Un introduzione alle serie di Fourier

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1 Cpitolo 3 Un introduzione lle serie di Fourier 3.1 Considerzioni preinri Dto un sistem numerbile di funzioni φ 1 (x),...,φ n (x),... definite su un intervllo [, b] dir e un funzione f(x): [, b] R (C), ci ponimo il problem di pprossimre f(x) con un serie c n φ n (x), essendo i coefficienti c n scelti opportunmente. Cioè, considert l somm przile s N (x) = c n φ n (x), ci ponimo il problem di indgre che cos ccde fcendo tendere N +, nel senso di vri tipi di convergenz: puntule, uniforme o in medi qudrtic, come viene meglio precisto di seguito. Precismente, diremo che l somm s N (x) converge puntulmente f(x) se x [, b], si h che N s N(x) =f(x). Se il ite è uniforme rispetto x, cioè se ε>0 N ε, tle che N >N ε e x [, b] sih s N (x) f(x) <ε, diremo che l convergenz è uniforme. Dt un funzione w(x) definit su [, b], per l qule, in generle, è w(x) 0 e che chimeremo funzione peso, considerimo l integrle f(x) s N (x) w(x) dx. 147

2 148 CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: UN ACCENNO Diremo che s N (x) converge in medi qudrtic f(x) se N f(x) s N (x) w(x)dx=0. Quest integrle è detto devizione qudrtic medi o scrto qudrtico medio di s N (x) df(x). Due funzioni φ(x) e ψ(x) sono ortogonli su [, b] rispetto l peso w(x) se φ(x) ψ(x) w(x) dx=0. Per esempio, le funzioni 1 e x sono ortogonli rispetto l peso w(x) =1su [ 1, 1]. Considereremo dt, d or in poi, un successione di funzioni φ 1 (x),φ (x),...,φ n (x),... definite su [, b] e due due ortogonli rispetto l peso w(x). Possimo llor porci il problem di determinre i coefficienti c n in modo tle che per l funzione integrbile f(x) lo scrto qudrtico medio si minimo. Cioè che si minimo: ( N f(x) c n φ n (x) ) w(x) dx= f (x) w(x) dx c n f(x)φ(x) w(x) dx+ c n φ n(x)w(x) dx= = φ n(x)w(x)dx [ c n f(x)φ n(x)w(x) dx] + φ n(xw(x) dx + f (x)w(x) dx Si vede fcilmente che lo scrto è minimo se [ f(x)φ n(x)w(x) dx] φ n(x)w(x) dx c n = f(x)φ n(x)w(x) dx φ n(x)w(x) dx (3.1) e in questo cso vle f (x)w(x) dx [ f(x)φ n(x)w(x) dx] φ n(x)w(x) dx

3 3.1. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI 149 I coefficienti così determinti si dicono i coefficienti di Fourier di f(x) rispetto lle funzioni ortogonli φ n (x). L serie c n φ n (x) (3.) si dice l serie di Fourier di f(x). Se l posto di c n si pone il suo vlore sopr clcolto, si trov [ N 0 f(x) c n φ n (x) ] w(x)dx= f (x)w(x)dx Dunque, per ogni N N vle c n c n φ n(x)w(x)dx φ n(x)w(x)dx. (3.3) f (x)w(x)dx. Se f(x) è qudrto sommbile su [, b], prendendo il ite per N, si vede che l serie φ n(x)w(x)dx converge e inoltre c n c n φ n(x)w(x)dx Quest disuguglinz è dett disuguglinz di Bessel. Un ulteriore conseguenz èche n n c n f (x)w(x)dx. (3.4) φ n(x)w(x)dx= ( f(x)φ n(x)w(x)dx ) =0. (3.5) φ n(x)w(x)dx Se, per il sistem di funzioni considerto, l serie h somm f (x)w(x)dx, cioè se φ n(x)w(x)dx= f (x)w(x)dx, (3.6) c n

4 150 CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: UN ACCENNO llor si dice che vle l equzione di Prsevl. In questo cso il sistem φ 1 (x),φ (x),...,φ n (x),...si dice completo su [, b] rispetto l peso w(x). 3. Lemm di Riemnn-Lebesgue Abbimo ppen consttto che se è un sistem ortogonle, llor n f(x)φ n(x)w(x)dx =0. b φ n(x)w(x)dx f (x)w(x)dxè finito e se (φ n (x)) In reltà si può ottener un risultto più forte, che qui riportimo senz dimostrzione φ n (x) Lemm 3..1 [di Riemnn Lebesgue] Se l fmigli di funzioni φ n(x)w(x)dx è uniformemente itt, cioè se esiste un costnte K>0 tle che x [, b], n N, e se f(x) è ssolutmente integrbile, llor φ n (x) K, b φ n(x)w(x)dx n f(x)φ n(x)w(x)dx =0. b φ n(x)w(x)dx 3.3 Serie di Fourier trigonometriche Le funzioni 1, sen x, cos x, sen x, cos x,...,sen nx, cos nx,... sono ortogonli su x π, con peso w = 1. Lo si vede fcilmente clcolndo (per prti) gli integrli sen nx sen mx d x = n m cos nx cos mxdx= n m sen nx sen mxdx sen nx sen mxdx

5 3.3. SERIE DI FOURIER TRIGONOMETRICHE 151 Dunque si trov Vle poi sen nx cos mx d x = n 1dx=π, m sen nx cos nx d x = sen nx n sen nx cos mxdx +π =0. sen nx sen mx d x =0 sen m ; (3.7) cos nx cos mx d x =0 sen m ; (3.8) sen nx cos mx d x =0 n, m N. (3.9) cos nx d x = sen nx d x = π. Diremo serie di Fourier trigonometric per un funzione f(x) definit su [, π] e scriveremo f(x) cos x + b 1 sen x n cos nx + b n sen nx +... (3.10) un serie di funzioni trigonometriche nell qule 0 = 1 π n = 1 π f(x) dx, f(x) cos nx d x, b n = 1 f(x) sen nx d x π, (3.11) in ccordo con il vlore di c n ottenuto in generle: c n = f(x) φ n(x) w(x) dx φ n(x) w(x) dx. Qui si è preferito scrivere 0 simmetri nelle formule. l posto di c 0, per consentire un mggiore Or s N (x) = N 0 + ( n cos nx + b n sen nx) =

6 15 CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: UN ACCENNO = 1 π = 1 π f(t) { 1 N + (cos nx cos nt + sen nx sen nt)} dt= f(t) { 1 N + cos n(x t)} dt. Si osservi che { 1 N + cos ny} sen ( 1 y)=1 sen (1 y)+1 [sen (n + 1 )y sen (n 1 )y] = = 1 {sen (1 y) + sen (3 y) sen (1 y)+...+ sen (N + 1 )y sen (N 1 )y} = = 1 sen (N + 1 )y. Dunque e quindi 1 N + cos ny = 1 sen (N + 1 )y sen ( 1 y) (3.1) s N (x) = 1 π f(t) sen (N + 1 )(t x) sen ( t x ) dt. Se ponimo t = x + τ, llor τ [ x, π x] e si trov s N (x) = 1 π x x f(x + τ) sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ. Prolungndo per periodicità f(x) fuori d [, π], vendo definito f(x + πn) = f(x), per n = 0, ±1, ±,..., llor nche s N (x) è periodic di periodo π e l integrle esteso [ x, π x] è ugule ll integrle esteso [, π]. Cioè s N (x) = 1 π 3.4 Convergenz puntule Integrndo l equzione (3.1) su [, π], si trov π = 1 f(x + τ) sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ. (3.13) sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ.

7 3.4. CONVERGENZA PUNTUALE 153 Tenendo conto di quest uguglinz e dell (3.13) si ottiene s N (x) f(x) = 1 π 1 f(x) π = 1 π f(x + τ) sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ = [ f(x + τ) f(x) ]sen (N + 1 )τ sen ( τ ) dτ.(3.14) Le funzioni sen (N + 1 )τ, N =0, 1,,... sono ortogonli e soddisfno le condizioni del Lemm di Riemnn Lebesgue. Allor, se f(x + τ) f(x) sen ( τ ) dτ <+, ossi se, equivlentemente, f(x + τ) f(x) dτ <+ τ, (3.15) si trov che, per ogni x R, vle s N (x) =f(x). (3.16) N Dunque c è convergenz puntule dell serie di Fourier f(x) se l funzione periodic di periodo π soddisf l condizione (3.15) dett Criterio di Dini. Osservimo che, ffinché vlg l (3.15), non è sufficiente che f(x) si continu nel punto x. Inftti un serie di Fourier può divergere in punti nei quli f(x) è continu se l condizione di Dini è violt. Se f(x) è ssolutmente integrbile e derivbile in un punto x, llor l serie di Fourier converge f(x). Più in generle, se in un intorno di x l funzione èhölderin, cioè se esistono M>0eα>0(eα 1) tli che f(x) f(y) M x y α, llor l serie di Fourier è convergente. Si può dimostrre che se f non è continu in x, m h iti finiti d destr e d sinistr, che indicheremo rispettivmente con f(x+) e f(x ), e vle l condizione di Dini generlizzt llor f(x + τ) f(x+) + f(x τ) f(x )) dτ <+, (3.17) τ s N(x) = 1 [f(x+) + f(x )]. (3.18) N

8 154 CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: UN ACCENNO 3.5 Convergenz uniforme D qunto bbimo ppen detto segue che, ffinché s N (x) converg uniformemente f(x) l funzione deve essere continu e inoltre deve vlere f() = f(π). Queste condizioni non sono tuttvi sufficienti. Supponimo che f(x) si continu, periodic di periodo π echef (x) si continu trnne che in un numero finito di punti dove può non essere π definit. Supponimo inoltre che si finito (f (x)) dx e che vlg l formul f(x) f() = x f (t) dt. Si f(x) cos x + b 1 sen x n cos nx + b n sen nx +... ; clcolimo i coefficienti di F. di f (x). α n = 1 π f (x) cos nx d x = 1 π {f(x) cos nx π + n f(x)sen nxdx} = = 1 π cos nπ{f(π) f()} + n π Anlogmente β n = n n. Dunque f (x) f(x)sen nx d x = nb n. (nb n cos nx n n sen nx). L disuguglinz di Bessel dà n ( n + b n) 1 π Or s N (x) s M (x) = ( M n=n+1 n ( n + b n) ) 1/ ( M n=n+1 M n=n+1 Bunikovski-Schwrz. Dunque s N (x) s M (x) (f (x)) dx. (3.19) ( n cos nx + b n sen nx) e s N (x) s M (x) 1 π π 1 n )1/, per l disuguglinz di Cuchy - f (x) dx M n=n+1 1 n. (3.0)

9 3.6. CAMBIAMENTO DI SCALA 155 Poiché l serie 1 n converge, possimo concludere che, per il criterio generle di convergenz di Cuchy, l successione s N (x) converge uniformemente ll su somm. Si trov poi che l somm è proprio f(x). Inftti si h f(x ) f(x 1 ) = x x 1 f (t) dt x x f (t) dt 1 dt x 1 x 1 x x 1 1 f (t) dt K x x 1 1. Dunque f(x) èhölderin con esponente α = 1 e quindi l serie di Fourier, per ogni x, converge f(x). In prticolre, c è convergenz uniforme f(x) sef (x) èhölderin o se nel numero finito di punti nei quli non è continu h iti finiti d destr e d sinistr. Si dimostr poi che l serie di Fourier di un funzione qudrto sommbile converge in medi qudrtic. Cioè che se N f (x) dx<. f(x) sn (x) dx=0, Ciò signific che il sistem ortogonle {1, cos x, sen x,...,cos nx, sen nx,...} è completo. 3.6 Cmbimento di scl Finor bbimo supposto f(x) definit su [, π]. Supponimo or che si definit su un generico intervllo [, b]. L sostituzione di vribile +b π(x x = ), b port [, b] in[, π]. Si trov poi x = b π x + 1 ( + b). Dt f(x) su[, b], F ( x) =f( b π x + 1 ( + b)) è definit su [, π]. L serie di Fourier di F ( x) si cos x + b 1 sen x n cos nx + b n sen nx +...,

10 156 CAPITOLO 3. SERIE DI FOURIER: UN ACCENNO con n = 1 π b n = 1 π Allor F ( x) cos n xd x F ( x) sen n xd x. n = b n = b b f(x) cos nπ b (x + b ) dx (3.1) f(x) sen nπ b (x + b ) dx. (3.) In prticolre, se f(x) è definit tr 0 e l e l prolunghimo per prità (disprità) tr l e l, n = l (b n = l l 0 l 3.7 Qulche esempio Si f(x) =x su [, π]. Allor n = 0 per ogni n e Perciò b n = 1 π 0 f(x) cos nπ (x) dx (3.3) l f(x) sen nπ (x) dx). (3.4) l x sen nx d x = ( 1)n n ( 1) n x n sen nx = sen x sen x + 3 sen 3x sen 4x In questo cso l uguglinz di Prsevl fornisce 1 4 n = 1 x dx= π 3 π Dunque 1 n = π 6..

11 3.7. QUALCHE ESEMPIO 157 Se f(x) =x su [, π], 0 = π 3 e n =( 1) n 4 n,pern 1, mentre b n = 0 per ogni n. Allor x π 3 +4 ( 1) n n cos nx = π 3 4 cos x + cos x 4 cos 3x In x = 0 l serie converge e si trov 0 = π 3 4 ( ). Cioè 3 ( 1) n 1 n = π 1. Bibliogrfi 1. L. Amerio, Elementi di nlisi superiore, Tmburini, Milno (1960).. R. Cournt e D. Hilbert, Methods of mthemticl physics, Vol. I, Interscience, New York (196). 3. V. Smirnov, Cours de mthémtiques supérieures, Vol. II, Éditions MIR, Moscou (1970) 4. A. Sommerfeld, Prtil differentil equtions in physics, Acdemic Press Publ., New York (1949). 5. H. F. Weinberger, A first course in prtil differentil equtions, John Wiley & Sons, New York (1965).