7.5. BARICENTRI 99. Esempio 7.18 (Baricentro di una lamina ellissoidale omogenea). Consideriamo la lamina ellissoidale omogenea in figura.

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Maurizio Mancini
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1 7.5. BAICENTI 99 P J Q Gli ssi HJ e PQ (che isecno i lti opposti del rettngolo) sono ssi di simmetri mterile. il ricentro dell lmin coincide con l intersezione dei due ssi: G, G H Esempio 7.18 (Bricentro di un lmin ellissoidle omogene). Considerimo l lmin ellissoidle omogene in figur. Gli ssi coordinti e sono ssi di simmetri mterile. il ricentro dell lmin coincide con l origine degli ssi: G, G Esempio 7.19 (Cilindro circolre retto). Considerimo il cilindro circolre retto in figur z h In coordinte cilindriche il cilindro è descritto dlle equzioni: θ < π z h r Per le proprietà dei pini di simmetri mterile G G,z G h Esempio 7. (Cono circolre retto). Considerimo il cono circolre retto in figur

2 1 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI h z In coordinte cilindriche il cono è descritto dlle equzioni: θ < π z h r h z Per le proprietà dei pini di simmetri mterile G G Mentre z G ρ M z G dddz ρ M π h z dθ rdr h zdz h 4 Simmetrie di rotzione Nel cso in cui il corpo B i densità uniforme e si di rotzione sono di utilità i seguenti teoremi di Guldino. Teorem 7.1 (Primo teorem di Guldino). L re dell superficie S genert dll rotzione di un rco di curv pin γ ttorno d un sse complnre che non l ttrversi coincide col prodotto dell lunghezz di γ per l lunghezz dell circonferenz descritt dl ricentro di γ nel corso dell rotzione. Dimostrzione. Teorem 7. (Secondo teorem di Guldino). Il volume del dominio D generto dll rotzione di un regione pin idimensionle Σ ttorno d un sse d ess complnre e che non l ttrversi è dt dl prodotto fr l re di Σ e l lunghezz dell circonferenz percors dl ricentro di Σ nel corso dell rotzione. Dimostrzione. Esempio 7.3 (Bricentro di un semicirconferenz). Considerimo un semicirconferenz di rggio. Sceglimo gli ssi coordinte in modo che l sse coincid con l sse di simmetri mterile. Si h G. L coordindt G del ricentro si trov invece usndo il primo teorem di Guldino: S sfer πl semicirc G 4π π(π) G

3 7.5. BAICENTI 11 G, G π Esempio 7.4 (Bricentro del semicerchio). Considerimo un semicerchio di rggio. Sceglimo gli ssi coordinte in modo che l sse coincid con l sse di simmetri mterile. Si h G. L coordindt G del ricentro si trov invece usndo il secondo teorem di Guldino: G, G 4 3π V sfer πa semicerchio G 4 3 π3 π (π ) G Bricentri di figure composte L seguente proposizione fornisce un proprietà del ricentro molto utile nei clcoli. Proposizione 7.5. Si B un sistem mterile di mss M tle che B B 1 B con B 1 B insieme di misur null (1) (d esempio, B 1 B ). Allor, se G indic il ricentro di B: M 1 M (G O) (G 1 O)+ (G O) M 1 + M M 1 + M dove M i indic l mss del sottosistem B i e G i il rispettivo ricentro. Dimostrzione. È immedit. Corollrio 7.6. Si B un sistem mterile di mss M tle che: Allor, se G indic il ricentro di B: B B 1 \B. (G O) M 1 M (G 1 O) M M (G O) dove M i indic l mss del sottosistem B i e G i il rispettivo ricentro. Nel seguito vedimo il clcolo di lcuni ricentri di sistemi venti densità di mss uniforme. Esempio 7.7 (Bricentro di un settore circolre). Considerimo un settore circolre S di semipertur α e l cui densità di mss uniforme. (1) Per le ppliczioni che ci interessno, questo signific: B 1 B dτ.

4 1 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI Scelti gli ssi coordinti in modo che l sse coincid coll sse di simmetri del settore, si h: α G. Per l coordint G si h: 1 G : G dd S dd S Scelte coordinte { r sin θ r cos θ si h dd rdrdθ S dd S dd α α α α 3 3 dθ dθ α α α r dr r cos θ dr cos θ dθ 3 3 sin θ α α 3 3 sin α G, G 4 3 sin α α Esempio 7.8 (Bricentro lmin semicircolre omogene). Il ricentro di un lmin semicircolre omogene si ottiene del clcolo dell esempio precedente ponendo α π. Si trov: G, G 4 3π Esempio 7.9 (Bricentro di un tringolo rettngolo). Clcolimo il ricentro di un lstr tringolre rettngolre omogene.

5 7.5. BAICENTI 13 Vedremo in 7.5 un metodo più rpido per clcolrlo, conoscendo il volume del cono circolre retto. Scelti gli ssi coordinti in modo che coincidno con i cteti del tringolo e dette e le loro lunghezze si h: G d d ( ) d G 3 1 d d ( ) d : 3 G 3, G 3 Esempio 7.3 (Bricentro di un tringolo isoscele). Clcolimo il ricentro di un lstr tringolre isoscele e omogene. h Applicndo l proposizione 7.5 e il precedente esempio, si trov suito che: G, G h 3 Esempio 7.31 (Bricentro di un trpezio rettngolo). Un trpezio è l unione di un rettngolo e di un tringolo rettngolo. Possimo quindi usre i risultti precedenti e l proposizione 7.5. L re del trpezio è: c A tot ( + )c e quindi, l coordint G del ricentro dell lmin è dt d: men- [ ( G ( + ) c c + + ) ] ( )c ( + )

6 14 CAPITOLO 7. MECCANICA DEI SISTEMI tre l coordint G : : [ c G ( + ) c c + c 3 c( + )) 3( + ) G + + 3( + ), G ] ( )c c( + )) 3( + ) Esempio 7.3 (Bricentro dell coron circolre). Considerimo un coron semicircolre di rggi 1 <. Sceglimo gli ssi coordinte in modo che l sse coincid con l sse di simmetri mterile. Si h: G. 1 Usndo l proposizione 7.6 si h: [ π G π( 1 ) 4 ( 3 3π( 1 ) 1 3 ) 4 3π( + 1 ) 4 3π π 1 ( ) G, G π + 1 ] 4 1 3π Esempio 7.33 (Bricentro di un rettngolo ucto ). Considerimo l lmin omogene in figur, costituit d un lmin rettngolre cui è stto ftto un foro con centro in H e di rggio. L coordint G del ricentro si trov immeditmente, notndo che l sse che congiunge K con H è di simmetri mterile: K H 1 G π ( G L coordint G del ricentro si trov utilizzndo il corollrio 7.6 e i risultti degli esempi 7.7 e 7.8 : { [ ) 4 3π ] π ( ) }

7 7.5. BAICENTI π + 3(8 π)

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