzione y C (R) del problem { x 3 y y + =, y() = α. L equzione differenzile è linere del primo ordine. Tuttvi il coefficiente di y si nnull nel punto x =, proprio dove è ssegnto il dto inizile. Clcolimo tutte le soluzioni dell equzione dove x. L equzione omogene x 3 y = y h le soluzioni y(x) = ce 2x 2. Cerchimo un soluzione dell equzione non omogene dell stess form, con c = c(x) funzione d determinre. Derivndo y e sostituendo nell equzione si rriv ll identità c (x) = x e 3 2x 2. Or integrimo quest identità un un intervllo (x, x). L funzione che ppre destr non è integrbile in x =. Quindi l intervllo di integrzione deve verificre x, x > oppure x, x <. Integrndo si ottiene c(x) = c(x ) x x t 3 e 2t 2 dt = k + e 2x 2,

22 22 2. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE dove k R è un costnte. Siccome bisogn distinguere l integrzione nel cso x > e in quello x <, l espressione generle per l funzione c è l seguente: { k c(x) = + e 2x 2, x >, k 2 + e 2x 2, x <, dove k, k 2 R sono due costnti indipendenti. Dunque, l soluzione generle dell equzione differenzile è l seguente: { + k y(x) = e 2x 2, x >, + k 2 e 2x 2, x <. Dl momento che lim y(x) = x indipendentemente d k, k 2, tutte le funzioni y si prolungno con continuità in x = ponendo y() =. L funzione che ne risult verific in effetti y C (R) con y () =. L verific di questo ftto è lscit come esercizio. Arrivimo lle seguenti conclusioni: ) Per α il problem non h soluzioni. 2) Per α = il problem h infinite soluzioni, che dipendono d due prmetri reli. 7. Esercizi Esercizio. Clcolre l soluzione generle delle seguenti equzioni differenzili: i) y = y cos x + sin x + sin x; ii) y = 3 x y + x2 +, x >. Esercizio 2. Si consideri l equzione differenzile y = (y 2 y) log(2 + x). i) Determinre il suo integrle generle. ii) Risolvere il problem di Cuchy con dto y( ) = /2. Soluzione: y(x) = e x+, x + 2 >. e x+ + (x + 2) x+2 Esercizio 3. Si consideri l equzione differenzile y = (y )(y 4) cos x sin x. i) Trovre tutte le soluzioni costnti. ii) Clcolre l soluzione generle dell equzione in form implicit. iii) Clcolre in form esplicit l soluzione del problem di Cuchy con dto inizile y(3π/2) = 5.

23 7. ESERCIZI 23 Esercizio 4. Clcolre l soluzione del Problem di Cuchy y + y = ( cos x, x π 2, π ), 2 y() = y () =. Soluzione: y = cos x log(cos x) + x sin x. Esercizio 5 (Difficile). Clcolre l soluzione y C (, b), < < b, del Problem di Cuchy { y = y x y + x, y() =, e disegnre un grfico qulittivo di y. Clcolre b e mostrre che > 2 e π/2.