15AM120: Settimana 9

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1 15AM120: Settimn 9 NTGAZON SU NSM MSUABL Deinizione di insieme misurbile e dell su misur Diremo che é misurbile se χ é integrbile e scriveremo Σ := { : χ é integrbile} = misur di := χ Σ SMP Un insieme misurbile é necessrimente limitto, m non tutti gli insiemi limitti sono misurbili; d esempio, non lo sono Q [0, 1] e (\Q) [0, 1]. Sono misurbili gli intervlli limitti (e l loro misur é l loro lunghezz) e gli insiemi ormti d un numero inito di punti (e l loro misur é evidentemente zero). L clsse degli insiemi misurbili Σ é un lgebr su cui l misur é unzione dditiv: χ A B = χ A χ B, χ A\B = χ A χ A B, χ A B = χ A\B + χ B = χ A + χ B χ A B A, B Σ A B, A B, A \ B Σ A, B Σ, A B = 0 A B = χ A B = χ A + χ B χ A B = A + B Deinizione di integrbilitá ed integrle su di un insieme Si A, : A. Nel seguito, continueremo indicre con nche l unzione che vle () se A e che vle zero ltrove. Diremo che é integrbile su A se χ A é integrbile e A := χ A (integrle di su A) Osservimo che se é integrbile in A e A, Σ, llor é integrbile in, perché χ = (χ A )χ. NOTA. Se Σ con = 0, llor ogni unzione (limitt su ) é ivi integrbile con integrle zero. ntti in S( ± χ, j ) sup in S(χ, j ) = prtizioni( j ) prtizioni( j ) 1 χ = 0

2 Si :. Diremo che é loclmente integrbile se é (limitt ed) integrbile su [, ] > 0 e scriveremo loc := { : : é limitt e χ [,] é integrbile } Siccome, se Σ ed é tle che [, ], risult χ [,] χ = χ, vedimo che un loclmente integrbile é integrbile su ogni insieme misurbile. Le unzioni continue su sono esempi di unzioni loclmente integrbili. Sono loclmente integrbili nche le unzioni monotone: ntegrbilitá locle delle unzioni monotone limitte. Si limitt e monoton in [, b]. Allor é integrbile in [, b]. Prov. Possimo supporre non decrescente, cosicché (in ) in, sup (sup ) [, b] Si [, b] = n j=1 j con l( j ) = b n, sup j = in j+1, e quindi S(, j ) s(, j ) = n j=1 [sup in ] l( j ) b j j n [(sup 1 ) (in 1 ) + (sup 2 ) (in 2 ) (sup n ) (in n ) ] = b n [(b) ()] ɛ se n é grnde. issumimo or le proprietá dell ppliczione Σ loc (, ) Teorem. Sino, g loc,, F Σ. Allor (i) α + βg = α + β g α, β ( lineritá ) (ii) () 0 0 ( positivitá ) () g() g ( monotoni ) (iii) sup ( continuitá ) (iv) F = 0 = + g (dditivitá ) F 2

3 Prov. (i) α + βg = + βg)χ = α (α χ + β gχ = α + β g (ii) L prim delle (ii) segue dll deinizione di integrle, mentre l second us, in piú, l lineritá dell integrle. (iii) L prim diseguglinz segue d () () (). nine, () χ () sup () χ () sup χ sup (iv) ntti, A B = 0 = 0 = χ A B = A B A B = (χ A + χ B χ A B ) = χ A + χ B + = + Teorem di pssggio l limite sotto segno di integrle: L (iii) ssicur che n C([, b]), n n uniormemente in [, b] b b n n. Teorem dell medi Si = [, b]. Sino, g continue in, g() 0. Allor ξ : g = (ξ) g n prticolre ξ : = (ξ)l() Prov. e g, prolungte zero uori di, sono integrbili, e quindi sono integrbili su. Per il teorem di Weierstrss, é dott di minimo e di mssimo su, e si h (min )g()χ () ()g()χ () (m )g()χ (). Quindi, pssndo gli integrli ed usndo l lineritá, ( ) min g g ( m A B ) Or, possimo supporre g > 0 (ltrimenti non c e niente d dimostrre ) e concludere che g [min g, m ]. L tesi segue llor dl Teorem del vlore intermedio. Per l second prte, bst osservre che, pres g 1, g = l() g A B 3

4 NTGAL ONTAT Si b, un unzione integrbile. Scriveremo nche b := χ (,b), b b := n prticolre, = 0. Le proprietá viste inor per [,b] si riscrivono in modo ovvio per gli integr- li orientti. Notimo d esempio che g, < b b g, > b b b g. b Di ondmentle importnz é l seguente riormulzione dell dditivitá: se : é integrbile e, b, c llor ( ) b + c b + c = 0 ntti, se due tr, b, c coincidono, tle relzione é ver per deinizione. Altrimenti, uno dei tre é strettmente compreso tr gli ltri due. Dicimo, per issre le idee, che si c d essere compreso tr e b. Quindi ( ) si riscrive ( ) g m b = c + b c che é ver perché b = χ [,b] = (χ [,c) + χ [c,b] ) = = χ [,c) + χ [c,b] = c + c b 4

5 L TOMA FONDAMNTAL DL CALCOLO (TFC1) Si limitt e integrbile in [, b], [, b]. L unzione F () := (t)dt i) é deinit e Lipschitzin (e quindi continu) in [, b] ii) é derivbile in (, b), se é continu in, ed in tl cso F () = () Dimostrzione. Usndo l dditivitá dell integrle, si ottiene F () F (y) = (t)dt y (t)dt = y (t)dt ( sup [,b] ) y F ( + h) = F () + Siccome, se é continu in, ( h ) +h = F () + ()h + +h (t)dt + ()h () +h [(t) ()]dt [(t) ()]dt h +h sup dt = {t: t h (t) () = deducimo che F é derivbile in con F () = (). Si puó quindi scrivere d d in ogni punto in cui é continu. (t)dt = () Corollrio. NOTA. Si continu in [, b]. Allor é dott di primitiv in (, b). Se ϕ, ψ sono derivbili ed é continu, llor d d ϕ() ψ() (t)dt = (ϕ())ϕ () (ψ())ψ () ntti, se F () := (t)dt, dl TFC e dll regol dell cten, segue d (t)dt = d ψ() d [F (ϕ()) F (ψ())] = F (ϕ())ϕ () F (ψ())ψ () = (ϕ())ϕ () (ψ())ψ (). d ϕ() 5

6 COMPLMNT Dto, chimeremo ricoprimento di un qulsisi migli init di intervlli j tli che j j. nsiemi di misur null in senso stretto Si. h misur null in senso stretto in{ j l( j ) : j ricoprimento di} = 0 SMPO Un insieme ormto d un numero inito di punti h misur null in senso stretto: se = { 1,..., n }, gli intervlli j δ := [ j δ, j + δ], δ > 0 orniscono un ricoprimento di di lunghezz complessiv 2nδ. Siccome in δ 2nδ = 0, h misur null in senso stretto. Anche := { n : n N} h misur null in senso stretto se n converge : tutti gli n, d eccezione l piú di un numero inito, stnno in intervllini centrti in lim n n e di rggio rbitrrimente piccolo... Tuttvi insiemi ininiti, nche se numerbili, non vrnno in generle misur null: d esempio Q [0, 1] (che é di misur null!) non é di misur null in senso stretto. Prop.1 é di misur null in senso stretto é misurbile e χ = 0. : D χ = 0 segue che esiste un prtizione ɛ j di tle che ɛ S(χ, ɛ j) = j sup ɛ j χ l( ɛ j) = {j: ɛ j } l( ɛ j) : Si j ɛ un ricoprimento di con j l(j) ɛ ɛ. A prtire dgli j ɛ si puó costruire un ricoprimento di con intervlli disgiunti Jj ɛ e j l(jj ɛ ) ɛ e poi, ggiungendo opportuni intervlli, un prtizione P di. Siccome i Ji ɛ, nessuno dei nuovi intervlli intersecherá, e quindi e quindi 0 s(χ, P) S(χ, P) = P χ é integrbile e sup χ l() = i χ = in P S(χ, P) = 0. sup J ɛ i l(j ɛ i ) ɛ Prop.2 Si. Allor Σ h misur null in senso stretto. : Σ χ esiste un prtizione ɛ j di tle che ɛ S(χ, ɛ j) s(χ, ɛ j) = j 6 sup χ j ɛ in ɛ j χ l( j ) =

7 = { j: sup ɛ j χ =1, in χ j ɛ =0 {j: ɛ j } ɛ j } l(ɛ j) = {j: {j: ɛ j = ɛ j c } ɛ j j ɛ } {j: l( ɛ j) Or int ɛ j j ɛ } (ove {j : j ɛ } é un insieme inito perché é limitto l pri di ). Dunque, se e non stá gli estremi di qulche j, ɛ deve essere interno un j ɛ per qulche indice j e quindi tle j ɛ intersec si che c e quindi tle indice pprtiene {j : j ɛ j ɛ c } e quindi {j: ɛ j j ɛ } e quindi h misur null in senso stretto. {j: ɛ j = ɛ j c } int j ɛ : Se h misur null in senso stretto, dll Prop. 1 segue che Σ e χ = 0 e quindi si trov un prtizione j ɛ di tle che ɛ S(χ, ɛ j) = {j: ɛ j } l( ɛ j) ed é nche vero che S(χ, ɛ j) s(χ, ɛ j) = {j: ɛ j = ɛ j c } l( ɛ j) Siccome j ɛ j ɛ c 1 j ɛ, 2 j ɛ c e siccome tr 1 e 2 c c é un e tle stá ovvimente nche in j ɛ (che é un intervllo!) concludimo che j ɛ e quindi {j : j ɛ = j ɛ c } {j : j ɛ } e quindi χ é integrbile, perché S(χ, j) ɛ s(χ, j) ɛ = l(j) ɛ l(j) ɛ ɛ j ɛ } {j: ɛ j = ɛ j c } NOTA (i) L Prop. 2 é ovvi ll luce del Teorem di Lebesgue-Vitli, perché i punti di discontinuitá di χ sono esttmente i punti di e perché é comptto; intti, K comptto (K é di misur null K é di misur null in senso stretto). (ii) Se, g sono integrbili su Σ d g = ( g) χ N = 0 segue che N := { : () g()} Σ e N = 0 = g {j: 7