DEFINIZIONI E TEOREMI

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1 Anlisi Mtemtic L-A Anno Accdemico 2006/07 Docente prof Giovnni Dore DEFINIZIONI E TEOREMI Riccrdo Trevisn 19 gennio 2007

2 Sommrio ( * richiede dimostrzione) 1 Prodotto crtesino 1 2 Intervllo 1 3 Funzione 1 4 Dominio e codominio di funzioni 1 5 Immgine di un funzione 1 6 Vlore ssoluto 1 7 Proprietà del vlore ssoluto (I, II, III *, IV *, V, VI *, VII *) 2 8 Mssimo e minimo di un insieme 2 9 Mggiornte e minornte di un insieme 2 10 Insieme superiormente e inferiormente limitto 2 11 Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme 2 12 Principio d induzione 3 13 Disuguglinz di Bernoulli * 3 14 Successioni 3 15 Significto di definitivmente 3 16 Limite finito di successione 3 17 Limite infinito di successione 3 18 Successioni convergenti e divergenti 3 19 Teorem di unicità del limite 3 20 Successione limitt 3 21 Teorem sulle successioni limitte (I, II, III) 4 22 Teorem di permnenz del segno * 4 23 Teorem del confronto (I, II, III) 4 24 Teorem del limite dell somm di successioni (I *, II, III) 4 25 Teorem del limite del prodotto di successioni (I *, II, III) 4 26 Teorem sull nnullmento del prodotto dei limiti di successioni limitte * 5 27 Teorem del limite del quoziente di successioni (I, II, III, IV) 5 28 Teorem del limite del vlore ssoluto di un successione (I *, II) 5 29 Successioni crescenti, decrescenti, monotone 5 30 Teorem di esistenz del limite per successioni monotone * 5 pg ii

3 31 Il numero e 5 32 Funzione compost 6 33 Funzione iniettiv, suriettiv, iiettiv 6 34 Funzione invertiile 6 35 Funzione identic 6 36 Teoremi sulle funzioni invertiili 6 37 Limite di funzione 6 38 Teorem di permnenz del segno per i limiti di funzioni * 7 39 Teorem del limite di funzione compost 7 40 Limite destro e limite sinistro di funzione 7 41 Funzione ristrett 7 42 Teorem sui limiti destro e sinistro di funzione (i, ii) 7 43 Funzioni crescenti, decrescenti, monotone 7 44 Teoremi sui limiti di funzioni monotone (I, II, III) 7 45 Funzione continu 8 46 Teorem sull somm di funzioni continue 8 47 Teorem sulle funzioni continue (i, ii) 8 48 Teorem sull continuità dell funzione compost 8 49 Funzione segno 8 50 Teorem degli zeri * 8 51 Teorem dei vlori intermedi 8 52 Teorem di Weierstrss 9 53 Rpporto incrementle 9 54 Derivt 9 55 Teoremi sull lger delle derivte (I, II *, III *) 9 56 Teorem sull derivt di funzione compost 9 57 Rett tngente 9 58 Teorem sull crtterizzzione di funzioni derivili (i, ii, iii) * 9 59 Teorem sull continuità di funzioni derivili Teorem sull derivt di funzione invers Funzione rcoseno10 62 Funzione rcocoseno10 pg iii

4 63 Funzione rcotngente Seno iperolico Coseno iperolico Tngente iperolic11 67 Mssimo e minimo reltivi Teorem di Fermt * Teorem di Rolle *11 70 Teorem del vlor medio o di Lgrnge *11 71 Teorem sulle funzioni derivt null * Teorem di relzione tr crescenz e segno dell derivt Test di monotoni (I, II) *12 74 Teorem di relzione tr segno dell derivt e estremnti (I *, II) Derivt second12 76 Teorem de l Hopitl (1^ form) * Teorem de l Hopitl (2^ form) o piccolo13 79 Polinomio di Tylor Formul di Tylor con resto secondo Peno Formul di Tylor con resto secondo Lgrnge Asintotic equivlenz Convessità e concvità di funzioni Teorem sulle funzioni convesse (i, ii) *14 85 Test di convessità (i, ii) * Teorem di relzione tr convessità e minimo ssoluto *14 87 Teorem di relzione tr derivt prim, segno di derivt second ed estremnti reltivi (I, II) Punto di flesso Teorem di relzione tr punto di flesso e derivt second Prità e disprità di funzioni Periodicità di funzioni14 92 Asintoti Integrle15 94 Teorem sull linerità dell integrle (I *, II) 15 pg iv

5 95 Teorem sull monotoni dell integrle15 96 Teorem sul vlore ssoluto di integrli *15 97 Teorem dell medi integrle * Teorem sull lger degli integrli Primo teorem fondmentle del clcolo integrle * Primitiv Teorem sulle primitive di funzione Secondo teorem fondmentle del clcolo integrle * Teorem di integrzione per prti * Teorem di integrzione per sostituzione (1^ form) * Teorem di integrzione per sostituzione (2^ form)16 pg v

6 1 Prodotto crtesino Dti due insiemi non necessrimente distinti A e B possimo considerre un nuovo insieme costituito d tutte le coppie ordinte (, ) con A e B Esso prende il nome di prodotto crtesino di A per B e si indic col simolo A B 2 Intervllo Dti due numeri reli,, si chim intervllo di estremi e uno dei seguenti insiemi: [, ] = { x R: x } [, [ = { x R: x< } ], ] = { x R: < x } ], [ = { x R: < x< } Un intervllo limitto rppresent geometricmente un segmento, mentre uno illimitto rppresent un semirett 3 Funzione Un funzione può essere definit come un regol che d un oggetto (esempio un numero) ne f corrispondere un ltro Sino A, B insiemi, tli che f : A B, qundo: ) A B :(, ) f ; f A B ) se (, ) f e ( c, ) f llor = c 4 Dominio e codominio di funzioni Dicimo che f è un funzione d A B, e scriveremo Sino A, B insiemi, l insieme B f : A B, chimimo dominio di f l insieme A, codominio di f 5 Immgine di un funzione Dt f : A B, l insieme { fx (): x A} è detto immgine di f e si indic Im f 6 Vlore ssoluto Si x R, chimimo vlore ssoluto di x il numero: x se x 0 x = x se x < 0 Il numero x rppresent geometricmente l distnz dl punto x sull sse rele dll origine, mentre il numero x y rppresent l distnz tr x e y, ossi l lunghezz del segmento che li congiunge pg 1

7 7 Proprietà del vlore ssoluto (I, II, III *, IV *, V, VI *, VII *) Sino xy, R : I) x 0 II) x = 0 x = 0 III) x y y x y IV) x y x y o x y V) x y = x y VI) x y x y VII) x y x y 8 Mssimo e minimo di un insieme Sino A R, R, llor dicimo che è mssimo di A, e lo indichimo mx A, qundo: ) A ) x A x Dicimo che è minimo di A, e lo indichimo mi n A, qundo: ) A ) x A x 9 Mggiornte e minornte di un insieme Sino A R, y R Dicimo che y è un mggiornte di A (risp minornte di A) qundo x A x y (risp x A x y) 10 Insieme superiormente e inferiormente limitto Si A R, dicimo che A è superiormente limitto (risp inferiormente limitto) qundo l insieme dei mggiornti non è vuoto (risp l insieme dei minornti non è vuoto) 11 Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme Si A R superiormente limitto, chimimo estremo superiore di A, e lo indichimo sup A, il minimo dell insieme dei mggiornti di A e estremo inferiore di A, e lo indichimo inf A, il mssimo dell insieme dei minornti di A Proprietà fondmentle che distingue R d Q è che in R ogni insieme dei mggiornti (risp dei minornti) h minimo (risp mssimo) pg 2

8 12 Principio d induzione Definit pn ( ) come proposizione in cui compre il numero nturle n, si vuole dimostrre che n N p( n) è ver Per dimostrre ciò per induzione occorre dimostrre: ) p(0) è ver; ) n N p( n) p( n 1) 13 Disuguglinz di Bernoulli * n x > 1, n N (1 x) 1 nx 14 Successioni N d A un successione è indict con ( ) dove è il corrispondente medinte l funzione, in ltre Si A un insieme, chimimo successione termini in A ogni funzione d prole: è il -esimo termine dell successione 15 Significto di definitivmente Si ( ) successione in Dicimo che ( ) h definitivmente un cert proprietà qundo esiste R N tle che per ogni 16 Limite finito di successione > possiede quell cert proprietà Sino ( ) successione in R e l R Dicimo che ( ) h limite l per che tende ε R l < ε Perciò si h: qundo definitivmente ε R N > l < ε In tl cso il limite viene indicto con: lim = l ε : ε 17 Limite infinito di successione Si ( ) successione in R Dicimo che ( ) h limite qundo M R N definitivmente > M Perciò si h: M R N: > > M 18 Successioni convergenti e divergenti M M Si ( ) successione in R Se esiste l R tle che lim l dicimo che l successione = è convergente Se lim = o lim = dicimo che l successione ( ) è divergente Se ( ) non h limite, né rele, né, né, llor dicimo che è irregolre o oscillnte 19 Teorem di unicità del limite Si ( ) successione in Se esistono entrmi limite di ( ) llor l m R, lm R = N 20 Successione limitt Dicimo che un successione è limitt qundo l insieme { : N} è limitto pg 3

9 21 Teorem sulle successioni limitte (I, II, III) Si ( ) successione in R I) Se ( ) è convergente llor è limitt II) Se lim llor ( ) è inferiormente limitt e superiormente illimitt = N III) Se lim llor ( ) è superiormente limitt e inferiormente illimitt = N 22 Teorem di permnenz del segno * ( ) Sino successione in R, l R, m R Se N e lim N m = l llor l m 23 Teorem del confronto (I, II, III) Sino ( ), ( ), ( c ) successioni in tli che N c R I) Se ( ) c sono convergenti e lim c lim ed è rele, llor convergente e lim = lim = lim c e ( ) II) Se lim = llor lim = III) Se lim c = llor lim = = ( ) 24 Teorem del limite dell somm di successioni (I *, II, III) Sino ( ) e ( ) N lim = m N I) Se l, m R llor lim = l m ( ) è N successioni in R, l, m R Supponimo che esistno lim = l e II) Se l e m llor esiste lim = = > ( ) III) Se l e m llor esiste lim = = < ( ) Il teorem non contempl il cso in cui sino l = e m = o l = e m = 25 Teorem del limite del prodotto di successioni (I *, II, III) Sino ( ) e ( ) N N successioni in R, l, m R, tli che lim = l e lim = m I) Se l, m R llor lim = lim lim II) Se l {, } e m > 0 llor esiste lim = l III) Se l {, } e m < 0 llor esiste lim = l pg 4

10 26 Teorem sull nnullmento del prodotto dei limiti di successioni limitte * Sino ( ) e ( ) N llor lim = 0 N successioni in R Se lim 0 e l successione = ( ) 27 Teorem del limite del quoziente di successioni (I, II, III, IV) Si ( ) N N è limitt successione in R, m R Supponimo che N 0 e si lim ( ) = m I) Se m R {} 0 llor esiste II) Se III) Se IV) Se m {, } 1 1 lim = m llor esiste m = 0 e > 0 m = 0 e < 0 1 lim = 0 llor esiste llor esiste 1 lim = 1 lim = 28 Teorem del limite del vlore ssoluto di un successione (I *, II) Sino ( ) successione in tle che = l N I) Se l R llor esiste lim II) Se R, l R lim = l l {, } llor esiste lim = 29 Successioni crescenti, decrescenti, monotone Si ( ) successione in R Dicimo che ( ) è crescente (risp strettmente crescente) qundo 1 (risp 1 > ) Dicimo che ( ) è decrescente (risp strettmente decrescente) qundo 1 (risp 1 < ) Dicimo che ( ) è monoton qundo è crescente o decrescente 30 Teorem di esistenz del limite per successioni monotone * Si ( ) successione in R Se ( ) è crescente (risp decrescente, quindi monoton) lim = sup { : N} lim = inf { : N} llor esiste (risp ) 31 Il numero e Chimimo e il numero 1 lim 1 pg 5

11 32 Funzione compost Sino A, B, C insiemi, f : A B, g : B C chimimo composizione di f con g, e indichimo g f, l funzione d A C tle che per x A ( g f)( x) = g( f ( x) ), chimt funzione compost 33 Funzione iniettiv, suriettiv, iiettiv Si f : A B Dicimo che f è iniettiv qundo x, x A f ( x ) = f ( x ) x = x Dicimo che f è suriettiv su B qundo Im f = B Dicimo che f è iiettiv o iunivoc su B (o d A B) qundo f è iniettiv e suriettiv su B 34 Funzione invertiile Si f : A B Dicimo che f è invertiile qundo f è iniettiv, in tl cso chimimo funzione invers di f l funzione f 1 :Imf Domf tle che x Dom f, y Im f 1 f ( y) = x f ( x) = y 35 Funzione identic Si A un insieme Chimimo funzione identic o identità su A l funzione Id A : A A tle che x A Id ( ) A x = x 36 Teoremi sulle funzioni invertiili Si f : A B invertiile, llor 1 1 Dom f = Im f e Im f = Dom f Inoltre f 1 è 1 1 f = f invertiile e ( ) Si f : A B invertiile, llor 37 Limite di funzione f f = Id e f f = Id 1 1 Dom f Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I {} c R, l R, dicimo che f x h limite l per x che tende c qundo qulunque si ( n ) successione in I {} c, tle che n N lim n = c si h lim f ( n ) = l In tl cso scrivimo lim f ( x) = l x c n n Im f ( ) Il limite di funzione può essere nche definito senz ricorrere lle successioni, come segue: c R, l R, limf x = l ) ( ) x c R R : x I c, c {} c f ( x) ε ε ε l ) ε δ δ δ < ε; c R, l =, lim f ( x) = l x c M R δ :, {} ( ) M R x I c δm c δ M c f x M > c =, l R, lim f x = l c) ( ) x c ε R R : x I, f ( x) ε ε l < ε ; pg 6

12 38 Teorem di permnenz del segno per i limiti di funzioni * Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I {} c R, l R, m R Se x I {} c f ( x) m e lim f ( x) = l llor l m x c 39 Teorem del limite di funzione compost Sino IJ, R intervlli, c I { sup I, inf I}, d J { sup J, inf J}, l R, f : I {} c J { d}, g : J { d} R Se lim f ( x) = d e limgy ( ) = l llor lim g( f ( x) ) = l x c y d 40 Limite destro e limite sinistro di funzione Sino I R intervllo, c I { supi}, f : I {} c R, l R Dicimo che f h limite l per x che tende c d destr qundo qulunque si ( n ) successione in I, tle che n N n n > c e lim n = c, si h lim f ( n ) = l In tl cso scrivimo: lim f ( x) = l n n Sino I R intervllo, c I { inf I}, f : I {} c R, l R Dicimo che f h limite l per x che tende c d sinistr qundo qulunque si ( n ) successione in I, tle che n N n n < c e lim n = c, si h lim f ( n ) = l In tl cso scrivimo: lim f ( x) = l n 41 Funzione ristrett n Sino f : A B e C A L funzione f ristrett C, che si indic g : C B tle che x C g( x) = f ( x) f c, è l funzione 42 Teorem sui limiti destro e sinistro di funzione (i, ii) Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I {} c R Sono equivlenti: i) lim f ( x) x c ii) lim f ( x) e lim f ( x) e sono uguli fr loro In tl cso lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) 43 Funzioni crescenti, decrescenti, monotone Si A R Dt f : A R dicimo che f è crescente (risp strettmente crescente) qundo xy, A x y f( x) f( y) (risp xy, A x < y f ( x) < f ( y) ) Dicimo che f è decrescente (risp strettmente decrescente) qundo xy, A x y f( x) f( y) (risp xy, A x < y f ( x) > f ( y) ) Dicimo che f è monoton qundo è crescente o decrescente 44 Teoremi sui limiti di funzioni monotone (I, II, III) Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I R crescente I) Se c = supi llor lim f ( x) = sup { f ( x) : x I { c} } II) Se c = inf I llor lim f ( x) = inf { f ( x) : x I { c} } pg 7

13 III) Se c I { sup I, inf I} llor lim f ( x) = sup { f ( x) : x I ], c[ } e lim f ( x) = inf { f ( x) : x I ] c, [ } 45 Funzione continu Sino I R intervllo, f : I R, c I Dicimo che f è continu in c qundo esiste lim f ( x) = f ( c) Dicimo che f è continu qundo è continu in ogni punto di I x c 46 Teorem sull somm di funzioni continue Sino I R intervllo, f, g : I R continue, c I L somm di f e g è ncor un funzione continu lim( f ( x) f ( x) ) = lim f ( x) lim g( x) = f ( c) g( c) 47 Teorem sulle funzioni continue (i, ii) Sino I R intervllo, f : I R, c I Sono equivlenti: i) f è continu in c ii) Qulsisi si ( ) n n N In tl cso lim f = f lim n successione in I, tle che lim, si h ( n) ( n) n n 48 Teorem sull continuità dell funzione compost n = c lim f ( ) = f () c n Sino IJ, R intervlli, f : I J, g : J R, c I Se f è continu in c e g è continu in f () c, llor g f è continu in c 49 Funzione segno Si x sgn x ( ) R Definimo funzione segno l funzione: x se x 0 = x 0 se x = 0 50 Teorem degli zeri * Sino I R intervllo,, I con <, f : I R Se: ) f è continu; ) f ( ) f ( ) < 0 ; llor c ], [ tle che f () c = 0 51 Teorem dei vlori intermedi Sino I R intervllo,, I, f : I R, m R Se: ) f è continu; ) f < m e f > m; ( ) () n pg 8

14 llor c ], [ tle che f () c = m Questo teorem ssicur che si poss fre l rdice di un qulunque numero positivo 52 Teorem di Weierstrss Sino [, ] R, f :[, R Se f è continu llor esistono mx f e min f e f è limitt 53 Rpporto incrementle Sino I R intervllo, f : I R, x0, x1 I, con x0 x 1 Chimimo rpporto f ( x1) f ( x0) incrementle per f in x0 e x 1 il numero = R f ( x0, x1) x x Derivt Sino I R intervllo, f : I R, c I Dicimo che f è derivile in c qundo esiste f ( x) f ( c) rele lim Tle limite si chim derivt di f in c e si indic come x c df d df ( x) f () c, () c, f () c,, Df () c dx dx dx x= c 55 Teoremi sull lger delle derivte (I, II *, III *) Sino I R intervllo, c I, f, g : I R derivili in c I) L funzione x f ( x) g( x) è derivile in c e ( f g) () c = f () c g () c II) L funzione x f ( x) g( x) è derivile in c e ( f g) () c = f () c g() c f () c g () c III) Se gc ( ) 0 llor l funzione x 1 1 () è derivile in c e g c () c = g( x) g ( gc ()) 2 56 Teorem sull derivt di funzione compost f () c Sino IJ, R intervlli, f : I J, g : J R, c I Se f è derivile in c e g è derivile in llor g f è derivile in c e ( g f) () c = g ( f () c ) f () c 57 Rett tngente Sino I R intervllo, c I, f : I R derivile in c Chimimo rett tngente l grfico di f nel punto di sciss c l rett di equzione y = f ()( c x c) f () c 58 Teorem sull crtterizzzione di funzioni derivili (i, ii, iii) * Sino I R intervllo, c I, f : I R Sono equivlenti: i) f è derivile in c ii) Esistono l R, ϕ : I R continu in c tli che ϕ () c = 0 e x I f x = f c l x c ϕ x x c ( ) ( ) ( ) ( )( ) pg 9

15 iii) Esiste ϕ1 : I R continu in c tle che x I f ( x) = f ( c) ϕ ( )( ) 1 x x c In tl cso f () c = l =ϕ () c 1 59 Teorem sull continuità di funzioni derivili Sino I R intervllo, c I, f : I R Se f è derivile in c llor f è continu in c 60 Teorem sull derivt di funzione invers Sino I R intervllo, f : I R invertiile, c I Se f è derivile in c, f () c 0 e 1 è continu, llor f è derivile in () e ( f ) f c ( f () c ) = f () c 1 1 f 1 61 Funzione rcoseno 1 Chimimo rcoseno e indichimo con rcsen l funzione sen ππ, Scrivimo quindi 2 2 [ ] su π π rcsen : 1,1, per indicre che l funzione rcsen di dominio [ 1, 1] è iniettiv π π (indicto d 1-1 ) sull immgine (indicto d su ), Funzione rcocoseno Chimimo rcocoseno e indichimo con rcos l funzione su rcos : [ 1,1] [ 0, π] Funzione rcotngente Chimimo rcotngente e indichimo con rctg l funzione π π rctg : R, Seno iperolico ( cos π [ 0, ] ), tg ππ 1 Scrivimo quindi Scrivimo quindi Chimimo seno iperolico e indichimo con senh l f : R R tle che x x e e senh x = 2 65 Coseno iperolico Chimimo coseno iperolico e indichimo con cosh l f : R R tle che x x e e cosh x = 2 pg 10

16 66 Tngente iperolic Chimimo tngente iperolic e indichimo con tgh l f : R R tle che x x 2x senh x e e e 1 tgh x = = = x x 2x cosh x e e e 1 67 Mssimo e minimo reltivi Sino A R intervllo, f : A R, c A Dicimo che c è punto di mssimo reltivo per f (o punto di mssimo locle) qundo esiste δ R tle che x A ] c δ, c δ[ f ( x) f ( c) In tl cso dicimo che f () c è mssimo reltivo (o mssimo locle) Dicimo che c è punto di mssimo reltivo forte per f qundo esiste δ R tle che x A ] c δ, c δ[ {} c f ( x) < f () c Dicimo che c è punto di minimo reltivo per f (o punto di minimo locle) qundo esiste δ R tle che x A ] c δ, c δ[ f ( x) f ( c) In tl cso dicimo che f () c è minimo reltivo (o minimo locle) Dicimo che c è punto di minimo reltivo forte per f qundo esiste δ R tle che x A ] c δ, c δ[ {} c f ( x) > f () c Chimimo estremo reltivo un mssimo o un minimo reltivo Chimimo estremnte reltivo un punto di mssimo o un punto di minimo reltivo 68 Teorem di Fermt * Sino I R intervllo, f : I R, c I {sup I, inf I} Se f è derivile in c e c è estremnte reltivo per f llor f () c = 0 Si ricordi che non vle il contrrio 69 Teorem di Rolle * Sino [, ] R, f :[, R Se: ) f è continu su [, ]; ) f è derivile su ], [; c) f = f ; ( ) () llor esiste c ], [ tle che f () c = 0 70 Teorem del vlor medio o di Lgrnge * Sino [, ] R, f :[, R Se: ) f è continu su [, ]; ) f è derivile su ], [; llor esiste c ], [ tle che f () c = () f ( ) f pg 11

17 71 Teorem sulle funzioni derivt null * Sino I R intervllo, f : I R derivile Se x I f ( x) = 0 llor f è costnte Vle dire: x I f ( x) = 0 m R : x I f ( x) = m 72 Teorem di relzione tr crescenz e segno dell derivt Sino I R intervllo, c I, f : I R derivile in c Se f è crescente llor f () c 0 Si noti che f () c 0 nche se f è strettmente crescente 73 Test di monotoni (I, II) * Sino I R intervllo, f : I R derivile su I {sup I, inf I} e continu su I I) Se x I { sup I, inf I} f ( x) 0 (risp f ( x) 0 ) llor f è crescente (risp decrescente) II) Se x I { sup I, inf I} f ( x) > 0 (risp f ( x) < 0 ) llor f è strettmente crescente (risp strettmente decrescente) 74 Teorem di relzione tr segno dell derivt e estremnti (I *, II) Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I R continu su I e derivile su I {} c I) Se esistono, I con < c < tle che x ], c[ f ( x) 0 e llor c è punto di mssimo reltivo per f II) Se esistono, I con < c < tle che x ], c[ f ( x) 0 e llor c è punto di minimo reltivo per f 75 Derivt second x ] c, [ f ( x) 0 x ] c, [ f ( x) 0 Sino I R intervllo, c I, f : I R derivile Dicimo che f è derivile due volte in c qundo f è derivile in c l derivt di f in c si chim derivt second di f in 2 df 2 c e si indic con f () c, () c, D f () c 2 dx 76 Teorem de l Hopitl (1^ form) * Sino I R intervllo, c I, f, g : I R derivili in c Se: ) f () c = g() c = 0 ; ) g () c 0 ; llor esiste lim = lim g( x) g x f ( x) f ( x) ( ) 77 Teorem de l Hopitl (2^ form) Sino c, R con < c, fg, : ] c, [ R Se: pg 12

18 ) f e g sono derivili; ) x ], c[ g ( x) 0; c) lim f ( x) = limg( x) = 0 oppure limg( x) =± ; x c x c x c f x d) esiste lim g x llor esiste 78 o piccolo ( ) ( ) lim = lim g( x) g x f ( x) f ( x) ( ) Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f, g : I {} c R Dicimo che f ( x) è o f ( x) piccolo di g( x ) per x che tende c, e scrivimo f ( x) = o( g( x) ), x c, qundo lim = 0 g( x) 79 Polinomio di Tylor Sino I R intervllo, c I, n N {} 0, f : I R derivile n 1 volte su I e n volte in c Chimimo polinomio di Tylor di ordine n e punto inizile c per l funzione f il n 1 ( ) polinomio ( ) ()( ) Tnc, x = f c x c! = 0 80 Formul di Tylor con resto secondo Peno Sino I R intervllo, c I, n N {} 0, f : I R derivile n 1 volte su I e n volte f ( x) T ( ) in c Allor: ( ) ( ) ( ) n nc, x f x = Tnc, x o x c x c Vle dire: lim = 0 ( ) n x c 81 Formul di Tylor con resto secondo Lgrnge Sino I R intervllo, c I, n N {} 0, f : I R derivile n 1 volte Qulunque 1 ( n 1 si x I {} c esiste d compreso tr x e c tle che ( ) ( ) ) ( )( ) n 1 f x = Tnc, x f d x c ( n 1! ) 82 Asintotic equivlenz Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f, g : I {} c R Dicimo che f ( x) è sintoticmente equivlente g( x ) per x che tende c, e scrivimo f ( x) g( x), x c f ( x) qundo lim = 1 Not: f ( x) g( x), x c f ( x) = g( x) ( 1 o( 1 )) g( x) 83 Convessità e concvità di funzioni Sino I R intervllo, f : I R derivile Dicimo che f è convess qundo xc, I f( x) f( c) f ( c)( x c) Dicimo che f è concv qundo xc, I f () x f () c f ()( c x c) pg 13

19 84 Teorem sulle funzioni convesse (i, ii) * Sino I R intervllo, f : I R derivile Sono equivlenti: i) f è convess ii) f è crescente 85 Test di convessità (i, ii) * Sino I R intervllo, f : I R derivile due volte Sono equivlenti: i) f è convess ii) x I f ( x) 0 86 Teorem di relzione tr convessità e minimo ssoluto * Sino I R intervllo, f : I R derivile, c I Se f è convess e f () c = 0, llor c è punto di minimo ssoluto per f 87 Teorem di relzione tr derivt prim, segno di derivt second ed estremnti reltivi (I, II) Sino I R intervllo, c I, f : I R derivile in I e derivile due volte in c I) Se f () c = 0 e f () c > 0 llor c è punto di minimo reltivo per f II) Se f () c = 0 e f () c < 0 llor c è punto di mssimo reltivo per f 88 Punto di flesso Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I R derivile Dicimo che c è punto di flesso per f qundo esistono, I, con < c <, tli che f è concv e f [ c, ] [ c, ] è convess, oppure tli che f è convess e f è concv [ c, ] [ c, ] 89 Teorem di relzione tr punto di flesso e derivt second Sino I R intervllo, c I { sup I, inf I}, f : I R derivile in I e derivile due volte in c Se c è punto di flesso per f, llor f () c = 0 Si ricordi che non vle il contrrio 90 Prità e disprità di funzioni Sino A R, f : A R Dicimo che f è pri qundo x A x A e f ( x) = f ( x) Dicimo che f è dispri qundo x A x A e f ( x) = f ( x) 91 Periodicità di funzioni Sino A R, f : A R, T R Dicimo che f è periodic di periodo T qundo x R x A x T A e in tl cso f ( x T) = f ( x) pg 14

20 92 Asintoti L rett x = c è sintoto verticle per f qundo lim f ( x) =± oppure lim f ( x) =± L rett y = y 0 è sintoto orizzontle per f qundo lim f ( x) = y oppure lim x f x ( ) = y 0 x L rett y = x (con 0 ) è sintoto oliquo per f qundo lim ( f ( x) x ) = 0 oppure lim ( f ( x) x ) = 0 x 93 Integrle x Sino [, ] R, f :[, R continu Per n N {} 0, = 1, 2,, n ponimo n ξn, = Per n N {} 0 ponimo sn = f ( ξn, ) Si può dimostrre che esiste n n = 1 rele lim s n Chimimo integrle su [, ] di f tle limite e lo indichimo con f ( x) dx n 94 Teorem sull linerità dell integrle (I *, II) Sino [, ] R, fg, :[, ] R continue, λ R, llor: I) ( f ( x) g ( x) ) dx = f ( x) dx g ( x) dx II) λf ( x) dx = λ f ( x) dx 95 Teorem sull monotoni dell integrle Sino [, ] ( ) ( ) f x dx R, fg, :[, ] R continue Se x [, f ( x) g( x), llor g x dx 96 Teorem sul vlore ssoluto di integrli * Sino [, ] f ( x) dx ( ) R, f :[, R continu, llor: 97 Teorem dell medi integrle * f x dx Sino [, ] R, f :[, R continu, llor esiste c [, tle che 1 f ( x) dx = f ( c) 98 Teorem sull lger degli integrli Sino [ c, ] c c ( ) = ( ) ( ) R, ], c[, f :[, c] R continu, llor f x dx f x dx f x dx 99 Primo teorem fondmentle del clcolo integrle * x Sino [, ] R, f :[, R continu x [, ponimo F( x) = f () t dt Allor F è derivile e x [, F ( x) = f ( x) Chimimo F( x) funzione integrle per f 0 pg 15

21 100 Primitiv Sino I R intervllo, Gf, : I R con G derivile Dicimo che G è un primitiv di f qundo x I G ( x) = f ( x) 101 Teorem sulle primitive di funzione Sino I R intervllo, fg, 1, G2 : I R con G1, G2 derivili Se G1 e G2 sono primitive di f llor esiste c R tle che x I G ( x) = G ( x) c Secondo teorem fondmentle del clcolo integrle * Sino [, ] R, fg, :[, ] R con f continu e G derivile Se G è un primitiv di f llor ( ) () ( ) f x dx = G G e si indic: ( ) [ ( ) f x dx = G x ] 103 Teorem di integrzione per prti * Sino [, ] R, fgg,, :[, ] R con f derivile con derivt continu, g continu e G primitiv di g Allor: f ( x) g( x) dx = [ f ( x) G( x) ] f ( x) G( x) dx 104 Teorem di integrzione per sostituzione (1^ form) * Sino [, ],[ αβ, ] R, f :[, R continu, ϕ :[ α, β] [, ] derivile con derivt ϕβ ( ) continu Allor: f ( x) dx = f ( ϕ() t ) ϕ () t dt ϕα ( ) 105 Teorem di integrzione per sostituzione (2^ form) α β Sino [, ],[ αβ, ] R, f :[, R continu, ϕ :[ α, β] [, ] derivile con derivt 1 ϕ continu Allor: f ( x) dx = f ( ϕ() t ) ϕ () t dt ϕ () 1 ( ) su 1-1 pg 16