1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

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1 INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di definizione è sostnzilmente l stess (teori di Riemnn); l differenz priniple onsiste nell generlità dell struttur di un dominio di R 2. 1 Integrli doppi di funzioni sl su rettngoli Si il rettngolo prodotto rtesino di due intervlli [, b] e [, d]: [, b] [, d] (x, ) R 2 : x b, d. (1.1) Definizione Sino S 1 un suddivisione di [, b] e S 2 un suddivisione di [, d]: S 1 x, x 1,..., x n b, S 2, 1,..., m d, Allor S S 1 S 2 è detto un suddivisione di (S deompone in n m sottorettngoli). 1

2 d ] [ [ (1.2) Definizione f : R un funzione sl se esiste un suddivisione S di tle he f è ostnte su ogni sottorettngolo perto dell suddivisione, ovvero se esistono n m ostnti ij tli he ] b f(x, ) ij su ]x i 1, x i [ ] j 1, j [, (i 1,..., n, j 1,..., m). (1.3) Definizione (integrle doppio di f sl su un rettngolo) n i1 m ij (x i x i 1 )( j j 1 ) j1 si die integrle di f su e si indi on f oppure f(x, ) dxd. (1.4) Osservzione L integrle osì definito non dipende dll suddivisione selt per rppresentre f (tle suddivisione non è uni in generle). (1.5) Esempio f(x, ) k (ostnte) x 2

3 Risult f k(b )(d ). 2 Proprietà degli integrli doppi di funzioni sl su rettngoli Sino f e g funzioni sl su. Vlgono le proprietà di linerità, dditività e onfronto: ( 1 f + 2 g) 1 f + 2 g on 1, 2 R, f f + 1 f 2 on 1 e 2 rettngoli on prti interne disgiunte e tli he 1 2, SI NO f g f g. 3

4 3 Integrli doppi delle funzioni limitte Sino [, b] [, d] e f : R un funzione limitt. Denotimo on S l insieme di tutte le funzioni sl su, e definimo I (f) g : g S, g f, I (f) h : h S, h f Come nel so delle funzioni di un vribile, si h sup I (f) inf I (f). (3.1) Definizione Si f : R un funzione limitt. f si die integrbile seondo Riemnn su se sup I (f) inf I (f). le numero si die integrle di f su e viene denotto nor on i simboli f oppure f(x, ) dxd. Come nel so unidimensionle, esistono funzioni limitte per ui sup I (f) < inf I (f). (3.2) Esempio (funzione non integrbile - Dirihlet bidimensionle) Sino [, 1] [, 1] e f : R definit d 1 se x e sono rzionli, f(x, ) ltrimenti. f è limitt su m non è integrbile perhè sup I (f), inf I (f) 1. (3.3) Osservzione Vlgono le stesse proprietà dell integrle doppio per funzioni sl (linerità, dditività, onfronto)., 4

5 4 Clolo di integrli doppi su rettngoli: formule di riduzione (lolo di un integrle doppio medinte due integrzioni semplii) (4.1) eorem (formul di riduzione per orizzontli ) Sino [, b] [, d] e f : R integrbile su. Se per ogni [, d] esiste l integrle (semplie) A() b f(x, ) dx (integrle dipendente dl prmetro ), llor esiste e si h d d A() d f(x, ) dxd ( b ) f(x, ) dx d d d A() d d b f(x, ) dx. d ] [ [ ] b x 5

6 In prole povere, prim si esegue l integrzione in x tenendo ostnte, poi si integr il risultto (he è un funzione di ) in. Anlogmente esiste un formul di riduzione per vertili (4.2) eorem (formul di riduzione per vertili ) Sino [, b] [, d] e f : R integrbile su. Se per ogni x [, b] esiste l integrle (semplie) B(x) d f(x, ) d (integrle dipendente dl prmetro x), llor esiste e si h b b B(x) dx f(x, ) dxd ( d ) f(x, ) d dx b b B(x) dx d dx f(x, ) d. d ] [ [ x ] b x 6

7 (4.3) Esempio Sino [, 2] [, 1] e f : R definit d f(x, ) x 2. f è integrbile su (si ved il teorem suessivo). Inoltre, per ogni x [, 2], esiste B(x) x 2 d (l funzione x 2 è ontinu, quindi integrbile in [, 1]). Applindo l formul di riduzione per vertili si h 2 x 2 dxd 2 [ ] 1 1 x 3 3 Riduendo invee per orizzontli, si h x 2 dxd 2 [ 1 2 x2 ] 2 dx 1 3 dx x 2 d d d x dx 2 3. x 2 dx 2 d 2 3. (4.4) Esempio Sino [, 1] [, 1] e f : R definit d f(x, ) 1+x. f è integrbile su (si ved il teorem suessivo). Applindo l formul di riduzione per orizzontli si h x dxd d 1 + x dx [ log(1 + x) ] 1 d [log(1 + ) log 1] d (per prti)... 2 log 2 1. Applindo l formul di riduzione per vertili si h x dxd dx 1 + x d... m il lolo è più omplito. 7

8 5 Condizioni suffiienti ll integrbilità di un funzione Per poter pplire le formule di riduzione oorre ontrollre he esistono gli integrli f, A() [, d] oppure B(x) x [, b]. Un ondizione suffiiente è dt dl seguente teorem: (5.1) eorem (integrbilità delle funzioni ontinue). Sino [, b] [, d] e f : R ontinu. Allor f è integrbile su e vlgono le formule di riduzione: f(x, ) dxd d d b b d dx f(x, ) d f(x, ) dx. 6 Integrbilità delle funzioni limitte e disontinue (6.1) Definizione Si A R 2 un insieme limitto. Si die he A h misur null se per ogni ε > esiste un numero finito di rettngoli 1,..., r he rioprono A, ovvero e tli he r A k, k1 r re( k ) < ε. k1 (6.2) Esempi H misur null: ogni insieme finito di punti di R 2 ; ogni segmento di R 2 ; 8

9 ogni sottoinsieme di un insieme di misur null; ogni unione di un numero finito di insiemi di misur null; il grfio di un funzione g C [, b]. (6.3) eorem Sino [, b] [, d] e f : R un funzione limitt. Se l insieme dei punti di disontinuità di f in è un insieme di misur null, llor f è integrbile su, ossi f(x, ) dxd. esiste finito. (6.4) Osservzione Il teorem non si può (ovvimente) pplire ll funzione f : [, 1] [, 1] R di Dirihlet: in questo so inftti l insieme dei punti di disontinuità è tutto il rettngolo [, 1] [, 1] (he non h misur null). 7 Integrli doppi su regioni più generli Si estende l funzione d un rettngolo ontenente il dominio di definizione (supposto limitto) in modo he l funzione estes si nor limitt e he il vlore dell integrle doppio non mbi. (7.1) Definizione Si E R 2 un insieme limitto e si f : E R un funzione limitt. Si onsideri un rettngolo [, b] [, d] ontenente E. Definimo f : R ponendo 9

10 f(x, ) se (x, ) E, f(x, ) se (x, ) \ E. Ovvimente f è un funzione limitt su. Se f è integrbile su, si die he f integrbile su E, e si pone f(x, ) dxd : f(x, ) dxd. E (7.2) Osservzione Poihé E è limitto, esiste sempre. f viene dett estensione (prolungmento) bnle di f. L definizione dell integrle è indipendente d. Vlgono le usuli proprietà degli integrli (linerità, dditività, onfronto... ). A 8 Clolo degli integrli doppi su regioni più generli Grzie ll proprietà dditiv, si possono onsiderre regioni deomponibili nell unione di un numero finito di regioni più semplii, dette regioni normli rispetto gli ssi. 1

11 Dominio normle rispetto ll sse x Considerimo due funzioni α, β : [, b] R, α, β C ([, b]), tli he α(x) β(x) per ogni x [, b]. Allor l insieme (x, ) R 2 : x b, α(x) β(x) si die dominio normle rispetto ll sse x. x) x) [ ] x b Dominio normle rispetto ll sse Considerimo due funzioni γ, δ : [, d] R, α, β C ([, d]), tli he γ() δ() per ogni [, d]. Allor l insieme (x, ) R 2 : d, γ() x δ() si die dominio normle rispetto ll sse. x 11

12 d [ ] ) ) x 9 Formule di riduzione (9.1) eorem (dominio normle rispetto ll sse x) Sino α, β : [, b] R, α, β C ([, b]), tli he α(x) β(x) per ogni x [, b], e si (x, ) R 2 : x b, α(x) β(x). Si f : R un funzione limitt e ontinu nei punti interni di. Allor f è integrbile su e si h ( b ) β(x) f(x, ) dxd f(x, ) d dx (formul di riduzione per vertili). (9.2) eorem (dominio normle rispetto ll sse ) Sino γ, δ : [, d] R, γ, δ C ([, d]), tli he γ() δ() per ogni [, d], e si (x, ) R 2 : d, γ() x δ(). α(x) 12

13 Si f : R un funzione limitt e ontinu nei punti interni di. Allor f è integrbile su e si h ( d ) δ() f(x, ) dxd f(x, ) dx d (formul di riduzione per orizzontli). (9.3) Esempio Clolre γ() (x + 2) dxd, dove è il tringolo di vertii A(, ), B(1, ), C(, 1). (1) è normle rispetto ll sse x: (x, ) R 2 : x 1, 1 x. C 1-x A Usimo l formul di riduzione per vertili on, b 1, α(x) e β(x) 1 x: (x + 2) dxd B ( x ) (x + 2) d dx 13

14 ] 1 x [x + 2 dx (x x x + x 2 ) dx ] 1 (1 x) dx [x x (2) è nhe normle rispetto ll sse : si pplihi l formul di riduzione per orizzontli e si verifihi he si giunge llo stesso risultto. (9.4) Esempio Clolre x dxd dove è l regione normle rispetto ll sse x: (x, ) R 2 : x 1, x 2 x. (1,1) x x 2 (,) Usndo l formul di riduzione per vertili on, b 1, α(x) x 2, β(x) x, si h x dxd ( x x 2 ) x d dx 14

15 [ 1 x ] x x 2 dx ( 1 x 2 x2 1 ) 2 x4 (x 3 x 5 ) dx dx Si R 2 un dominio normle rispetto d uno degli ssi. Si f : R un funzione ontinu su non negtiv, f(x, t) per ogni (x, ). Considerimo il solido S (x,, z) R 3 : (x, ), z f(x, ). Allor il volume V di S è dto d V In prtiolre, se f(x, ) 1, f(x, ) dxd. dxd re( ). Più in generle, dte f, g : R due funzioni ontinue su tli he f(x, ) g(x, ) per ogni (x, ), onsiderimo il solido S (x,, z) R 3 : (x, ), f(x, ) z g(x, ). Allor il volume V di S dto d [ ] V g(x, ) f(x, ) dxd. 1 Cmbimento di vribili Per gli integrli semplii vle l formul di sostituzione b f(x) dx ϕ 1 (b) ϕ 1 () 15 f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt

16 dove ϕ : J I biettiv, ϕ C 1 (J), x ϕ(t). Cerhimo un formul di sostituzione per gli integrli doppi. Considerimo ϕ : S, ϕ(u, v) ϕ 1 (u, v) i 1 + ϕ 2 (u, v) i 2 per (u, v) S R 2. ϕ è il mpo vettorile he dà il mbimento di vribili. Supponimo ϕ biettiv d S in e ϕ C 1 (S). Ponimo ϕ J(u, v) (ϕ 1 1, ϕ 2 ) u (u, v) ϕ 1 (u, v) v (u, v), ϕ 2 u (u, v) ϕ 2 (u, v) v detto determinnte dell mtrie jobin o determinnte jobino di ϕ. (1.1) eorem (mbimento di vribile) Si ϕ : S biettiv d S in e ϕ C 1 (S). Supponimo J(u, v) per ogni (u, v) S. Allor f(x, ) dxd S f ( ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v) ) J(u, v) dudv. (1.2) Esempio (pssggio d oordinte rtesine oordinte polri) Ponimo u ϱ, v ϑ, (ϱ, ϑ) S [, + [ [ π, π[, Allor ϕ(ϱ, ϑ) ϱ os ϑ i 1 + ϱ sin ϑ i 2. os ϑ ϱ sin ϑ J(u, v) sin ϑ ϱ os ϑ ϱ(os 2 ϑ + sin 2 ϑ) ϱ. 16

17 L formul del mbimento di vribili divent f(x, ) dxd S f ( ϱ os ϑ, ϱ sin ϑ ) ϱ dϱdϑ. uesto mbimento di vribile è onveniente nel so di domini on simmetri irolre. (1.3) Esempio Clolre dove x dxd, (x, ) R 2 : x,, 1 x x è un qurto di oron irolre di entro (, ) e rggi 1 e 2. Ponimo x ϱ os ϑ, ϱ sin ϑ, S S è un rettngolo. ϕ(ϱ, ϑ) ϱ os ϑ i 1 + ϱ sin ϑ i 2, (ϱ, ϑ) R 2 : 1 ϱ 2, ϑ π. 2 17

18 x dxd S (ϱ os ϑ)ϱ dϱdϑ π/2 2 π/2 [ ] 2 1 os ϑ dϑ ϱ 2 dϱ os ϑ 1 3 ϱ3 dϑ 1 7 [ ] π/2 sin ϑ (1.4) Esempio Clolre x2 + 2 dxd dove è l semioron irolre di ordinte non negtive on entro (, ) e rggi 2 e 3. L uso di oordinte polri è opportuno nhe per l form dell funzione. Ponimo 2 x ϱ os ϑ, ϱ sin ϑ, 3 x Risult S (ϱ, ϑ) R 2 : π x2 + 2 dxd 2 ϱ 3, ϑ π. 3 π [ ] 3 1 dϑ ϱ 2 dϱ 2 3 ϱ3 2 S ϱ 2 dϱdϑ dϑ 18

19 19 3 π. 19

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