Ottavio Serra. Baricentri

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1 Ottvio err Bricentri Bricentro geometrico di un tringolo (All letter, ricentro signific centro del peso Vedremo tr poco il perché di questo nome) L dimostrzione seguente risle Euclide FIG Considero le medine BM e CN che si intersecno in G (Fig) I tringoli ANM e ABC sono simili ( criterio) e perciò MN è prllel e metà di BC Presi poi i punti medi H e K dei segmenti GB e GC del tringolo GBC, per lo stesso motivo HK risult prllel BC e pri ll su metà Perciò il qudriltero NMKH, vendo due lti opposti uguli e prlleli, è un prllelogrmmo e le digonli HM e KN si isecno (in G) i conclude che BH, HG e GM sono uguli e pertnto GM è / dell inter medin BM Anlogmente GN è / di CN egue che l terz medin (quell che prte d A) deve pssre per G Inftti, detto J il punto in cui l medin uscente d A intersec BM, dovrà essere MJ =/ di MB; m nche MG=/ di MB, dunque J=G Inoltre imo il el risultto che il ricentro divide ciscun medin in due prti, un (quell verso il vertice) doppi dell ltr Il ricentro in meccnic A rigore, si deve prlre di centro di mss, m noi lo chimeremo ricentro e un sistem è costituito di N prticelle, diremo ricentro (centro di mss) il punto in cui è concentrt tutt l mss del sistem e che h quntità di moto ugule quell del sistem L su posizione srà perciò dt dl vettore N mr i i i [] RC, con ovvio significto dei simoli N m i i I vettori vrnno componenti (x; y; z) nello spzio, (x; y) nel pino, (x) su un rett Csi prticolri Bricentro di due punti mterili: (m +m )x c = m x +m x Ponimo x =, x =d, x c =d, d-d =d Verificre che il ricentro delle due prticelle divide l loro distnz d in prti inversmente proporzionli lle due msse: d /d = m /m In prticolre, se le msse sono uguli, il ricentro è il punto medio dell loro congiungente Il risultto vle più in generle nel cso seguente: se un sistem è diviso in due prti ed di msse m ed m e ricentri G e G, llor il ricentro G di divide il segmento G G in prti inversmente proporzionli lle msse m ed m Bricentro di un segmento omogeneo: è il punto medio del segmento Immginre un semplice dimostrzione

2 e un figur omogene h un sse di simmetri ortogonle, il ricentro st su tle sse; se ne h due, il ricentro è l loro intersezione 4 e un figur h un centro di simmetri, questo è il ricentro Esercizio Immginre un esperimento per determinre il ricentro di un crtoncino omogeneo pitto dl contorno irregolre Vedimo or perché il ricentro del tringolo ABC, pensto come un lmin (omogene), deve stre sulle medine e quindi deve coincidere col ricentro geometrico Fig Inftti, se ffettimo il tringolo ABC in strisce prllele l lto BC, stnz strette d ssimilrle segmenti ( stoncini ), ciscun di essi vrà il ricentro nel suo punto medio e quindi il tringolo vrà il ricentro sull medin AL Affettndo il tringolo prllelmente un ltro lto, il ricentro srà sull corrispondente medin e il ricentro G srà nell intersezione delle due medine; siccome, però, il centro del peso è unico, nche l terz medin deve pssre per G Un dimostrzione geometric rigoros è stt dt ll inizio Che il luogo dei punti medi delle corde prllele l lto BC è l medin reltiv questo lto si dimostr come segue: i HK un cord prllel BC (Fig), T l intersezione con l medin AL I tringoli AHT e ABL sono simili e perciò HT/BL = AH/AB; nche i tringoli AHK e ABC sono simili e AH/AB = HK/BC; segue HT/BL = HK/BC; quindi HT/HK = BL/BC e siccome BL=BC/, nche HT=HK/: T è punto medio di HK Fig Il ricentro di tre msse uguli poste i vertici di un tringolo è ncor il ricentro geometrico G Inttti, il ricentro delle due msse poste in B e in C è il punto medio L Qui possimo immginre concentrt un mss m; il ricentro delle tre msse poste in A, B, C coinciderà col punto Z ricentro dell mss m in L e dell mss m in A; AZ e ZL srnno perciò inversmente proporzionli d m e m, cioè AZ=ZL, ovvero ZL=AL/: Z coincide con G (Vedi Fig4)

3 Fig4 E il ricentro di un filo metllico piegto form di tringolo? E ncor il ricentro geometrico G, purché ciscun lto si omogeneo e ognuno i mss m Fig5 Inftti (vedi Fig5) i lti AB e AC hnno i rispettivi ricentri nei loro punti medi N ed M e il loro ricentro è H, con mss m Il ricentro del sistem è Z, con LZ=/LH=/LA/=LA/ e quindi Z cde in G e il filo metllico precedente è omogeneo, le msse dei lti sono proporzionli lle loro lunghezze e, se AB e AC sono disuguli, il ricentro delle loro msse non st nel punto medio H di NM e quindi non st sull medin AL Per i qudrilteri non è più vero che il ricentro di quttro msse uguli poste nei vertici coincid col ricentro dell corrispondente lmin omogene Fremo l dimostrzione su un trpezio isoscele di si e (>) e ltezz h cegliendo un opportuno riferimento crtesino, il trpezio vrà vertici O(; ), A(-; h), B(+; h), C(; ), (Vedi Fig6) In O, A, B, C sino poste quttro msse uguli Il ricentro di A e B strà nel punto medio H di AB, quello di O e C strà nel punto medio K di OC e siccome in H e K sono concentrte msse uguli m, il ricentro delle quttro msse è il punto medio (; h/) di HK Fig6 e invece considerimo l lmin omogene OABC, il ricentro strà ncor su HK, che è sse di simmetri, di equzione x=, m l ordint non srà in generle h/ Inftti, possimo immginre il trpezio OABC come differenz del tringolo OEC e del tringolo AEB (Vedi Fig7) L ordint y del ricentro G del tringolo OEC è l medi pest di y, ordint del ricentro G del tringolo AEB e di y, ordint del trpezio (I pesi sttistici sono le msse del tringolo AEB e del trpezio OABC divise per l mss del tringolo OEC Le msse sono proporzionli lle ree, per l ipotesi di omogeneità, perciò i pesi sttistici sono rpporti di ree)

4 Fig7 Dette, ed le ree dei tringoli e del trpezio, h, h ed h le rispettive ltezze, risulterà h =(/)h, h=h h e quindi h h, h h, (le ree sono proporzionli i qudrti di lti omologhi) ed - = Pertnto vremo ed Le ordinte dei ricentri dei tringoli sono h h h h y, y h h h, quindi l equzione dei ricentri è ( ) ( ) ( ) y= y - y, ovvero ( ) h h y ( ) ( ) e infine ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y h h h h i noti che risult y h/, vlendo il segno ugule solo se = (se il trpezio degener in un rettngolo) e perciò il ricentro dell lmin omogene è più sso del ricentro di quttro msse uguli poste i vertici del trpezio Un modo più semplice di determinre il ricentro del trpezio è il seguente (Vedi Fig8) Fig8 Il ricentro dei tringoli AOT e BVC è il punto G, di sciss e ordint y, =h/ Il ricentro del rettngolo ABVT è il punto G di sciss e ordint y =h/ Il peso sttistico del punto G, è il rpporto tr l somm delle ree dei due tringoli e l re del trpezio: p, =(-)/( + ) Il peso sttistico di G è p =/(+ ) Perciò il ricentro G del trpezio h sciss e ordint p, h/+p h/ 4

5 cioè h h 6 yg h h, come trovto più su 6( ) ( ) Figure contorno curvilineo o con densità vriile In tl cso le sommtorie vnno sostituite d integrli e l [] divent [] R C V V r ( r ) dr ; V è l estensione dell figur, ρ l densità, r il rggio vettore del generico ele- ( r ) dr mento di V L integrle srà curvilineo, doppio, triplo second dell figur Alcuni esempi ) Bricentro di un lmin form di semicerchio x +y r, y, ρ costnte Per simmetri, x C = ydxdy r r x r r x 4r dx ydy r x dx r x r / r r r r r ) Bricentro dell semicirconferenz x +y r, y, ρ costnte y ds rsen rd r r Per simmetri, x C = ; r r r ) e considerimo un filo metllico omogeneo piegto formre un line chius consistente in un semicirconferenz come nell esempio ) e nel corrispondente dimetro r, l sciss srà ncor zero, l ordint è l medi pest del ricentro del cso ) e di quello del dimetro che, essendo sull sse delle scisse, è zero Perciò r r r r rr 4) Bricentro di mezz ellisse di semissi e, centro O (;), y L re =π/; x C =; x ydxdy dx ydy e quindi x 4 ( x ) dx x (come nel cso del semicerchio) 5) Bricentro di un segmento prolico - ydxdy dx ydy 4 Per l simmetri, x C = C dxdy 4 4 x y x x dx = 5 8 = x x x Considerimo qulche solido 6) Bricentro di un emisfero di rggio ed equzione x +y +z, z 5

6 Per simmetri, x C =y C = Volume dell emisfero V=π / Perciò x y zdxdydz dxdy zdz ( x y ) dxdy V Dx, y Dx, y e quindi (pssndo coordinte polri r, φ, Jcoino=r) 4 ( ) r r d r rdr ) Bricentro di un semi ellissoide x y z, z, ρ costnte c Volume del solido (mezzo ellissoide) V= πc Al solito x C =y C = x y c x y V Dx, y Dx, y zdxdydz dxdy zdz c dxdy c c c Pssndo coordinte ellittiche x=rcosφ, y=rsenφ, Jco= r, 4 c c r r c d ( r ) rdr c ) Bricentro di un cono (circolre retto) di ltezz h e rggio di se Volume V=π h/; x C =y C = (come per un emisfero) z( x, y) zdxdydz dxdy zdz z ( x, y ) dxdy h h h V Dx, y Dx, y Psso coordinte cilindriche r,φ,z: φ ( ) i ottiene x=rcosφ, y=rsenφ, z=z, Jcoino =r e z(x,y)=z(r,φ)= ( ) Perciò 4 h h r r r h d r r rdr h h 4 4 9) Verificre che se il cono h se ellittic, l quot del ricentro è ncor /4 dell ltezz e che per un pirmide rett il ricentro è sempre d /4 dell ltezz, prtendo dll se ) Dto un tronco di cono circolre retto di ltezz h e rggi di se e (>), dimostrre che il ricentro st sull ltezz, distnz dll se mggiore z C ( ) 4( ) h Prim verificre l formul nei csi limite = (cono, z C =h/4) e = (cilindro, z C =h/) Per l dimostrzione frsi guidre dll nlogi col cso del trpezio, primo metodo, Fig7 ) Bricentro di un superfice emisferic omogene (ρ costnte) x +y +z =, z Are =π, x C =y C =, zd Pssndo coordinte sferiche r(, ) ( sen cos, sen sen, cos ), l elemento d re r r e d sen d d d d sen d d / cos 6