14 - Integrazione numerica

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1 Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 4 - Integrzione numeric Anno Accdemico 205/206 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

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3 . Introduzione 2. Metodo del punto medio Sebbene l formul fondmentle del clcolo integrle fornisc uno strumento prezioso per vlutre un integrle definito, vi sono csi in qui quest formul non può essere sfruttt, in qunto l ntiderivt dell funzione integrnd non può essere espress trmite un combinzione finit di funzioni elementri (seno, logritmo, potenze, ecc.). Un esempio clssico in sttistic è il clcolo dell probbilità di eventi che seguono un distribuzione Gussin (o Normle). Inftti, considerndo nche l form più semplice di quest distribuzione (medi 0 e vrinz ), l funzione densità di probbilità è: f(x) = 2 π e x2 2. Dt quest funzione densità, l probbilità che l vribile letori x ssum vlori compresi tr e b si clcol come: f(x)dx = 2 π e x2 2 dx. Sebbene l funzione e x2 2 si integrbile (l funzione è continu in tutto il suo dominio), non è possibile esprimere l su ntiderivt trmite un combinzione finit di funzioni elementri. In questo cso è necessrio ricorrere metodi numerici. Studieremo (tr i tnti) tre metodi numerici per il clcolo di integrli: () Metodo del punto medio o del rettngolo (2) Metodo di Simpson (3) Metodo Montecrlo Vedremo che ciò che differenzi i tre metodi è principlmente l ccurezz, ossi l errore di pprossimzione dell integrle. Altri fttori d considerre sono tuttvi l semplicità di ppliczione e l velocità computzionle. 2. Metodo del punto medio Si f un funzione continu sull intervllo [, b] e si N > 0 un numero nturle. Si consideri un prtizione uniforme di [, b] in N sottointervlli di mpiezz omogene: x = b N. L interle definito secondo Riemnn di f su [, b] è dto dl limite per N tendente ll infinito dell somm di Riemnn: lim N N f(x i ) x, i= dove x i è un punto pprtenente ll i-esimo intervllo [x i, x i ]. Nel metodo del punto medio si sceglie x i come il punto medio dell i-esimo M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 3

4 2. Metodo del punto medio intervllo x i = 2 (x i + x i ). Come si può osservre dll Figur, quest sembr essere un buon scelt. L somm di Riemnn con x i clcolto nel punto medio prende il nome di pprossimzione del punto medio di ordine N: σ M (N, f, [, b]) = x N f(x i ) = i= (b ) N N f(x i ). In generle, l pprossimzione diventerà più ccurt l crescere di N. i= Figur. Metodo del punto medio. D ltro cnto un N troppo grnde renderebbe il clcolo imprticbile. Quindi il problem è: qul è il più piccolo vlore di N tle d grntire che σ M (N, f, [, b]) si un pprossimzione ccettbile dell integrle di f su [, b]? Il seguente teorem risponde quest domnd. Teorem 2. (Metodo del punto medio). Si f un funzione continu nell intervllo [, b] e si N un intero positivo. Per ogni intero i con i N, si x i il punto medio dell i-esimo sotto-intervllo, [x i, x i ], di [, b]. L pprossimzione di ordine N dell integrle f(x)dx è dt d: N σ M (N, f, [, b]) = x f(x i ). 4 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio i=

5 2. Metodo del punto medio Inoltre se C è un costnte tle che f (x) C x [, b], llor l errore di pprossimzione è dto d: f(x)dx σ M (N, f, [, b]) C 24 (b )3 N 2 = C 24 (b ) x2. Questo teorem mostr, quindi, che l errore che si commette è di secondo ordine in x. Esempio 2. Vlutre il seguente integrle definito: I = 0 + x dx. 2 Si osservi che, in questo cso, come bbimo visto in clsse, l ntidervit di esiste in form chius ed è rctn(x). Quindi +x 2 sppimo clcolre l integrle in modo estto: 0 + x dx = rctn() rctn(0) = π = π 4 = Provimo d ottenere comunque un pprossimzione numeric di questo integrle ttrverso il metodo del punto medio. In figur 2 (pnnello sinistr), sono riportti l funzione integrnd nell intervllo [0, ] ed N = 4 sub-intervlli di [0, ]. L pprossimzione dell integrle trmite il metodo del punto medio srà quindi dt d: [ σ M (4, f, [0, ]) = (0.25) (0.375) (0.625) (0.875) 2 ] = Il vlore di σ M (4, f, [0, ]) rppresent l re dei rettngoli mostrti nell figur sopr. Per ottenere l intervllo in cui il vlore estto dell integrle è contenuto, è necessrio stimre l errore che si commette nell pprossimzione. Nell figur 2 (pnnello destr) è riportto il grfico di f (x) nell intervllo [0, ] (si ricord che nel nostro cso f(x) = /( + x 2 )). Come si può notre mx f (x) = 2. x [0,] Ponendo quindi C = 2 nell formul dell errore fornit nel teorem precedente ottenimo che: C (b )3 = 2 ( 0)3 = 24 N = 92 = M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 5

6 2. Metodo del punto medio Pertnto il vlore estto dell integrle srà compreso nell intervllo fr e , ossi I Come si può fcilmente osservre, il vlore estto dell integrle (π/4) cde effettivmente in questo intervllo. In lcuni csi viene richiesto di determinre un integrle con un ordine di errore predefinito, d esempio, con un precisione terz cifr decimle (quindi con un errore di o inferiore). In questo cso l formul per il clcolo dell errore v utilizzt per ricvre il numero di sub-intervlli N d usre. Nel nostro cso vremmo: Errore = C (b )3 = 24 N 2 2 N = , d cui N 6 03 = 3. Figur 2. Pnnello sinistro: metodo del punto medio pplicto l clcolo dell integrle definito di cui ll esercizio 2.. Pnnello destro: vlore ssoluto dell derivt second dell funzione integrnd di cui ll esercizio M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

7 3. Metodo di Simpson 3. Metodo di Simpson L regol del punto medio pprossim l funzione su x trmite un rett. Un migliore pprossimzione si può ottenere se, invece dell rett si utilizz un prbol, ossi un polinomio di secondo grdo, come mostrto in figur 3. Figur 3. Metodo di Simpson. Dt un generic prbol P (x) = A x 2 + B x + C pssnte per tre punti (si ricord che per tre punti distinti pss un ed un sol prbol) di cui due punti sono (α, f(α)) e β, f(β), con α e β estremi del sub-intervllo e l ultimo punto è (γ, f(γ)) con γ = α+β, 2 l re sottostnte l prbol è dt dl seguente teorem: Teorem 3.. Si P (x) = A x 2 + B x + C definit sull intervllo [α, β]. Allor: β α dove γ = (α + β)/2. P (x)dx = β α 6 [P (α) + 4 P (γ) + P (β)], L dimostrzione consiste nell integrre il polinomio di secondo grdo P (x) = A x 2 + B x + C tr α e β, e si lsci per esercizio. L formul di pprossimzione di Simpson per l integrle di un funzione in un certo intervllo [, b] si ottiene suddividendo questo intervllo in un numero pri N = 2 M, con M N intervlli e pprossimndo, per ogni coppi di intervlli successivi l funzione con un prbol pssnte per i tre punti determinti di due intervlli successivi, come mostrto in figur 3. In prticolre, sino [x 2i, x 2i ] M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 7

8 3. Metodo di Simpson e [x 2i, x 2i+ ] due sub-intervlli consecutivi. L re dell prbol che insiste su questi due generici sub-intervlli, pssndo per i punti (x 2i, f(x 2i )), (x 2i, f(x 2i )) e (x 2i+, f(x 2i+ )), è, in bse l teorem precedente: x2i+ x 2i P (x)dx = x 2i+ x 2i 6 = 2 x 6 [P (x 2i ) + 4 P (x 2i ) + P (x 2i+ )] = [f(x 2i ) + 4 f(x 2i ) + f(x 2i+ )] = = x 3 [f(x 2i ) + 4 f(x 2i ) + f(x 2i+ )] Sommndo l re or ottenut su tutte le coppie di intervlli dicenti e disgiunti ottenimo l pprossimzione di Simpson dell integrle di f su [, b]: f(x)dx = x M 3 [f(x 2i ) + 4 f(x 2i+ ) + f(x 2i+2 )]. i=0 Il metodo di Simpson ppre un poco più complicto di quello del vlor medio. Tuttvi, quest mggiore difficoltà è compenst dl grdo di pprossimzione che esso grntisce, come mostr il seguente teorem: Teorem 3.2. Si f un funzione continu sull intervllo [, b] e si N un intero positivo pri. Si σ S (N, f) l pprossimzione di Simpson si ordine N dell integrle di f su [, b]: σ S (N, f) = x M 3 [f(x 2i ) + 4 f(x 2i+ ) + f(x 2i+2 )], con N = 2 M. i=0 Se C è un costnte tle che f IV (x) C x [, b] llor l errore di pprossimzione è dto d: f(x)dx σ S (N, f) C (b )5 = C (b ) 80 N 4 x4 80 Quindi, l errore di pprossimzione è di ordine 4, nettmente migliore dell ordine 2 ottenuto con il metodo del punto medio. 3.. Osservzioni. () L stim dell errore ftt per i due metodi considerti è un stim dell errore mssimo, ossi del cso peggiore (worst cse scenrio), pertnto è possibile che in lcuni csi l errore di pprossimzione effettivmente commesso si minore di quello indicto. (2) Per lcune forme funzionli, d esempio le funzioni periodiche, non è detto che il metodo di Simpson otteng pprossimzioni migliori di quelle ottenute con il metodo del punto medio. 8 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

9 4. Metodo Monte Crlo Esercizio 3. Lo studente pplichi il metodo di Simpson per vlutre l integrle definito considerto nell esempio Metodo Monte Crlo Il Metodo Monte Crlo è un metodo sttistico per pprossimre il vlore dell integrle di un funzione limitt f su un intervllo [, b]: I = f(x)dx. Per descrivere il metodo, ssumimo che l funzione f(x) si non negtiv x [, b]. Il metodo tuttvi può essere fcilmente generlizzto l cso in cui l funzione ssum nche vlori negtivi nell intervllo di integrzione. Si M un mggiornte (o nche il mssimo dell funzione f sull intervllo [, b]). Si costruisce il rettngolo di bse [, b] e ltezz M (si ved l figur 4, dove [, b] = [, 2]). In questo modo l re sottes dl grfico di f, ossi l integrle di f su [, b], srà contenut nell re del suddetto rettngolo. Si or x un numero csule compreso nell intervllo [, b] e y un numero csule compreso nell intervllo [0, M]. Tutti i linguggi di progrmmzione evoluti (R, Mthemtic, Mtlb, Mple, ecc.) consentono di generre numeri (pseudo)csuli sifftti. Si consideri or il punto di coordinte (x, y). Qul è l probbilità che esso si trovi l di sotto del grfico dell funzione f? In ltre prole, qul è l probbilità che y f(x)? Risult intuitivo che quest probbilità coincid con il rpporto tr I (il vlore dell integrle che voglimo clcolre) e l re del rettngolo sopr descritto, A = (b ) M. In formule scriveremo: p(y f(x)) = I A = I (b ) M. Quest formul ci consente di vedere il problem di pprossimre I d un prospettiv completmente divers rispetto quelle considerte finor. Inftti, supponimo di vere un metodo per pprossimre il vlore dell probbilità p(y f(x)). Quest ci consentirebbe di pprossimre il nostro integrle leggendo l formul precedente come un equzione nell vribile I: I = p(y f(x)) A = p(y f(x)) (b ) M. L probbilità p(y f(x)) può essere clcolt (in modo pprossimto) per vi frequenzistic. In prticolre, si suppong di generre N coppie di numeri csuli (x i, y i ), con i =,..., N, con x i [, b] e y i [0, M]. Si or U N il numero di coppie (x i, y i ) tli che y i f(x i ). Possimo dunque pprossimre l quntità p(y f(x)) con l quntità: p N = U N N. M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 9

10 4. Metodo Monte Crlo In questo modo ottenimo un pprossimzione dell integrle cercto: UN UN (b ) M = A. I = IN = p N (b ) M = N N E possibile inoltre dimostrre (vedrete l dimostrzione nel corso di Clcolo delle Probbilit ) che, per l legge dei grndi numeri, il vlore tteso dell errore di pprossimzione: s r p I (A I) A A A 2 E[(I IN ) ] = A = N 2 N 2 N 2 Figur 4. Metodo Monte Crlo pplicto l clcolo dell integrle di cui ll esempio 4.. I diversi pnnelli mostrno il grdo di pprossimzione dell integrle cercto per diversi numeri di punti csuli generti: 0 (in lto destr), 00 (in lto destr), 000 (in bsso sinistr), 0000 (in bsso destr). Esempio 4. Si vluti il seguente integrle definito: Z 2 x2 e 2 dx 2π 0 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

11 4. Metodo Monte Crlo L funzione integrnd è l funzione densità di probbilità dell distribuzione Gussin (o Normle) con vlore tteso 0 e vrinz. In figur 4 sono riportti i risultti di simulzioni Montecrlo con i reltivi vlori dell integrle pprossimto l vrire del numero di punti simulti, N. Si vede che l pprossimzione miglior l crescere di N. Questo ftto è espresso in modo piú chiro in figur 5, dove è riportto il vlore dell integrle pprossimto rispetto l vlore estto dell integrle l vrire di N. In figur 5 sono nche riportte le curve: I + A e I A N 2 N, d cui si vede che buon 2 prte dei punti risult compres tr questi due vlori. Figur 5. Precisione del Metodo Montecrlo per l pprossimzione dell integrle dell esempio 4.. M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio