Introduzione al calcolo integrale

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1 Introduzione l clcolo integrle Indice: Integrle di Riemnn. Proprietà delle funzioni integrbili. Continuità dell funzione integrle. Teorem dell Medi. Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle. Metodi di integrzione. Integrli generlizzti. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 1/45

2 I problemi del Clcolo Infinitesimle (Newton, Method of Fluxions, 1671) 1 o Problem. (Derivt) Dt l lunghezz dello spzio percorso in ogni istnte di tempo, determinre l velocità in ogni istnte. 2 o Problem. (Integrle) Dt l velocità del moto ogni istnte, trovre l lunghezz dello spzio percorso ogni istnte di tempo. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 2/45

3 Integrle: Somm totle di prti infinitesimli Definizione (Integrle come limite di somme (Riemnn, 1854)) f L integrle di [, b] R è (se esiste) il limite : f (x) dx = lim 0 i f (x i ) x i dove = mx x i è l mssim lunghezz dei sotto-intervlli dell i=1,...,m prtizione = x 1 < x 2 < < x i < < x n 1 < x n = b. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 3/45

4 Esempio di integrzione: clcolo dello spzio percorso Esempio importnte: Moto di un punto su un rett. Coordint l tempo t: s(t). Posizione inizile: s(t 0 ) Velocità in t: v(t) = s (t) (Supponimo v(t) continu) Spzio percorso nell intervllino di tempo t i : Spzio totle percorso d t 0 t: s(t) s(t 0 ) Uguglinz pprossimt : v(t i ) t i s(t) s(t 0 ) i v(t i ) t i Uguglinz ver: s(t) s(t 0 ) = lim 0 v(ti ) t i = i t t 0 v(τ) dτ Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 4/45

5 Formul di Newton-Leibniz Dll conclusione dell esempio precedente t s (τ) dτ = s(t) s(t 0 ) t 0 segue l: Formul di Newton-Leibniz Se s(t) è un funzione l cui derivt è v(t), cioè s (t) = v(t), llor t t v(τ) dτ = s (τ) dτ = s(t) s(t 0 ) t 0 t 0 Quest formul (che dimostreremo di nuovo più vnti) è lo strumento fondmentle per il clcolo degli integrli. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 5/45

6 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 6/45

7 Newton, De Qudrtur Curvrum Così, se le ree ABC, ABDG sono descritte dlle ordinte BC, BD che vnzno con moto uniforme sull bse AB, le flussioni delle loro ree srnno tr loro in rpporto come le ordinte che descrivono BC e BD, e possono essere rppresentte per mezzo di quelle ordinte, perché quelle ordinte stnno tr loro come gli incrementi nscenti delle ree. (Isc Newton, De Qudrtur Curvrum, mnoscritto del ) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 7/45

8 Teori dell integrzione (secondo Riemnn) Nell teori dell integrzione secondo Riemnn, considerimo f (lmeno inizilmente) funzioni [, b] R, soddisfcenti le condizioni seguenti: 1 f è limitt su [, b], cioè: esiste un costnte rele K per l qule f (x) K per ogni x in [, b]; 2 Il dominio di integrzione è un intervllo [, b] comptto (cioè, chiuso e limitto). Più vnti definiremo gli integrli generlizzti, che sono integrli di funzioni non limitte, o di funzioni il cui dominio non è limitto. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 8/45

9 Somme inferiori e superiori f [, b] R limitt sull intervllo comptto [, b]. Si P un prtizione dell intervllo [, b]: Ponimo: = 0 < 1 < 2 < < m = b m i = inf{f (x) x [ i 1, i ]} M i = sup{f (x) x [ i 1, i ]} m S (f ; P) = m i ( i i 1 ) S + (f ; P) = i=1 m M i ( i i 1 ) i=1 Le S (f ; P) e le S + (f ; P) si chimno rispettivmente somme inferiori e somme superiori dell funzione f reltive ll prtizione P. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 9/45

10 Integrle inferiore e superiore Si dimostr fcilmente che ogni somm inferiore S (f ; P 1 ) è minore o ugule di ogni somm superiore S + (f ; P 2 ), quli che sino le prtizioni P 1, P 2. Per definizione, l integrle inferiore I (f ) e l integrle superiore I (f ) su [, b] sono rispettivmente i numeri I (f ) = sup {Tutte le somme inferiori S (f ; P), P P} I (f ) = inf {Tutte le somme superiori S + (f ; P), P P} Qui P denot l insieme di tutte le possibili prtizioni di [, b]. Ovvimente I (f ) I (f ) Se I (f ) = I (f ), f si dice integrbile su [, b] e I (f )(= I (f )) si denot f e si chim integrle definito di f (su [, b]). Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 10/45

11 Definizione di integrle Definizione (Integrle: Vlore comune dell integrle inferiore e dell integrle superiore) f Un funzione [, b] R, limitt sull intervllo comptto [, b], si dice integrbile (secondo Riemnn) su [, b], se I (f ) = I (f ) (1) ossi se il suo integrle inferiore e il suo integrle superiore sono uguli. Se questo vviene, il comune vlore (1) si chim integrle di f su [, b] e si denot f (x) dx. Si dimostr che quest second definizione di integrle è equivlente ll definizione in termini di somme di Riemnn. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 11/45

12 Un esempio di funzione non integrbile L funzione di Dirichlet [0, 1] f (x) = f R { 1 se x è rzionle 0 se x è irrzionle è limitt, m non è Riemnn-integrbile, perché in ogni sottointervllo di [0, 1] ci sono si numeri rzionli che irrzionli, e quindi le somme inferiori di Drboux vlgono zero, mentre le somme superiori di Drboux vlgono 1. Quest funzione è discontinu in ogni punto del suo dominio. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 12/45

13 Clssi di funzioni integrbili su un intervllo comptto di R Teorem (Integrbilità delle funzioni monotòne) Ogni funzione monòton su un intervllo comptto [, b], è integrbile su [, b]. Teorem (Integrbilità delle funzioni continue sui comptti) Se f è un funzione rele continu su un intervllo comptto [, b] R, llor f è integrbile su [, b]. Quest ultimo teorem si generlizz: Teorem (Integrbilità delle funzioni con un numero finito di punti di discontinuità) f Si [, b] R un funzione limitt e supponimo che l insieme dei punti di discontinuità di f si finito. Allor f è integrbile. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 13/45

14 Proprietà dell integrle (1) R[, b]: spzio delle funzioni Riemnn-integrbili su [, b]. Se f, g R[, b] e λ, µ R, llor λf + µg R[, b]. Linerità. Per ogni f 1, f 2 R[, b], e per ogni numero rele λ, si h (f 1 (x) + f 2 (x)) dx = f 1 (x) dx + f 2 (x) dx λf 1 (x) dx = λ f 1 (x) dx In breve: l opertore di integrzione è linere. R[, b] R, f f (x) dx Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 14/45

15 Proprietà dell integrle. (2) Monotoni. Se f 1, f 2 R[, b] e f 1 (x) f 2 (x) per ogni x [, b], llor f 1 (x) dx f 2 (x) dx Per ogni f R[, b] e c (, b), le restrizioni di f gli intervlli [, c] e [c, b] sono integrbili e f (x) dx = c f (x) dx + c f (x) dx Se f R[, b] e M R è un numero tle che f (x) M per ogni x [, b], llor f (x) dx M(b ) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 15/45

16 Proprietà dell integrle. (3) Se f R[, b], llor nche f R[, b] e f (x) dx f (x) dx Se f, g R[, b], llor nche il loro prodotto fg R[, b]. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 16/45

17 Integrle orientto Definizione (Integrle orientto) Se > b, si pone, per definizione, f (x) dx = b f (x) dx Con quest definizione di integrle orientto, l uguglinz f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx c vle per ogni scelt di, b, c (qulunque si l posizione reciproc di, b e c). Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 17/45

18 Teorem dell Medi Integrle Teorem (dell Medi Integrle) Si f R[, b]. Denotimo m = inf f M = sup f (2) l estremo inferiore e l estremo superiore di f su [, b]. Allor m 1 f (x) dx M (3) b Se inoltre f è continu, esiste un punto c in [, b] tle che 1 b f (x) dx = f (c) (4) b Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 18/45

19 Dimostrzione (Medi Integrle) D m f (x) M (per ogni x [, b]) segue ossi m dx m(b ) f (x) dx M dx (5) f (x) dx M(b ) (6) Di qui segue subito l tesi (3). Supponimo or f continu su [, b]. Per le disuguglinze (3), il numero 1 b f (x) dx (7) b è compreso tr l estremo inferiore m e l estremo superiore M di f in [, b]. Poiché f è continu, ssume tutti i vlori compresi tr il suo estremo inferiore e il suo estremo superiore. Quindi esiste un punto c tr e b per il qule vle (4). Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 19/45

20 L funzione integrle Definizione f Si [, b] R integrbile su [, b]. Si chim funzione integrle F di f l funzione [, b] R definit nel modo seguente: per ogni x [, b], F (x) = x f (t) dt (8) y F (x) = x f (t)dt Grfico di f F (x) = re sotto il grfico di f tr e x. x x b Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 20/45

21 Continuità dell funzione integrle Teorem (Continuità dell funzione integrle) Si f R[, b]. Allor l funzione integrle F (x) = è continu su [, b]. x f (t) dt (9) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 21/45

22 Dimostrzione (Continuità dell funzione integrle) Dimostrzione. Poiché f R[, b], è limitt, cioè esiste un costnte K > 0 per cui f (x) K per ogni x [, b]. Si x 0 [, b] rbitrrio. Allor, per ogni x [, b]: x x0 F (x) F (x 0 ) = f f x = f x 0 x f x 0 x K x 0 = K x x 0 Quindi, per ogni ε > 0, se x x 0 < δ = ε/k, si h F (x) F (x 0 ) < ε. Dunque F è continu in x 0. Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 22/45

23 Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle (TFCI) Teorem (Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle) Si [, b] f R un funzione continu. Allor: 1 L funzione integrle di f F (x) = x f (t) dt (10) è un ntiderivt di f, ossi è derivbile e F (x) = f (x) per ogni x in [, b]: d x f (t) dt = f (x) (11) dx 2 Se G è un qulunque ntiderivt di f su [, b], ossi G (x) = f (x) per ogni x in [, b], llor f (t) dt = G(b) G() (12) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 23/45

24 Dimostrzione del Teorem Fondmentle 1) Fissimo un punto x in [, b]. Allor F (x + h) F (x) h = 1 h [ x+h x ] f (t) dt f (t) dt = 1 h x+h x f (t) dt = f (c) (13) dove c è un opportuno punto tr x e x + h. L (13) segue dl Teorem dell Medi Integrle, pplicto ll intervllo di estremi x e x + h. Qundo h tende zero, il punto c, compreso tr x e x + h, tende x. Poiché f è continu, f (c) tende f (x) e quindi F (x + h) F (x) lim = f (x) (14) h 0 h Dunque F (x) = f (x). Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 24/45

25 Dimostrzione del Teorem Fondmentle (Continu) 2) Si or G(x) un qulunque funzione derivbile tle che G (x) = f (x). Poiché le due funzioni G(x) e F (x) = G (x) = f (x) = F (x) x f (t) dt hnno l stess derivt sull intervllo [, b]. Quindi differiscono per un costnte: G(x) = x f (t) dt + c (15) Ponendo in quest uguglinz prim x = b e poi x = e sottrendo, si ottiene l tesi: [ ] [ ] G(b) G() = f (t) dt + c f (t) dt + c (16) = f (t) dt (17) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 25/45 Q.E.D.

26 Dimostrzione del TFCI (in breve) Supponimo f continu. Definimo: Grfico di f f (x) F (x) = x f (u) du = Are sotto il grfico di f d fino x F (x + h) F (x) h x x + h Are del rettngolino grigio = Esiste x [x, x + h]: Bse = h f (x ) = f (x ) f (x) (per h 0). Segue: h Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle Se f è continu, [ d x ] f (u) du = f (x) dx Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 26/45

27 Integrzione per prti Teorem (Integrzione per prti) F G Sino I R, I R due funzioni derivbili sullo stesso intervllo I, e sino f, g le rispettive derivte. Allor vlgono: L formul di integrzione per prti per l integrle indefinito: Fg = FG fg (18) l formul di integrzione per prti per l integrle definito: Fg = F (b)g(b) F ()G() fg (19) Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 27/45

28 Dimostrzione. (Integrzione per prti) Dimostrzione. Per l regol (di Leibniz) dell derivt del prodotto, (FG) = fg + Fg (20) d cui ricvimo Fg = (FG) fg. Dunque un primitiv di Fg è dt d un primitiv di (FG) meno un primitiv di fg: Fg = FG fg (21) (perché ovvimente un primitiv di (FG) è FG) che è l tesi. Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 28/45

29 Integrzione per sostituzione Teorem (Integrzione per sostituzione) ϕ f Sino I ϕ(i ) un funzione derivbile e ϕ(i ) R un funzione continu, con primitiv F. Allor l funzione (f (ϕ(x))ϕ (x), x I, h come primitiv l funzione F (ϕ(x)). In breve, si scrive: [ ] (f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (y) dy y=ϕ(x) = F (ϕ(x)) + c dove c R è un costnte rbitrri. Formlmente, si pone y = ϕ(x) e dy = ϕ (x) dx. L notzione di Leibniz f (y) dy è dunque utile come regol mnemonic per rrivre l risultto giusto. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 29/45

30 Dimostrzione (Integrzione per sostituzione) Dimostrzione. Il teorem di derivzione delle funzioni composte ssicur che l funzione compost F ϕ è derivbile su I e [F (ϕ(x))] = F (ϕ(x)) ϕ (x) = f (ϕ(x)) ϕ (x) Ne segue che un primitiv di f (ϕ(x)) ϕ (x) è F (ϕ(x)) Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 30/45

31 Cmbio di vribili negli integrli definiti: un esempio. Esempio Clcolre: 1 1 x 2 dx x = sin ϑ = ϕ(ϑ) 0 x 1 0 ϑ π/2 dx = ϕ (ϑ) dϑ = cos ϑ dϑ 1 π/2 π/2 1 x 2 dx = 1 sin 2 ϑ cos ϑ dϑ = cos 2 ϑ dϑ Poiché un primitiv di cos 2 ϑ è cos 2 ϑ dϑ = 1 (ϑ + sin ϑ cos ϑ), 2 π/2 cos 2 ϑ dϑ = 1 2 [ϑ + sin ϑ cos ϑ]π/2 0 = π/4 0 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 31/45 0

32 Cmbio di vribili negli integrli definiti Teorem Sino dti: [α, β] ϕ [, b] f ϕ f R Un funzione continu [, b] R, x f (x); Un cmbio di prmetro [α, β] [, b] derivbile, ϑ ϕ(ϑ) = x. Supponimo: ϕ(α) =, ϕ(β) = b Allor β α f ϕ (f (ϕ(ϑ))ϕ (ϑ) dϑ = f (x) dx Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 32/45

33 Dimostrzione. (Cmbio di vribili nell integrle definito.) Si F un primitiv di f : F (x) = f (x), x [, b]. Allor d dϑ F (ϕ(ϑ)) = F (ϕ(ϑ)) ϕ (ϑ) = f (ϕ(ϑ)) ϕ (ϑ) Dunque F (ϕ(ϑ)) è un primitiv di f (ϕ(ϑ)) ϕ (ϑ). Allor: β α (f (ϕ(ϑ))ϕ (ϑ) dϑ = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = F (b) F () = f (x) dx Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 33/45

34 Integrli generlizzti, o impropri Sono definiti come opportuni limiti di ordinri integrli di Riemnn. Un integrle si dice generlizzto in uno di questi csi: 1 Dominio di integrzione non limitto. Esempio: 2 Funzione integrnd non limitt. Esempio: 3 Entrmbe le cose insieme. Esempio: x dx. 1 x e x dx. e x dx. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 34/45

35 Definizione degli integrli generlizzti Definizione (Integrle di funzione limitt su dominio non limitto) f Si [, + ) R limitt su [, + ) non limitto. + f (x) dx signific: lim t + t f (x) dx Definizione (Integrle di funzione non limitt su un dominio limitto) f Si [, b] R con dominio limitto [, b], non limitt in un intorno destro di. f (x) dx signific: lim t + t f (x) dx Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 35/45

36 Funzione limitt su intervllo non limitto. Esempio Figur : f (x) = e x, x > t e x dx = lim e x dx t + 0 [ = lim e x ] t t + 0 ( = lim e t + 1 ) t + = 1 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 36/45

37 Funzione limitt su intervllo non limitto. Esempio Figur : f (x) = x 2, x R 1 0 dx = lim 1 + x 2 1 b dx + lim 1 + x 2 b + 0 = lim [rctn x]0 + lim [rctn b + x]b 0 = π/2 + π/2 = π Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 37/ x 2 dx

38 Funzione non limitt su intervllo limitto. Esempio dx = lim dx x 0 + x = lim 0 + [ 2 x ] 1 = lim = 2 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 38/45

39 Integrbilità di 1/x in un intorno di +. Teorem (Integrbilità di 1/x in un intorno di + ) x dx { diverge ( + ) se 1 converge se > 1 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 39/45

40 Dimostrzione (Integrbilità di 1/x in un intorno di + ). Se = 1, bbimo lim t + t 1 1 x dx = lim (ln t ln 1) = + t + e quindi l integrle Se 1, si h: t Allor: 1 lim t x dx vle +, ossi è divergente. 1 x dx = 1 [x 1 ] t 1 = (t1 1) 1 1 (t1 1) = { + se < se > 1 Q.E.D. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 40/45

41 Integrbilità di 1/x in un intorno di 0. Teorem (Integrbilità di 1/x in un intorno di 0) x dx { diverge ( + ) se 1 converge se < 1 L dimostrzione è del tutto nlog quell del teorem sull integrbilità di 1/x in un intorno di +. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 41/45

42 Criterio del confronto Teorem (Criterio del confronto.) Supponimo che f (x) e g(x) sino funzioni continue definite su un stess semirett I = (, + ) e soddisfcenti Allor: In prticolre: 1 Se 2 Se + convergente; + 0 è convergente; + 0 f (x) g(x) (22) f (x) dx + g(x)dx è convergente, nche g(x)dx (23) + f (x)dx non è convergente, nche f (x)dx è + Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 42/45 g(x)dx non

43 Criterio del confronto sintotico Teorem (Criterio del confronto sintotico.) Sino f (x) e g(x) funzioni non-negtive continue definite su un stess semirett I = (, + ). Supponimo f (x) g(x) per x +. Allor f (x) è integrbile su I se e solo se g(x) è integrbile su I. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 43/45

44 Dimostrzione (Confronto sintotico) f (x) Per ipotesi, lim = 1. Quindi, per ogni fissto ε > 0, il x + g(x) rpporto f (x) è contenuto nell intervllo [1 ε, 1 + ε] per tutti gli g(x) x sufficientemente grndi: (1 ε)g(x) f (x) (1 + ε)g(x) (24) L tesi segue subito dl teorem del confronto. Inftti, se g(x) è integrbile sull semirett I, d f (x) (1 + ε)g(x) segue che f (x) è integrbile; mentre, se g(x) non è integrbile su I, d (1 ε)g(x) f (x) segue che f (x) non è integrbile. Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 44/45 Q.E.D.

45 Federico Lstri. Anlisi e Geometri 1. Clcolo Integrle. (Prte 1) 45/45