Analisi Matematica 1 Venticinquesima lezione[1cm]integrale di Riemann 5 marzo (cont.) / 20

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1 Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione Integrle di Riemnn (cont.) prof. Cludio Sccon Diprtimento di Mtemtic Applict, Vi F. Buonrroti 1/C emil: sccon@mil.dm.unipi.it web: d6081/index.html Ricevimento: ogni lunedì, dlle 9.00 lle mrzo 2010 Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

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17 Proprietà dell integrle Teorem (linerità) Sino f e g due funzioni integrbili su [,b] e sino c,d due numeri reli. Allor cf + dg è integrbile su [,b] e (cf + dg)(x)dx = c Teorem (dditività rispetto ll intervllo) f (x)dx + d g(x) dx Si f un funzione integrbile su [,b] e si r un numero con r. Allor f è integrbile su [,r] e su [r,b] e si h: f (x)dx = r f (x)dx + r f (x)dx. (dd) Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

18 Proprietà dell integrle Convenzione Se b < convenimo di porre f (x)dx := b f (x)dx. Allor l formul (dd) vle indipendentemente dll ordine di,b ed r. Teorem (Monotoni) Se f è integrbile su [,b] e se f 0 llor f (x)dx 0 DIM Notimo che d qunto sopr si deduce che, se f,g sono integrbili: f g f (x)dx g(x) dx Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

19 Proprietà dell integrle Teorem (Prodotto) Se f e g sono integrbili su [,b] llor il prodotto fg è integrbile su [,b]. Teorem (Composizione con un lipschitzin) Se f è integrbile su [,b] e se G : R R è lipschitzin, cioè se per un opportun costnte L G(y 1 ) G(y 2 ) L y 1 y 2 y 1,y 2 R, llor G f è integrbile su [,b]. Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

20 Conseguenz Dto che G(y) = y, y + e y sono lipschizine si deduce f integrbile su [,b] f,f +,f integrbili su [,b] Inoltre ± f (x) + dx + f (x)dx = ± f (x) dx = Ne segue che se f è integrbile su [,b] si h: f (x) + dx f (x)dx f (x) dx. f (x) dx. f (x) dx Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

21 Clssi di funzioni integrbili Teorem (integrbilità delle monotone) Se f : [,b] R è monoton, llor f è integrbile. DIM Teorem (integrbilità delle continue) Se f : [,b] R è continu, llor f è integrbile. DIM. nel cso lipschitzino Esercizio (funzione non integrbile) L funzione di Dirichlet f : R R definit d { 0 se x è rzionle, f (x) := 1 se x è irrzionle, non è integrbile su nessun intervllo [,b]. Inftti per qulunque n si h s n = 0 e S n = b e quindi S n s n non tende zero. Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

22 Teorem (dell medi) Se f è integrbile su [,b] llor vle Ricordimo che il numero inf f 1 [,b] b 1 b f (x)dx supf. [,b] f (x)dx si chim medi integrle di f in [,b]. Se inoltre f è continu (e quindi l integrbilità è utomtic) llor esiste un punto intermedio ξ in [,b] in cui f ssume l su medi, cioè: f (ξ ) = 1 b f (x)dx DIM Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

23 Antiderivt Definizione (primitive) Si f : [, b] R un funzione. Diremo che un ltr funzione F : [, b] R è un primitiv di f (o è un ntiderivt di f ) se F è derivbile in [,b] e vle F (x) = f (x) x [,b]. Teorem Supponimo che f : [,b] R bbi un primitiv F. Allor l insieme di tutte le primitive di f è individuto dll formul: F 1 primitiv di f F 1 = F + c, c R. DIM Notzione È uso indicre con il simbolo f (x)dx (integrle indefinito di f ) l insieme di tutte le primitive di f. Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

24 Dunque se sppimo che F = f (conoscimo un primitiv), si h: f (x)dx = {F + c : c R} (se f è definit su un intervllo!!). Per esempio: 2xdx = { x 2 + c : c R }. Teorem (Teorem fondmentle del clcolo integrle) Supponimo che f : [,b] R si continu e che F : [,b] R si un primitiv di f (cioè che F = f ). Allor ( ) f (x)dx = F(b) F() =: [F] b = [F(x)]x=b x= DIM Notimo che per or NON SAPPIAMO quli funzioni mmettno primitiv vedremo poi che tutte le funzioni continue lo fnno. Sppimo però che, se trovimo esplicitmente un primitiv, llor simo in grdo di clcolre esplicitmente l integrle definito. Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

25 Esercizio Se α 0 l funzione x x α è continu e si h (bst l verific): { } x x α α+1 dx = α c : c R d cui 1 0 x α dx = 1 α + 1. È MOLTO PIÙ SEMPLICE COSÌ che ricvrlo dll definizione di integrle. Conviene llor fbbricrci un tbell di primitive. Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20

26 Primitive notevoli Funzione Primitive Funzione Primitive x α+1 x α (α 1) α c ex e x + c 1 1 ln( x ) + c x cos 2 tn(x) + c (x) sin(x) cos(x) + c sinh(x) cosh(x) + c cos(x) sin(x) + c cosh(x) sinh(x) + c 1 1 x 2 rcsin(x) + c rcsinh(x) + c x 2 rctn(x) + c x 2 1 x 2 1 rccosh(x) + c Andrebbe notto che l costnte c dipende dll intervllo. Ricordimo nche che sinh(x) := ex e x, cosh(x) := ex + e x. 2 2 Cludio Sccon (D.M.A.) Anlisi Mtemtic 1 Venticinquesim lezione[1cm]integrle di Riemnn 5 mrzo (cont.) / 20