Appunti ad uso degli studenti del Corso di Matematica per CTF

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1 Appunti d uso degli studenti del Corso di Mtemtic per CTF Prof. Sergio Steffè, AA2016/17 Sommrio Questi ppunti sono scritti su misur per gli studenti del corso di Mtemtic per CTF dell Anno Accdemico 2016/17, tenendo conto dell loro preprzione, e riportnto perciò solo lcuni degli rgomenti svolti lezione. Pertnto potrebbero non essere dtti d ltre ctegorie di studenti. 1 Clculus e integrzione Il Clculus, cioè il clcolo diffrerenzile ed integrle, ormi circ 300 nni. Quello ce viene oggi insegnto nelle scuole medie superiori e nei primi corsi universitri er già noto i dotti dell epoc di Newton e Leibnitz, ed er usto per fre i clcoli, come per esempio per il clcolo delle orbite dei corpi celesti, ce riciede l risoluzione di equzioni differenzili. Abbimo già visto lcuni risultti sull derivzione, lmeno nel cso delle funzioni di un vribile. Vedimo or, sempre nel cso monodimensionle, qulce risultto sull integrzione. Il simbolo dell integrle è un s stilizzt,, bbrevizione di somm. L prte dell teori dell integrzione ce è cmbit molto negli ultimi 300 nni è quell ce rigurd il modo di definire l integrle, così d estendere qunte più funzioni possibili l definizione di funzione integrbile conservndo le reltive proprietà tnto utili per i clcoli. Sono stti soprtutto il clcolo delle probbilità e dei processi stocstici, e i problemi legti lle equzioni differenzili lle derivte przili motivre l riciest di mggiore generlità. Le definizioni originli uste d Newton e Leibnitz sono stte poi formlizzte d Peno e Jordn, e poi estese d Lebesgue portndo ll teori dell misur strtt e l moderno concetto di probbilità. 2 Proprietà dell integrle definito in un vribile Non voglimo qui dre un complet definizione di integrle, ne dimo solo un cenno nel successivo prgrfo. Per le funzioni bbstnz regolri le vrie definizioni portno comunque llo stesso risultto e cioè d un integrle definito su un cert clsse di funzioni (funzioni integrbili), con le seguenti proprietà: 1

2 1. monotoni: se f e g sono funzioni integrbili definite su [,b] llor f g = g(x)dx 2. 0 dx = dx = b 4. linerità: se α e β sono costnti e f e g funzioni integrbili su [,b] llor (αf(x)+βg(x))dx = α +β g(x)dx 5. se f è definit e integrbile su [,c] e b (,c) + c = c b 6. continuità: f(x) dx 7. estensione gli intervlli vuoti e l cso degli estremi invertiti ( < b): b = 0 = 3 Integrbilità elementre Dimo solo un ide del metodo elementre usto per definire l integrle. Si inzi definire l integrle per le cosidette funzioni semplici, cioè per le funzioni costnti trtti su un intervllo ciuso e limitto. Per queste funzioni l definizione di integrle e l verific delle proprietà sono molto fcili. Successivmente si cerc di pprossimre le funzioni d sotto e d sopr medinte funzioni semplici, come illustrto in figur: 2

3 f b Si definiscono rispettivmente l integrle d sotto di f su [, b] come l estremo superiore degli integrli delle funzioni semplici minornti f e l integrle d sopr di f su [, b] come l estremo inferiore degli integrli delle funzioni semplici mggiornti f. Le funzioni integrbili sono llor quelle per cui integrle d sotto e integrle d sopr coincidono. Questo ssicur l effettiv clcolbilità numeric dell integrle, visto ce gli integrli delle funzioni semplici sono fcilmente clcolbili numericmente. Questo modo di definire l integrle è molto intuitivo, grntisce l integrbilità di mpie clssi di funzioni regolri, comprendenti oltre lle funzioni semplici le funzioni continue su intervlli ciusi e limitti, le funzioni monotone, e le loro combinzioni, m nce preccie limitzioni. Per i nostri scopi è comunque sufficiente, per cui prtimo d questo punto (e cioè come se vessimo dto l complet definizione e dimostrto l integrbilità delle funzioni continue su un intervllo ciuso e limitto) per dimostrre i teoremi ce ci servono per il clcolo integrle. 4 Teorem dell medi integrle Se f è un funzione continu sull intervllo [,b] con minimo m e mssimo M sull intervllo, llor vle il teorem dell medi integrle: m 1 b M 3

4 ce si può nce enuncire dicendo ce esiste uno ξ [,b] tle ce: 1 b = f(ξ) L quntità sinistr viene ppunto cimt medi integrle dell funzione f sull intervllo [, b]. dimostrzione: si ottiene semplicemente dll disuguglinz m f(x) M, integrndo tr e b, e ricordndo ce un funzione continu su un intervllo ciuso e limitto ssume tutti i vlori tr il minimo e il mssimo. 5 Teorem fondmentle del clcolo integrle: prim prte Se f è un funzione continu sull intervllo [, b], definit F l funzione integrle di f su [,b]: si ce x [,b] F(x) = x f(t)dt x [,b] F (x) = f(x) dimostrzione: Per ogni punto x [,b] clcolimo il rpporto incrementle di F (ove è un vlore diverso d 0 e tle ce x+ [,b]): F(x+) F(x) = x+ f(t)dt x f(t)dt = x+ f(t)dt x Per il teorem dell medi integrle esiste llor un punto ξ compreso tr x e x+ tle ce: F(x+) F(x) = f(ξ) Se or si clcol il limite per 0 si ce ξ x e per l continutà di f si l tesi. 6 Le primitive Dt un funzione f : [,b] R si dice primitiv di f un qulsisi funzione H tle ce H = f not: si può pensre d un primitiv come d un soluzione dell equzione differenzile H = f. Un primo risultto interessnte è il seguente: Se f è continu su [,b] e H,G sono due primitive di f, llor H e G differiscono per un costnte su [,b]. 4

5 dimostrzione: Considerimo l funzione K = H G. Per l definizione di primitiv, bbimo ce sull intervllo [, b]: K = H G = f f = 0 Allor per il teorem di Lgrnge, bbimo ce per ogni x [,b] esiste un ξ [,x] tle ce: K(x) K() = K (ξ) = 0 x e quindi nell intervllo [, b] K vle sempre K(), cioè è costnte. Or l prim prte del teorem fondmentle del clcolo integrle può essere enuncit dicendo ce se f è continu su [,b] llor l funzione integrle è un primitiv di f, e quindi possimo crtterizzre tutte le primitive di f, dicendo ce: Se H è un primitiv di un funzione f continu su [,b] llor esiste un costnte C tle ce: H(x) = x f(t)dt+c 7 Teorem fondmentle del clcolo integrle: second prte Se H è un primitiv di un funzione f continu su [, b] llor possimo clcolre l integrle di f su [,b] con l formul: f(t)dt = H(b) H() dimostrzione: Sppimo ce esiste un costnte C tle ce: H(x) = prendendo x = e x = b ottenimo: H() = x f(t)dt+c f(t)dt+c = C d cui l tesi. H(b) = f(t)dt+c 8 Integrzione delle funzioni elementri Si può or intepretre le tbelle delle derivte delle funzioni elementri come tbelle delle primitive delle funzioni elementri. 5

6 9 integrzione per prti L formul mnemonic per ricordrsi l integrzione per prti è l seguente: u dv = uv v du ce nelle ppliczioni, si espnde : u(x)v (x) dx = u(x)v(x) b v(x)u (x) dx L dimostrzione è molto semplice ed utilizz l formul per l derivt di un prodotto di due funzioni e il teorem fondmentle del clcolo integrle. Se u e v sono due funzioni derivbili sull intervllo [, b], bbimo: (uv) = u v +uv D quest formul si evince ce uv è un primitiv dell espressione destr dell uguglinz, e quindi si : u(x)v(x) b = d cui il teorem. (u (x)v(x)+u(x)v (x))dx = 10 cmbimento di vribili u (x)v(x)dx+ u(x)v (x)dx Il metodo di integrzione per sostituzione o nce di cmbimento di vribili segue dll formul di derivzione delle funzioni composte e dl teorem fondmentle del clcolo integrle. Se f è un funzione continu su un intervllo e F un su primitiv, bbimo F = f. Se g è un funzione continu derivbile e bigettiv, llor preso Ψ(x) = F(g(x)) è Ψ (x) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x) Ce dice ce Ψ(x) è un primitiv di f(g(x))g (x). In termini di integrli possimo llor scrivere: ( f(g(x))g (x)dx = Ψ(x) = F(g(x)) = f(y)dy) y=g(x) Qundo si vuole pplicre quest formul gli integrli definiti, occorre stre ttenti mettere l loro posto i vri estremi di integrzione. Se g : [,b] [c,d] con g() = c e g(b) = d llor bbimo: e se g() = d e g(b) = c llor: f(g(x))g (x)dx = f(g(x))g (x)dx = d c c d f(y)dy f(y)dy 6

7 Si noti ce llor g è negtiv per cui le due formule possono nce scriversi così: 11 estensioni f(g(x)) g (x) dx = d c f(y)dy Si può cercre di estendere l definzione di integrle d lcuni csi di dominii illimitti e di funzioni illimitte, m si deve stre ttenti l ftto ce questi integrli estesi non godono di tutte le proprietà degli integrli. Itegrle su un intervllo illimitto [, + inf): +inf = lim z + inf z Integrle per un funzione illimitt nel punto b: = lim z b z Se il clcolo di un integrle necessit di più estensioni, occorre spezzre l integrle in modo ce ogni termine si clcolbile con un sol estensione. Per esempio per clcolre si devono clcolre seprtmente e +inf inf 0 inf +inf 0 ce vnno poi sommti, mmesso ce si possibile (uno dei due potrebbe non esistere oppure potrebbero venire uno +inf e l ltro inf. 7