b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

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1 Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f() positiv dell intervllo (,), l integrle definito di f() nell intervllo (,) è l re delimitt dlle funzioni f(); ; e dlle rette ;. Esso si indic con il simolo: f ( ) d Per questo esempio ; ; ;. L re in questione può essere clcolt trmite il teorem fondmentle del clcolo integrle o trmite le successioni dei rettngoli inscritti o circoscritti, per cui l integrle definito in questione corrisponde : f ( ) d F() F(). Clcolimo l insieme delle primitive di f(): ( ) R. 6 f d F() F(). f d d + k, k L integrle definito dell esempio diviene: ( ). Il cndidto spiegi, vvlendosi di un esempio, il teorem del vlor medio. Are f() f() Un funzione f() continu nell intervllo tr [,] (,) tle ce ( ) d ( ) f ( ) f Si definisce quindi vlor medio dell funzione f() il vlore di f( ) ( ) f d tle ce: f ( ). Grficmente tle vlore rppresent l ltezz del rettngolo di se - per cui l su re equivle ll re del trpezoide. Per esempio l funzione nell intervllo [,], come re: [ ] Il vlor medio corrisponde : f ( ) ( ) f d d.. Moltiplicndo tle vlore per l se [,] ottenimo l re del trpezoide.. Il cndidto spiegi ce cos si intende per integrle generlizzto, indicndo un esempio per ogni cso in cui si ricorre d esso. Si dice ce l integrle ( ) f d è un integrle generlizzto se:. uno o entrmi i limiti di integrzione risultno infiniti. f() non è limitt in qulce punto dell intervllo di integrzione Possono nce verificrsi entrmi i csi contempornemente. In tli csi si definisce: Pgin di 6

2 + β f ( ) d lim f ( ) d β f ( ) d lim f ( ) d α α + β f ( ) d lim f ( ) d α β + α. se f() è illimitt per c per c [,], llor: c γ f d f d + f d lim f d + f d (se c è uno dei due estremi di γ c c γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) integrzione llor uno dei due integrli soggetti l limite è nullo). 4. Dt l equzione differenzile del primo ordine, il cndidto illustri in relzione d ess ce cos fferm il teorem di Cuc. Il teorem di Cuc fferm ce dt un equzione differenzile ' f (, ) con ( ) f, continu nell insieme D è possiile determinre lmeno un funzione () ce soddisfi l condizione inizile ( ). ES. con l equzione IDR Soluzione con vriili seprte: ' d + c c d d ln + c e e e e c, SOLUZIONE GENERALE Per il teorem di Cuc, dt per esempio l condizione inizile (), è possiile determinre l soluzione prticolre, quell funzione ce pprtiene ll fmigli delle funzioni dell soluzione generle e ce rispetti l condizione inizile: e c c, quindi l soluzione prticolre è: e 5. Il cndidto spiegi come e qundo è possiile determinre l soluzione generle di un equzione differenzile del secondo ordine linere omogene conoscendo due soluzioni prticolri. Si fornisc un esempio. È possiile determinre l soluzione generle di un equzione differenzile del secondo ordine linere omogene conoscendo due soluzioni prticolri qundo queste sono linermente indipendenti. Le due soluzioni sono linermente indipendenti se il loro rpporto non è costnte. k + 4k + 4 Esempio: '' equzione omogene ssocit: k k SOLUZIONI: e -, e - costnte, linermente dipendenti È possiile dimostrre ce per questo cso ( ) un ulteriore soluzione prticolre è: e - Le due soluzioni sono linermente indipendenti, l soluzione generle è quindi l cominzione linere delle due soluzioni prticolri: c + c c e + c e. Pgin di 6

3 6. Spieg il concetto di integrle indefinito di un funzione f(), fornendo un esempio. L integrle indefinito di un funzione f è l insieme delle sue funzioni primitive. Esso si indic con il simolo: f ( ) d, definendo l primitiv come: un funzione F derivile in un intervllo (,) si dice funzione primitiv in (,) di un ltr funzione f se per ogni (,) si : F ()f(). Esempio, integrle dell funzione f() : d + k, k R. Se clcolimo l derivt di tle soluzione ottenimo: ' + k ' +. ( ) 7. Enunci il teorem dell medi e dnne un spiegzione geometric. v. punto. 8. Spieg ce cos è l funzione integrle L funzione integrle è ( ) f ( t) Pgin di 6 H dt. Si può dimostrre ce H() è un funzione integrle di f(), llor H() è un primitiv di f() cioè H ()f(). DIMOSTRAZIONE: Prendendo in esme l figur si può esprimere l incremento dell funzione integrle H() dll formul: + f () t dt f ( ) + ( + ) H ( ) f ( t) dt f ( t) H dt. Con le proprietà dell integrle definito, precismente l, è possiile semplificre l espressione come segue: + + H ( + ) H ( ) f () t dt + f () t dt f () t dt f () t dt. Or pplicndo il teorem dell medi è possiile definire, dove corrisponde ll differenz tr (+)-, ce nell enuncito er -. Riportndol ll espressione precedente: H ( + ) H ( ) f ( ) H ( + ) H ( ) f ( ) H ( + ) H ( ) f ( ) H ( + ) H ( ) Il rpporto è il rpporto incrementle. Il limite per ce tende zero di tle H ( + ) H ( ) rpporto è: lim f ( ) percé qundo tende zero tende. Il limite di tle rpporto incrementle è l derivt di H() ed essendo tle limite ugule f(), llor l derivt di H() è f(): H ()f(). 9. Qundo si ricorre ll integrle generlizzto?. Come procederesti dovendo clcolre l integrle di un funzione f() su un intervllo illimitto [,+ ). v. punto.. Spieg il concetto di integrle definito di un funzione f() su un intervllo [,], fornendo un esempio grfico. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f() positiv dell intervllo (,), l integrle definito di f() nell intervllo (,) è l re delimitt dlle funzioni f(); ; e

4 dlle rette ;. Esso si indic con il simolo: f ( ) d lim Sn lim sn n n. Inftti, l re del trpezoide può essere clcolt trmite l utilizzo di più rettngoli inscritti (s) e più rettngoli circoscritti (S), indicndo con n il numero di suddivisioni per l determinzione di tli rettngoli. Più sono elevte il numero dei rettngoli più le due somme si vvicinno tr loro, e quindi più è ccurt l misur. Il clcolo dell integrle definito di un funzione port determinre un superficie di un trpezoide, come in figur. f() Pgin 4 di 6 Are. Definisci il vlor medio di un funzione e spieg cos corrisponde geometricmente. v. punto.. Enunci il teorem fondmentle del clcolo integrle. Se H() è un funzione integrle di f(), e quindi l su primitiv, possimo indicre l generic primitiv come F ( ) H ( ) + k. Allor, per l definizione di funzione integrle F( ) f ( ) d + k l formul diviene F( ) f ( ) d + k k F. Nel cso ce si ugule d. Riportndo tle risultto nell formul precedente ( ) f ( ) d + F( ), e ponendo ugule F( ) f ( ) d + F( ). Per le proprietà di equivlenz delle equzioni, si può riscrivere l formul come f ( ) d F( ) F( ). Essendo l integrle definito di f() l re di un trpezoide, come detto precedentemente, e F() e F() le primitive di tle funzione clcolte in e, llor è possiile clcolre l re di un trpezoide trmite lo svolgimento di un integrle indefinito per due volte.. Qundo si ricorre ll integrle generlizzto?. Come procederesti dovendo clcolre l integrle di un funzione f() definit su un intervllo [,) ed illimitt in. v. punto. 4. Fornire un esempio di ppliczione delle equzioni differenzili in elettrotecnic. v. quderno, esempi sul circuito RC in pertur e ciusur. 5. Spiegre ce cos si intende per equzione differenzile e dre un definizione di origine e di grdo. L equzione differenzile è un equzione ce coinvolge l funzione incognit e le sue derivte, l equzione differenzile generic si indic:

5 F( n,,,,,) o n L ordine di un equzione differenzile è l ordine mssimo delle derivte dell funzione. Esempio ordine : + ++ Il grdo di un equzione differenzile è il grdo mssimo dell derivt di ordine mssimo. Esempio grdo : Spieg ce cos si intende per soluzione generle, soluzione prticolre e soluzione singolre di un equzione differenzile; riferendosi d esempio ll equzione. Si dice soluzione generle di un equzione differenzile un insieme di funzioni ce differiscono d un costnte c: f ( ; c) Esempio: ' d + c e c ln, soluzione generle. Ad ogni vlore di c corrisponde un soluzione prticolre f ( ;c ) con c clcolile dlle condizioni inizili: ( ) e c c e, soluzione prticolre. Integrli singolri, sono soluzioni dell equzione differenzile ce non si ricvno dll soluzione generle. In questo cso non ci sono soluzioni singolri percé come dominio R : se l integrle singolre esiste llor esiste un frontier, quindi non c è percé il dominio è illimitto. 7. Spieg, riferendoti d un delle equzioni svolt, ce cos è un equzione differenzile, ce cos è l ordine, ce cos è il grdo, ce cos è l soluzione prticolre e ce cos è l soluzione generle di un equzione differenzile. v. punto 5. Per l equzione l ordine è primo, e il grdo uno. v. punto Illustr i vri csi ce si possono presentre nell risoluzione di un equzione differenzile del secondo ordine linere omogene. I vri csi sono: Il discriminnte dell equzione ssocit mggiore di. Il discriminnte dell equzione ssocit ugule. Il discriminnte dell equzione ssocit minore di. v. quderno per i vri tipi di soluzione. 9. Definisci l trsformt di Lplce L trsformt di Lplce è un prticolre opertore funzionle: mentre un funzione ssoci d un ( ) vriile un second vriile f, un opertore funzionle ssoci d un funzione un'ltr funzione f ( ) φ g( ). L funzione f() è dett origine e l funzione g() immgine o trsformt. In questo preciso cso l funzione origine è un funzione nel tempo e l funzione immgine è un funzione nell vriile compless s ( s σ + iω ) ed è definit come un st prticolre integrle generlizzto: f ( t) e dt.. Spieg l utilità dell trsformt di Lplce. Pgin 5 di 6

6 L trsformt di Lplce permette di trsformre un prolem differenzile in un prolem lgerico lqunto più semplice d risolvere, per poi pplicre l ntitrsformt ottenere l soluzione del prolem differenzile: Prolem differenzile Trsformt di Lplce Prolem lgerico Clcolo diretto Soluzione del prolem differenzile Soluzione del prolem lgerico Antitrsformt di Lplce Pgin 6 di 6

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