INTEGRAL IMPROPRI. C.d.L in Fisica Lecce, a.a. 2011/ Le definizioni... pag Criteri di integrabilità... pag Esercizi... pag.

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1 INTEGRAL IMPROPRI (Cosimo De Mitri). Le definizioni... pg.. Criteri di integrbilità... pg Esercizi... pg. C.d.L in Fisic Lecce,.. /

2 INTEGRALI IMPROPRI (C. De Mitri). Le definizioni I concetti di integrbilità e di integrle sono stti trttti con riferimento funzioni limitte su intervlli limitti. Ci proponimo or di eliminre l condizione di limittezz si sull funzione integrnd si sull intervllo di integrzione. Gli integrli che si ottengono in questo modo vengono detti impropri o generlizzti. Arriveremo trttre il cso generle (Defin/ne.4) solo dopo ver nlizzto tre csi prticolri, in ciscuno dei quli vremo che fre con un funzione integrnd locl/te limitt nell intervllo di integrzione. Definizione.. Dti, b IR con < b, si f C ([, b[), f illimitt negli intorni di b. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [, b[ se l i m f() d IR. h b Nel cso che il limite esist (dunque nche qundo esso è o + ), si pone b f() d = l i m f() d, e questo numero h b è detto integrle improprio (o generlizzto) di f in [, b[. Spesso ci si esprime dicendo che f h in [, b[ integrle improprio convergente, divergente o indeterminto, second che il limite suddetto si finito, infinito, oppure non esist. L defin/ne può essere intermente riscritt, con ovvie modifiche, fcendo riferimento l cso in cui i punti e b bbino i ruoli scmbiti, quello cioè in cui si bbi che fre con un funzione f C (], b]) illimitt negli intorni di ; in questo cso si definisce b b f() d = l i m f() d, sempre condizione che questo limite esist. h + h Allo scopo di evitre inutili ripetizioni, nel prosieguo dell presente trttzione si frà riferimento preferibilmente l cso contemplto nell Defin/ne.. Osservzione.. Se l funzione f h segno costnte in [, b[ (o lmeno in un intorno sinistro di b), llor l funzione F : h [, b[ f() d è monoton in [, b[ (oppure, rispett/te, in un intorno sinistro di b), e pertnto il limite citto nell Defin/ne. esiste senz ltro. Se in prticolre risult f() (oppure f() ) [, b[, llor b f() d = s u p h [,b[ f() d (oppure, rispett/te, b f() d = i n f f() d). h [,b[

3 Esempio.. Considerimo, per ogni α IR +, l funzione f α () =, ], ]. α Si vede che f α C (], ]) e, h ], [, si clcol che { h α h f α() d = α se α, d cui segue che log { h se α = l i m h + h f α() d = α se α < + se α. Pertnto f α è impropr/te integrbile in ], ] se e solo se { α se α < + se α. Chirmente l esempio si può generlizzre, con risultti α <, e risult, α IR +, f α() d = nloghi, l cso dell funzione f α () = ( ) α, ], b]. Esempio.. Considerimo l π tg d. Posto f() = tg, si vede che f C ([, π [) e, h ], π [, si clcol che tg d =... = log cos h +. h π Si conclude che f non è impropr/te integrbile in [, π [, e, più precismente, che f h in [, π [ integrle improprio divergente, nel senso che π tg d = +. Definizione.. Si f C ([, + [), con IR. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [, + [ se l i m f() d IR. h + Nel cso che il limite esist (dunque nche qundo esso è o + ), si pone f() d = l i m f() d, h + e questo numero è detto integrle improprio (o generlizzto) di f in [, + [. Spesso si us dire che f h in [,+ [ integrle improprio convergente, divergente o indeterminto, second che il limite suddetto si finito, infinito, oppure non esist. L defin/ne può essere intermente riscritt, con ovvie modifiche, fcendo riferimento l cso in cui si bbi che fre con un funzione f C (], b]); in questo cso si definisce b b f() d = l i m f() d, sempre condizione che questo limite esist. h h Allo scopo di evitre inutili ripetizioni, nel prosieguo dell presente trttzione si frà riferimento preferibilmente l cso contemplto nell Defin/ne.. Osservzione.. Se l funzione f h segno costnte in [, + [ (o lmeno in un intorno di + ), llor l funzione F : h [, + [ f() d è monoton in [, + [ (oppure, rispett/te, in un intorno di + ), e pertnto il limite citto nell Defin/ne. esiste senz ltro. Se in prticolre risult f() (oppure f() ) [, + [, llor f() d = s u p h f() d (oppure, rispett/te, f() d = i n f f() d). h

4 Esempio.3. Considerimo, per ogni α IR +, l funzione f α () = α, [, + [. Si riconosce che f α C ([, + [[ e, h >, si clcol che f α() d = cui segue che l i m h + { h α α se α log h se α =, d { f α() d = α se α > + se α. Si conclude che f α è impropr/te integrbile in [, + [ se e solo se α >, e che risult, α IR +, { f α () d = α se α > + se α. Esempio.4. Considerimo l Posto f() = d., si vede che f C ([, + [) e, h >, si clcol che h f() d =... = ( h h + rctg h ) h + π. Si conclude che f è impropr/te integrbile in [, + [ e che f() d = π. Osservzione.3. Sino f, g C ([, b[), essendo IR e b IR con b >. A proposito dell somm f + g, è fcile riconoscere che: -) se f e g sono impropr/te integrbili in [, b[, llor nche f +g è impropr/te integrbile in [, b[; -) sussiste sempre l uguglinz b (f() + g()) d = b f() d + b g() d, sotto l unic condizione che il o membro non si del tipo. Nel cso dell integrle dell Esempio.4, questo non potev essere clcolto come differenz degli integrli + d e + d, dto che, come fcilmete si verific, questi risultno entrmbi divergenti positivmente. Fin qui bbimo trttto csi in cui l improprietà rigurd uno solo dei due estremi di integrzione. Nell defin/ne che segue è considerto il cso in cui l condizione di improprietà sussiste in entrmbi gli estremi. Allo scopo di condensre più csi in un unic formulzione, fremo riferimento d un intervllo ], b[ che potrà essere limitto oppure illimitto infer/te e/o super/te. Si verific con fcilità che, dt f C (], b[) e presi c, c ], b[, gli integrli impropri c f() d e c f() d hnno lo stesso crttere ; e ciò vle nche per l coppi degli b integrli impropri c f() d e b c f() d. Inoltre, nel cso che i suddetti integrli impropri esistno, si riconosce che c f() d + b c f() d = c f() d + b c f() d, sempre che non si si in presenz dell form indetermint. Tutto ciò f sì che l definizione seguente si ben post. 3

5 Definizione.3. Si f C (], b[), con < b + ; se IR, f si illimitt negli intorni di, ed nlog condizione vlg nche per l estremo b. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in ], b[ se, preso un qulunque c ], b[, si h che f è impropr/te integrbile si in ], c] si in [c, b[. Nel cso che esistno entrmbi gli integrli impropri, c f() d e b f() d, e non sino due infiniti opposti, si pone b c f() d = c f() d + b f() d, e questo numero è detto integrle improprio (o generlizzto) c di f in ], b[. Esempio.5. Considerimo l e d. Posto f() = e, si vede che f C (], + [). Si clcol: ε f() d =... = (e ε e ) ( e ), ε + cosicché risult f() d = ( e ); ed ncor: f() d =... = (e e h ) h + e, cosicché risult f() d = e. Concludimo che f è integrbile in ], + [ e che f() d = ( e ) + e =. Osservzione.4. Nel cso dell funzione f dell Defin/ne.3, un ltro modo per stbilire l integrbilità e clcolre l integrle è quello di fre ricorso l l k h i m l k b i m f() d h k oppure l l k b i m l h i m f() d, dove però i limiti interni devono essere finiti. h Così, per l integrle dell Esempio.5, si può procedere nel seguente modo: ε f() d =... = (e ε e h ) ( e h ). ε + h + Aggiungimo che in questo cso, come del resto in tutti quelli in cui l funzione h segno costnte, è possibile limitrsi d introdurre un solo prmetro, dl qule si frnno dipendere entrmbi gli estremi di integrzione. In effetti, sempre con riferimento l medesimo integrle, si clcol: f() d =... = (e h e h ). h + h Esempio.6. Considerimo l + d. Posto f() = +, si vede che f C (], + [). Si h: h f() d = h + d =... = (rctg 3 rctg h ) h (rctg 3 + π ), cosicché risult ed ncor: f() d = risult f() d = 3 f() d = (rctg 3 + π ); + d =... = 3 log 4. (log h h+ log 4 ) h + 3 log 4, cosicché In definitiv, f è integrbile in ], + [ e f() d = (rctg 3 + π ) log 4.

6 Esempio.. Considerimo l IR e d. Posto f() = e, si vede che f C (IR)). Si clcol: h f() d =... = (h )eh, h cosicché risult f() d = ; ed ncor: f() d =... = (h )eh + +, h + cosicché risult f() d = +. Concludimo che f non è integrbile in IR e che f() d = +. IR Nell defin/ne che segue viene infine trttto il cso generle, in cui l improprietà rigurd un numero finito di punti, lcuni dei quli dunque possono essere nche interni ll intervllo di integrzione. Definizione.4. Sino I un intervllo di IR, S un suo sottoinsieme finito, f un funzione di C (I \ S), illimitt negli intorni di ciscun punto di S. Si dice che f è integrbile in senso improprio (o generlizzto) in I se lo è in ciscuno dei sottointervlli nei quli I rest diviso di punti di S. Nel cso che esistno tutti gli integrli estesi i suddetti sottointervlli e l loro somm non è indetermint, quest è indict con b f() d, dove e b sono gli estremi di I, ed è chimt integrle improprio (o generlizzto) di f in I. Esempio.8. Considerimo l e e 3 log d. Posto f() = 3 log, si vede che f C ([e, [ ], e]). Si clcol: f() d =... = 3 e ( 3 log h ) cosicché f() d = 3 e ; ed ncor: e h f() d =... = 3 ( 3 log 3 h) h +, cosicché e f() d = 3. Concludimo che f è integrbile in [e, e] e che e f() d = 3 e + 3 = 3., h 3 5

7 . Criteri di integrbilità In questo prgrfo fremo riferimento preferibilmente funzioni di C ([, b[), con < < b +, illimitte negli intorni di b se b IR; m ovvimente i risultti potrnno essere estesi tutte le ltre situzioni che dnno luogo d integrli impropri. Lo scopo è quello di presentre dei criteri con i quli si possibile stbilire l integrbilità in senso improprio in [, b[ di un dt funzione f senz pssre ttrverso il clcolo dell b f() d. Definizione.. Si f come nell premess. Si dice che f è sommbile in [, b[, oppure ssolut/te integrbile in senso improprio (o generlizzto) in [, b[ se l funzione f è impropr/te integrbile in [, b[. Proposizione.. Dt f come nell premess, llor: ) f sommbile in [, b[ f + ed f impropr/te integr/li in [, b[; b) f sommbile in [, b[ = f impropr/te integr/le in [, b[ e b f() d b f() d. Dim.(). Risult, h ], b[, f() d = f + () d + f () d ; ne segue che l integrle primo membro h limite finito per h b se e solo se ciscuno dei due integrli secondo membro h limite finito per h b. Dim.(b). Risult, h ], b[, f() d = f + () d f () d ; ne segue, cus dell ipotesi e tenendo conto di qunto già provto, che l integrle primo membro h limite finito perché ciscuno dei due integrli secondo membro h limite finito per h b. L second prte dell tesi segue dll disuguglinz f() d f() d, vlid h ], b[, pssndo l limite per h b Si vedrà che esistono funzioni impropr/te integrbili in [, b[ che non sono ssolut/te integrbili in senso improprio in [, b[ ; è chiro che queste funzioni ssumono in ogni intorno di b vlori si positivi si negtivi, e per esse si h b f + () d = b f () d = +. Proposizione. (criterio del confronto). Si f come nell premess. Se esistono [, b[ e g C ([, b[) tli che [, b[ f() g(), llor, se g è impropr/te integrbile in [, b[, nche f è impropr/te integrbile in [, b[. Dim. Intnto le Osserv/ni. e. grntiscono che il l h b i m f() d esiste. Risult, h ], b[, f() d = f() d + f() d f() d + g() d ; ne segue che, se è finito il l h b i m g() d, llor è finito nche il l h b i m f() d 6

8 Esempio.. L funzione f() = e è impropr/te integrbile in [, + [. Inftti l funzione g definit d g() = è impropr/te integrbile in [, + [, e risult ivi e. Esempio.. L funzione f() = sen è ssolut/te integrbile in senso improprio, e quindi nche integrbile in senso improprio, in ], + [. Risult inftti f() ], ], ed è noto che l funzione g () = è impropr/te integrbile in ], ]; ed ncor, si h che f() [, + [, ed è noto che l funzione g () = è impropr/te integrbi- le in [, + ]. 3 4 sen cos +sen Esempio.3. L funzione g() = non è impropr/te integrbile né nell intervllo ], ] né nell intervllo [, + [. 3 sen Risult inftti g() = +sen = > si in ], ] si in [, + [, cosicché, in ciscuno di questi intervlli, se fosse impropr/te integrbile l funzione ssegnt, lo srebbe nche l funzione f() =. Esempio.4. Gli integrli sen d e cos d, detti integrli di Fresnel, sono convergenti. Per dimostrre che esiste finito il l i m h + sen d, osservimo che, h >, risult sen d = sen d + sen d = sen d h h d cos = sen d + cos h (cos h ) cos d, cosicché il problem divent quello di dimostrre che è impropr/te integrbile in [, + [ cos l funzione ; e diftti quest funzione è nche ssolut/te integrbile in [, + [, cos dto che risult ivi. In modo nlogo si procede per il secondo integrle. Osservzione.. A proposito degli integrli impropri su intervlli del tipo [, + [, l esempio precedente dimostr che, dispetto delle evidenti nlogie fr il comportmento di questi integrli ed il comportmento delle serie numeriche, può ccdere che un f C ([, + [) bbi in [, + [ integrle improprio convergente pur senz essere infinitesim per +. D ltr prte, se l f() d converge ed esiste il l i m +. In ltri termini, dt f C ([, + [), se l i m + l f() d non converge, e precismente risult cso d esempio l >, esistono ed M IR + e dunque risult, h >, f() d f() d + M(h ). f(), questo non può che essere f() = l con l IR ed l, llor f() d = l (+ ) ; inftti, nel tli che f() M [, + [,

9 Esempio.5. L funzione f() = sen in [, + [. è impropr/te integrbile m non sommbile Per provre che esiste finito il l i m f() d, osservimo che, integrndo per prti h + con d cos fttore differenzile, si ricv che, cos h f() d =... = cos h d, cosicchè il problem divent quello h ],+ [, cos di dimostrre che è impropr/te integrbile in [, + [ l funzione cos. E diftti quest funzione in [, + [ è nche ssolut/te integrbile, dto che risult ivi cos. Per provre che l nostr f non è ssolut/te integrbile in [, + [, osservimo preliminrmente che, k IN, π+kπ kπ (k+)π. Ne segue che, n IN, nπ π n k+ sen d sen π+kπ π+kπ d nπ π kπ sen d = sen d = n π π+kπ π+kπ kπ k= sen d = sen d. D qui discende l tesi, pssndo l limite per n + e tenendo conto del k= ftto che l serie rmonic diverge. Proposizione.3 (criterio del confronto sintotico). Sino f e g come nell premess, entrmbe positive intorno b. Se f() g() per b, llor gli integrli impropri b f() d e b g() d o convergono entrmbi o divergono entrmbi. f() Dim. Dl ftto che l b i m g() = discende che f() g() 3 intorno b, e dunque g() f() 3 g() intorno b; d qui segue l tesi grzie l criterio del confronto Esempio.6. L funzione f() = 3 4 è impropr/te integrbile in ], + [. Si osserv inftti che, per +, f() = ( ) /3, e, per +, f() 4/3 ; d ciò segue, per il criterio del confronto sintotico, che f è impropr/te integrbile si in ], ] si in [, + [. Se, per l funzione f in [, b[, ssumimo come termine di prgone le funzioni (b ) λ nel cso b IR e nel cso b = +, similmente come è stto nel precedente esempio, λ dl criterio del confronto ricvimo rispett/te i due criteri che seguono. Proposizione.4 (criterio dell ordine di infinito). Si f C ([, b[), con b IR. ) Se λ < tle che f si infinit d ordine minore di λ o ugule λ per b, llor f è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, b[. b) Se f è infinit d ordine mggiore di o ugule d per b, llor f non è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, b[. Dim. Considerimo soltnto, mo d esempio, il cso che f si un infinito d ordine minore di un λ < per b. Dunque risult l i m (b )λ f() =, d cui segue b che f() (b ) λ per intorno b, ed è noto che l b 8 (b ) λ d converge

10 Esempio.. Considerimo, l vrire di α IR, l / α log d. Posto f() = α log, si riconosce che f C (], ]). Se α, risult l i m + f() =, cosicché f è integrbile secondo Riemnn in [, ]. Se < α <, l integrle converge perché f è infinit d ordine minore di α per +. Se α =, il criterio precedente è inpplicbile, essendo f infinit per + d ordine minore di e mggiore di ogni λ ], [ ; si clcol / ε log d = [ log log ]/ ε = log log log log ε, cosicché l integrle ssegnto diverge negtivmente. ε + Se α >, l integrle diverge perché f è infinit d ordine mggiore di per +. Proposizione.5 (criterio dell ordine di infinitesimo). Si f C ([, + [). ) Se λ > tle che f si infinitesim d ordine mggiore di λ o ugule λ per +, llor f è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, + [. b) Se f è infinitesim d ordine minore di o ugule d per +, llor f non è ssolut/te integrbile in senso improprio in [, + [. Dim. Considerimo soltnto, mo d esempio, il cso che f si un infinitesimo d ordine mggiore di un λ > per +. Dunque risult l i m λ f() =, d cui segue + che f() per intorno +, ed è noto che l λ Esempio.8. Considerimo, l vrire di α IR, l log d. α Posto f() = log, si riconosce che f C ([, + [). α Se α, risult l i m f() = +, e l integrle + ssegnto diverge (si ved l Osserv/ne.). Se < α, l integrle diverge perché f è infinitesim d ordine minore di per +. λ d converge Se α >, l integrle converge perché f è, per +, infinitesim d ordine mggiore, che è mggiore di. di α+ Esempio.9. Discutimo l integrbilità di f() = Si osserv nzitutto che f C (], [ ], + [). Si clcol l i m f() =, e quindi f è integrbile in senso ordinrio nell intorno destro + del punto. log Per si h f() = (+)( )+log 3 / (infinito d ordine ); ne segue che f è ssol/te integrbile in senso improprio nell intorno del punto. log Infine si vede che per + f() (infinitesimo d ordine mggiore di 3 ); ne segue che f è integrbile in senso improprio nell intorno di +. Si conclude che l funzione ssegnt è ssol/te integrbile in senso improprio nell intervllo ], + [. log +log su ], + [. 9

11 3. Esercizi. Clcolre i seguenti integrli: log d, 3 log d, ++3 d, d. e e 3 log 4 d, 5. Dimostrre per induzione che n IN n e d = n!. 3. Discutere i seguenti integrli: sen(/ ) + log d, ( 5) 4 d, log log( ) d. 4. Clcolre i seguenti integrli: log d, log d, log d. A quli di essi si può pplicre il criterio dell ordine di infinito o infinitesimo? 5. Discutere e clcolre i seguenti integrli: rcsen d, log (+) d, 6. Discutere, l vrire di α IR +, l. Discutere l d, (+3) e ( +) senh d. α α(+) 3 + d, e clcolrlo per α =. α d per α IR, e clcolrlo per α =,, 3, Discutere l π (α sen α ) d per α IR, e clcolrlo per α = 3,,, 3, Discutere l α rctg d per α IR, e clcolrlo per α =.. Discutere l π sen(+α) cos +sen d per α IR, e clcolrlo per α =.. Discutere, per α IR +, l t α α t dt, e clcolre il l i m + t α α t dt.. Dimostrre che log(+) d = + e che 3. Posto f() = 3 sen 3 sen, si clcol: ) π 6 f() d = l i m b) π 6 f() d = π 6 π π 3 π 6 ε + ε log(+) d log per +. f() d = l i m [log tg 3 ε + tg ] π 6 ε =... = log log 3; 3 sen 3 d π 6 sen d = [log tg ] π π = 3 log 3. Dire qule dei due clcoli è sbglito. 4. Clcolre l i m + + t t sen t dt. sen d = π sen d π 3 sen d = 5. Studire e rppresentre grficmente le funzioni f e g definite rispett/te d f() = log t d, g() = 3 3 log t dt.