Matematica generale CTF

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1 L integrle di Riemn 2 dicembre 2015

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3 Somme di Drboux Considerimo con un funzione sempre positiv, limitt (non necessrimente continu) e definit su un intervllo: f : [, b] R e cerchimo di clcolre l re dell prte di pino compres tr l funzione e l sse x limittmente ll intervllo [, b] suddividendo l intervllo in n intervllini uguli di estremi x i e x i+1. Chimimo x 0 =, x n = b e vi vi tutti gli ltri x i srnno compresi tr e b. Su ogni intervllo [x i, x i+1 ] l funzione f (x) mmette un estremo inferiore e un estremo superiore, che chimeremo: m i = inf f (x) M i = sup f (x) [x i,x i+1 ] [x i,x i+1 ]

4 Somme di Drboux Possimo pprossimre l re cerct per difetto con l somm dei rettngoli che hnno come bse x i+i x i e come ltezz m i, oppure possimo pprossimrl per eccesso con l somm dei rettngoli che hnno come bse x i+i x i e come ltezz M i ; l re A cerct srà compres tr questi due vlori trovti: s n = n m i (x i+i x i ) A i=0 n M i (x i+i x i ) = S n i=0

5 Somme di Drboux Chimimo l pprossimzione per difetto somme inferiori (o somme inferiori di Drboux) s n e quell per eccesso somme superiori (o somme superiori di Drboux) S n. Tle re può essere pprossimt meglio se gli intervlli diventno sempre più piccoli e fcendo quindi tendere n ll infinito. Rendendo più fine l prtizione dell intervllo le somme inferiori diventno sempre più grndi e vicevers le somme superiori diventno sempre più piccole, tendendo sempre più entrmbe ll re rele.

6 Integrle di Riemnn Chimimo P l insieme di tutte le possibili prtizioni p dell intervllo [, b]. Fr tutte le p, esisterà un estremo superiore per le somme inferiori e un estremo inferiore per le somme superiori: s = sup s n p P S = sup S n p P L re cerct srà sempre compres tr s A S. Se s = S llor nche A = s = S e in questo cso si dice l funzione è integrbile secondo Riemnn e si indic A = b f = b f (x)dx

7 Integrle di Riemnn Not bene: l equivlenz tr clcolo dell re e il clcolo dell integrle è dovut l ftto di prendere in considerzione funzioni sempre positive. Con l definizione che bbimo dto se l funzione fosse stt negtiv per lcuni trtti vremmo trovto un re negtiv. L integrle di Riemnn misur quindi le ree in senso lgebrico cioè consider negtive le ree che stnno sotto l sse x. Per determinre l re ver e propri, cioè sommndo (e non sottrendo) nche le ree che si trovno sotto l sse x, dovremmo ribltre tutto ciò che st sotto l sse con un simmetri rispetto ll sse x. Per frlo utilizzimo pertnto l funzione vlore ssoluto e l pplichimo ll nostr funzione: f (x). L re diventerà quindi: A = b f

8 Funzione di Dirichlet E molto rro trovre un funzione che non si integrbile secondo Riemnn, l mggior prte delle funzioni con cui bbimo vuto che fre sono sempre stte funzioni integrbili. Uno dei pochi esempi noti è il seguente:

9 Funzione di Dirichlet E molto rro trovre un funzione che non si integrbile secondo Riemnn, l mggior prte delle funzioni con cui bbimo vuto che fre sono sempre stte funzioni integrbili. Uno dei pochi esempi noti è il seguente: considerimo l funzione di Dirichlet χ(x). Ess è definit d { 1 x Q χ(x) = 1 x R Q

10 Funzione di Dirichlet E molto rro trovre un funzione che non si integrbile secondo Riemnn, l mggior prte delle funzioni con cui bbimo vuto che fre sono sempre stte funzioni integrbili. Uno dei pochi esempi noti è il seguente: considerimo l funzione di Dirichlet χ(x). Ess è definit d { 1 x Q χ(x) = 1 x R Q E un funzione impossibile d rppresentre grficmente. Le somme inferiori sono sempre uguli 1 e le somme superiori sono sempre uguli 1 perché per qunto si fine l suddivisione in intervllini, Q è denso in R e quindi ll interno dell intervllino ci srà sempre si un numero rzionle che un numero irrzionle.

11 Continuità, monotoni e integrbilità Se considerimo un intervllo chiuso e un funzione limitt definit su tle intervllo ci ccorgimo ltresì che l continuità è un condizione sufficiente m non necessri per l integrbilità.

12 Continuità, monotoni e integrbilità Se considerimo un intervllo chiuso e un funzione limitt definit su tle intervllo ci ccorgimo ltresì che l continuità è un condizione sufficiente m non necessri per l integrbilità. Si f : [, b] R llor 1. se f è limitt e continu trnne l più per un numero finito di punti llor è integrbile 2. se f è monotòn (nche con infinite discontinuità) llor è integrbile. E chiro che non vle il vicevers, un funzione integrbile non è necessrimente né continu né monotòn.

13 Considerimo un funzione integrbile f [, b] R sull intervllo [, b]. L definizione di integrle di Riemnn per tle funzione si può estendere con le seguenti convenzioni: f = 0 b b f = f cioè se integrimo su un insieme di misur null ottenimo un re di misur null e se scmbimo gli estremi di integrzione e ndimo d destr verso sinistr le ree vengono considerte con segno negtivo.

14 Linerità Se f e g sono funzioni integrbili definite sull intervllo [, b] e k, h sono due numeri reli llor k f + h g è ncor un funzione integrbile e vle l seguente relzione: b (k f + h g) = k b b f + h g

15 Additività In questo cso si prl di dditività dell integrle rispetto l dominio di definizione. Si dt f : I R. Allor, b, c I con < c < b, vle: b f = c b f + f c o equivlentemente, b c b f f = f c

16 Disuguglinz tringolre Ricordimo che l re che sottende il grfico di un funzione f : [, b] R è dt d b f. In generle un funzione f può essere integrbile nche se f non lo è (si pensi ll funzione di Dirichlet), vicevers, se f è integrbile lo è nche f. Ed è proprio per le precedenti considerzioni che vle l seguente disuguglinz: b b f f

17 Positività Se f : [, b] R è integrbile su [, b] e f (x) 0 per ogni x [, b] llor b f 0. Se invece f, oltre essere sempre non negtiv, è nche un funzione continu e b f = 0 llor necessrimente f (x) = 0 x [, b].

18 Monotoni Sino f, g : [, b] R due funzioni integrbili tli che f (x) g(x) per ogni x [, b] llor vle sempre b f b g

19 Medi integrle Si definisce medi integrle di un funzione f integrbile sull intervllo [, b] il numero µ = 1 b f (x)dx b

20 Medi integrle Si definisce medi integrle di un funzione f integrbile sull intervllo [, b] il numero µ = 1 b f (x)dx b Tle numero rppresent l ltezz del rettngolo di bse b che h re equivlente ll re compres tr l curv e l sse x per l funzione f.

21 Teorem dell medi integrle Si può dimostrre che se f : [, b] R è continu llor esiste c [, b] tle che 1 b f (x)dx = f (c) b

22 Teorem dell medi integrle Si può dimostrre che se f : [, b] R è continu llor esiste c [, b] tle che 1 b f (x)dx = f (c) b Il teorem ci dice che esiste un punto dell immgine di f, f (c) corrispondente d un punto c [, b], per cui l re del rettngolo di bse b e ltezz f (c) è ugule ll re sottostnte il grfico dell funzione.

23 Teorem dell medi integrle Dimostrzione Osservimo prim di tutto che, per il Teorem di Weierstrss, un funzione continu definit su un intervllo chiuso mmette sempre mssimo e minimo ssoluto. Se m e M sono rispettivmente minimo e mssimo di f, m f (x) M. L re compres tr l curv e l sse x srà quindi compres tr b m(b ) f M(b ) m 1 b f M b Poiché, per il teorem dei vlori intermedi per le funzioni continue f (x) ssume tutti i vlori compresi tr m e M esisterà sicurmente un punto c tle che f (c) = 1 b f b

24 Funzioni integrli Supponimo di vere sempre che fre con un funzione f integrbile su un intervllo [, b] e di integrre tle funzione mntenendo fisso l estremo e fcendo vrire il secondo estremo t tr e b. Ottenimo un funzione che clcol l re sotto ll curv y = f (x) l vrire di t, se chimimo F (t) tle funzione ess può essere descritt nel modo seguente 1 : F (t) = x f (x)dx 1 Non è possibile utilizzre l stess vribile si per l funzione integrnd che per l funzione integrle, per questo bbimo ftto uso di un vribile usiliri.

25 Il clcolo integrle non vrebbe vuto forse un importnz così rilevnte se non fosse strettmente collegto lle primitive delle funzioni integrnde. Il legme tr il clcolo integrle e le primitive delle funzioni è stto messo in evidenz con il cosiddetto teorem fondmentle del clcolo integrle, suddiviso in due prti, l prim dett nche di Torricelli-Brrow, l second dett nche formul di Newton-Leibniz.

26 Teorem di Torricelli-Brrow Si f (t) : [, b] R un funzione continu e si F (x) = F (x) è derivbile e F (x) = f (x). x f (t)dt. Allor:

27 Teorem di Torricelli-Brrow Dimostrzione Per dimostrre quest prim prte si utilizz l definizione di derivt di F (x) e il teorem dell medi integrle: = lim h 0 F F (x + h) F (x) (x) = lim = h 0 h x+h x f (t)dt = lim h 0 h x+h f (t)dt x f (t)dt h

28 Teorem di Torricelli-Brrow Dimostrzione Per il teorem dell medi integrle, essendo f continu, esiste sempre un punto c [x, x + h] tle che f (c) = 1 x + h x x+h x f (t)dt x+h x f (t)dt = h f (c) Qundo h 0, essendo c compreso tr x e x + h, c x, h f (c) lim = f (x) h 0 h

29 Formul di Newton-Leibniz Si f (t) : [, b] R un funzione continu e si P(x) un primitiv di f (x). Allor b f (x)dx = P(b) P()

30 Formul di Newton-Leibniz Dimostrzione Definimo l funzione integrle F (x) = x f (x)dx e definimo D(x) = P(x) F (x). Se derivimo l funzione D(x), ottenimo l funzione null perché l derivt di F (x) per l prim prte del teorem vle f (x) mentre l derivt di P(x) è ugule f (x) per su stess definizione: D (x) = 0. Pertnto D(x) = k costnte. Essendo D(x) un funzione costnte, D() = D(b) = k. D(b) = D() P(b) F (b) = P() F () m F () = 0 per come è stt definit, quindi P(b) P() = F (b) = b f (x)dt

31 Formul di Newton-Leibniz Un conseguenz di tle formul, combint con le proprietà dell integrle definito è l seguente: Dte (x) e b(x) funzioni derivbili, Se F (x) = b(x) (x) f (t)dt F (x) = f (b(x))b (x) f ((x)) (x)

32 Qundo prlimo di tecniche di integrzione in reltà ci riferimo tecniche per trovre le primitive, o meglio, si trtt di tecniche volte semplificre l ricerc delle primitive. A volte si us il simbolo di integrle senz estremi di integrzione per indicre che si st cercndo un primitiv. L uso di tle simbolo (integrle indefinito) non h molto senso mtemticmente perché un integrle non può essere definito senz estremi di integrzione. Molti libri di testo però lo utilizzno per indicre ppunto che stimo cercndo un primitiv dell funzione dt. Se F (x) = f (x) F (x) = f (x)dx + C con C R.

33 Primitive immedite In lcuni csi, prtendo dll derivt di funzione composte, si possono dedurre le primitive di lcune funzioni. Quelli che proponimo sono pochi degli innumerevoli csi di derivzione di funzioni composte. Prtendo d esempio dll funzione log(f (x)) e derivndo si ottiene: D(log(f (x))) = f (x) f (x) f (x) dx = log( f (x) ) + C f (x) Tle formul permette di ricvre le primitive dell funzione tn(x): sin x sin x tn x dx = cos x dx = cos x = log( cosx ) + C

34 Primitive immedite Ecco lcuni ltri csi: f n (x)f (x)dx = f n+1 (x) n + 1 e f (x) f (x)dx = e f (x) + C cos(f (x))f (x)dx = sin(f (x)) + C f (x) 1 + f 2 = rctn(f (x)) + C (x) + C n 1

35 Integrzione per prti Dll formul per il clcolo dell derivt del prodotto tr due funzioni si può ricvre l formul di integrzione per prti. Si l integrzione per prti che quell per sostituzione non risolvono l integrle m lo trsformno (in lcuni csi) in uno più semplice.

36 Integrzione per prti Dll formul per il clcolo dell derivt del prodotto tr due funzioni si può ricvre l formul di integrzione per prti. Si l integrzione per prti che quell per sostituzione non risolvono l integrle m lo trsformno (in lcuni csi) in uno più semplice. Sino f, g : [, b] R funzioni derivbili su I, llor vle l seguente relzione: b b f (x)g(x)dx = [f (x)g(x)] b f (x)g (x)dx

37 Integrzione per prti - dimostrzione Dll derivt del prodotto D(f g) = f g + fg integrndo mbo i membri sull intervllo [, b] si ricv: d cui segue l tesi. [f g] b = b b f g + fg

38 Integrzione per prti - esempio L formul di integrzione per prti consente di trovre l primitiv di funzioni come log(x) e rctn(x): log(x)dx = 1 log(x)dx = x log(x) x 1 x = x log(x) x + C

39 Integrzione per sostituzione L formul di integrzione per sostituzione si ricv dll derivt delle funzioni composte.

40 Integrzione per sostituzione L formul di integrzione per sostituzione si ricv dll derivt delle funzioni composte. Si f : [, b] R un funzione integrbile e g(t) un funzione derivbile con gli estremi di integrzione e b che pprtengono ll immgine di g, llor b f (x)dx = g 1 (b) g 1 () f (g(t))g (t)dt L dimostrzione segue direttmente dll derivt delle funzioni composte.

41 Integrzione per sostituzione - esempio Un integrle che richiede un sostituzione molto specile è il seguente: 1 1 x 2 dx 1 Trttndosi di un semicirconferenz di rggio 1 con centro nell origine il risultto dell integrle deve essere π. E difficile però rrivre tle risultto 2 senz effetture un sostituzione (si potrebbe integrre per prti m srebbero richiesti molti clcoli).

42 Integrzione per sostituzione - esempio L sostituzione non bnle è l seguente: x = g(t) = sin t: g(t) = sin t g (t) = cos t g 1 (x) = rcsin x g 1 ( 1) = π 2, g 1 (1) = π x 2 dx = π 2 π 2 π 1 sin 2 2 x cos xdx = cos 2 xdx = = π π 2 2

43 Primitive non elementri Le primitive di molte funzioni non possono essere nemmeno espresse ttrverso funzioni elementri.un esempio clssico è f (x) = e x2 l funzione gussin. Non riusciremo mi trovrne un primitiv in termini di funzioni elementri meno che non usimo l definizione stess di primitiv come funzione integrle: F (x) = x 0 e t2 dt Tle primitiv è un primitiv dell gussin che pss per l origine.

44 Primitive non elementri Questo non signific che l gussin non è integrbile, essendo un funzione continu lo è. Per trovre funzioni non integrbili simo dovuti ricorre definizioni tipo quell di Dirichlet. Il ftto di non riuscire trovre un primitiv non signific che l funzione non si integrbile, d ltr prte nche molte funzioni discontinue sono integrbili. Ogni primitiv può essere espress come funzione integrle, d esempio, l primitiv di f (x) = 2x pssnte per l origine è F (x) = x 2. Ess può nche essere scritt nel modo seguente: F (x) = x 2 = x 0 2t dt

45 Finor bbimo considerto l integrzione di funzioni continue o con discontinuità di slto in qulche punto e bbimo visto che comunque esse sono integrbili. M cos succede se un funzione tende ll infinito in un estremo dell intervllo di definizione? E possibile clcolre l re di un regione illimitt? E se fosse possibile, l re è sempre infinit? Si vrebbe lo stesso problem se l intervllo di integrzione fosse infinito. Si prl in questo cso di integrli in senso generlizzto o integrli impropri. Per cpire meglio di cos si trtt nlizzimo l funzione: 1 x α prim nell intervllo ]0, 1[ poi nell intervllo ]1, + [

46 Primo cso: intervllo finito con un discontinuità di infinito. 1 0 [ ] 1 x 1 α 1 x α dx = = 1 1 α 0 1 α lim x 1 α x 0 1 α L integrzione h senso per α 1, se α = 1, x dx = [log x]1 0 Se α < 1 l integrle è convergente, mentre in tutti gli ltri csi l integrle è divergente.

47 + 1 [ ] 1 x 1 α + x α dx = = 1 1 α 1 1 α lim x 1 α x + 1 α L integrzione h senso per α 1, se α = 1, dx = [log x]+ 1 x Se α > 1 l integrle è convergente, mentre in tutti gli ltri csi l integrle è divergente. Quest ultimo cso è nlogo l cso dell funzione rmonic per le serie numeriche.

48 Per qunto rigurd un qulsisi funzione f (x) si può cpire l convergenz o l divergenz dell integrle confrontndol con le funzioni rmoniche ppen + x 2 citte. Vedimo un esempio: (x 2 + 1) dx 3 0

49 Per qunto rigurd un qulsisi funzione f (x) si può cpire l convergenz o l divergenz dell integrle confrontndol con le funzioni rmoniche ppen + x 2 citte. Vedimo un esempio: (x 2 + 1) dx 3 0 L funzione integrnd non h problemi di discontinuità né in x = 0 in cui vle 0, né in nessun ltro punto dell rett rele visto che il denomintore non si nnull mi. L unico problem è l convergenz dell integrle + : x 2 (x 2 + 1) 3 x 2 x 3 = 1 x per x + L integrle dell funzione rmonic 1 non converge verso infinito perché x α = 1, pertnto l integrle di prtenz diverge.