Integrali impropri. Riccarda Rossi. Analisi I. Università di Brescia. Riccarda Rossi (Università di Brescia) Integrali impropri Analisi I 1 / 48

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1 Integrli impropri Riccrd Rossi Università di Bresci Anlisi I Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 1 / 48

2 (2) α > 0 f (x) = 1 (0, + ). Inftti, x α NON È integrbile in senso improprio su Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 26 / 48

3 (3) l funzione f : (0, + ) R f (x) = { 1 se x (0, 1], x 1/3 se x [1, + ), 1 x 4 è integrbile in senso improprio su (0, + ), Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 27 / 48

4 Criteri di convergenz Problem: stbilire se un funzione f definit su I è ntegrbile in senso improprio su I, senz clcolre il vlore numerico dell integrle. Osservzioni: È un problem ffine llo studio del crttere di un serie numeric: vremo criteri dello stesso tipo. Enuncimo i criteri per integrli impropri su semirette (per es., su [, + )). Gli enunciti si dttno nche integrli impropri su intervlli semiperti (per es., su (, b] per f illimitt nell intorno di ) Quindi è OK nche cso generle di integrli impropri su intervlli perti (, b), con, b R. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 28 / 48

5 D or in poi: f : [, + ) R, loclmente integrbile su [, + ). condizioni sufficienti ffinché lim c + Proposizione: 1. Esistenz del limite. c Supponimo che f : [, + ) R si positiv. Allor c lim c + f (x) dx R? c f (x) dx = sup f (x) dx [0, + ]. c> Quindi + c f (x) dx converge se e solo se sup c> f (x) dx < +. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 29 / 48

6 Dimostrzione Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 30 / 48

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9 Osservzione: fre il confronto con l teori delle serie: dt ( n ) n [0, + ), l serie n è convergente oppure divergente. n studimo integrli impropri di funzioni positive trmite criteri. Teori integrli impropri teori delle serie numeriche: criteri per integrle improprio di funz. positive criteri per crttere serie positive Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 33 / 48

10 Criterio del confronto Sino f, g : [, + ) R, loclmente integrbili con 0 f (x) g(x) x [, + ). Se g è integrbile in senso improprio sull intervllo [, + ), llor lo è nche f. Equivlentemente: Dimostrzione: Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 34 / 48

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13 Criterio del confronto sintotico Sino f, g : [, + ) R, loclmente integrbili con f, g > 0. Supponimo che esist f (x) lim x + g(x) = L. Allor, 1 se L (0, + ), f è integrbile in senso improprio su [, + ) se e solo se g è integrbile in senso improprio su [, + ); 2 se L = 0 e g è integrbile in senso improprio su [, + ), llor lo è nche f ; 3 se L = + e g non è integrbile in senso improprio su [, + ), llor nche f non lo è. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 37 / 48

14 Il teorem di Mc Lurin mette in luce il ftto che l teori degli integrli impropri e l teori delle serie sono due fcce dell stess medgli. Teorem di McLurin Si f : [1, + ) R Allor l integrle improprio positiv e decrescente in [1, + ). l serie 1 + n=1 + f (n) f (x)dx e sono entrmbi convergenti o entrmbi divergenti. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 38 / 48

15 Dimostrzione Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 39 / 48

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19 Esempi fondmentli Ecco un fmigli di integrli impropri noti, con i quli fre il confronto. 1 { 1 x α dx = 1 α se α < se α 1 + { 1 x α dx = α 1 se α > 1 + se α 1 1 Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 43 / 48

20 1/2 0 1 x α log x β dx { converge se α < 1, β, oppure se α = 1 e β > 1 = diverge in tutti gli ltri csi. > 1, + 1 x α log x β dx { converge se α > 1, β, oppure se α = 1 e β > 1 = diverge in tutti gli ltri csi. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 44 / 48

21 Osservzione: per il teorem di Mc-Lurin, l serie + n=2 1 n α h lo stesso crttere di log n β + 1 x α log x β dx Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 45 / 48

22 Convergenz ssolut Dimo l definizione e i risultti per integrli impropri su semirette. Risultti e definizioni nloghe per integrli impropri su intervlli semiperti/intervlli perti. Definizione Si f : [, + ) R loclmente integrbile. Dicimo che f è integrbile ssolutmente in senso improprio se + f (x) dx converge. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 46 / 48

23 Teorem Si f : [, + ) R loclmente integrbile. Allor: se f è integrbile in senso improprio su [, + ), nche f è integrbile in senso improprio su [, + ) e si h + + f (x) dx f (x) dx. Osservzione: Non vle il vicevers: per esempio + 0 sin x x dx è integrbile in senso improprio su (0, + ), mentre + 0 sin x x dx = +. Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 47 / 48

24 Strtegi: come per le serie numeriche, per studire l integrbilità (in senso improprio) di f conviene studire innnzitutto l integrbilità ssolut, cioè l integrbilità (in senso improprio) di f. Inftti, per lo studio di + f (x) dx è possibile pplicre i criteri per gli integrli impropri di funz. positive. Se si dimostr che + f (x) dx < +, llor si h che f (x) dx converge. + MA, se + f (x) dx = +, llor non si conclude null su f (x) dx!!! + Riccrd Rossi (Università di Bresci) Integrli impropri Anlisi I 48 / 48