Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria Integrazione secondo Riemann Novembre 2012

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1 Politecnico di Milno Corso di Anlisi e Geometri Federico Lstri ederico.lstri@polimi.it Integrzione secondo Riemnn Novembre 22 Indice Considerzioni euristiche introduttive 2 2 Teori dell integrzione secondo Riemnn 4 2. Integrle come limite di somme Integrle in termini di somme ineriori e superiori Integrbilità di lcune clssi di unzioni Prime proprietà dell integrle Teorem dell medi Teorem ondmentle del clcolo integrle Cmbio di vribili negli integrli deiniti Il metodo di sostituzione per il clcolo di un primitiv Integrzione per prti Integrli impropri o generlizzti 7 3. Integrli su intervlli non limitti Integrle di /x Criterio del conronto Criterio del conronto sintotico Integrli di unzioni non limitte Integrli di /x. Criteri del conronto e del conronto sintotico

2 Considerzioni euristiche introduttive Prim di imbrcrci in deinizioni rigorose, introducimo in modo inormle il concetto di integrle e il teorem ondmentle del clcolo integrle, presentndo due problemi: il clcolo dello spzio percorso d un prticell in moto rettilineo, qundo si conosc l unzione velocità, e il clcolo dell re di un prbol. Problem. Trovre lo spzio percorso, qundo si conosc l velocità. Supponimo che un punto si muov lungo l rett rele; si s(t) l posizione ll istnte t e v(t) = s (t) l unzione velocità, che supporremo continu. Supponimo di conoscere l posizione del punto ll istnte inizile t e supponimo di conoscere l unzione velocità v(t). Come possimo trovre lo spzio percorso dl punto nell intervllo di tempo r l istnte inizile t e l istnte inle t? Prendimo in considerzione un intervllino di tempo tlmente piccolo che su di esso l velocità si costnte. Lo spostmento del punto durnte tle piccolo intervllo di tempo è pprossimtivmente ugule l prodotto v(τ) t, dove τ è un istnte rbitrrio che pprtiene quell intervllo di tempo e t è l mpiezz dello stesso intervllo di tempo. Prtendo d quest osservzione, issimo degli istnti t i (i =,..., n) in modo tle che si bbi t < t <... < t n = t e che gli intervlli [t i, t i ] sino piccoli. Ponimo t i = t i t i e, per ogni i =,..., n, issimo un τ i [t i, t i ]. Allor vle, in modo pprossimtivo, l uguglinz s(t) s(t ) n v(τ i ) t i Quest uguglinz pprossimt srà tnto più precis, qunto più piccoli srnno gli intervlli di tempo t i. Simo llor condotti prendere in considerzione il limite delle somme del tipo n i= v(τ i) t i qundo l lunghezz λ del più grnde degli intervllini [t i, t i ] tende zero. Il limite di tle somme (che verrà deinito in modo rigoroso e supponimo esist) si denot t t v(τ) dτ, cioè si pone, per deinizione, n t lim v(τ i ) t i = v(τ) dτ λ t Ottenimo llor l uguglinz estt t i= i= t v(τ) dτ = s(t) s(t ) Quest ultim uguglinz, che possimo riscrivere come t t s (τ) dτ = s(t) s(t ) non è ltro che l ormul di Newton-Leibniz (teorem ondmentle del clcolo integrle). Quest ormul permette di trovte l integrle t t v(τ) dτ qundo v = s è l derivt di un unzione s. In tl cso, l integrle è dto dll vrizione s(t) s(t ) dell unzione s (un ntiderivt o primitiv dell unzione integrnd v) sull intervllo di integrzione. 2

3 Problem 2. Clcolo di un re. (x) = x 2 S x i x i Figur : rettngoli. Approssimzione un re S l di sotto di un grico medinte l somm delle ree di Fccimo un esempio: voglimo trovre l re S dell igur compres tr il grico dell prbol (x) = x 2 e l sse delle x, qundo x vri nell intervllo [, ]. Eettuimo un prtizione dell intervllo [, ] medinte i punti = x < x < < x n = e ponimo x i = x i x i. Senz entrre nei dettgli su cos si intend in generle per re di un igur pin, possimo rgionevolmente pprossimre l re S medinte somme di ree di rettngoli (come in igur) di bse x i e ltezz x 2 i : S n i= x 2 i x i Posto (x i ) = x 2 i, riscrivimo l ormul come n S (x i ) x i i= Se voglimo ottenere un ver uguglinz (e non un uguglinz pprossimt) pssimo l limite e ottenimo n S = lim (x i ) x i = (x) dx λ i= dove, come sopr, λ è l mssim mpiezz degli intervllini [x i, x i ]. Vedimo llor che il problem del clcolo delle ree h l stess orm mtemtic del problem del clcolo dello spzio, not l velocità. Come in quest ultimo problem, se trovimo un unzione F (x) tle che F (x) = (x), possimo concludere che S = (x) dx = F () F () 3

4 Nel nostro cso, bst prendere F (x) = 3 x3. Dunque S = (x) dx = F () F () = 3 = 3 Si noti che l re del segmento prbolico (cioè dell regione di pino limitt dll prbol e dll rett y = ) è ugule 2 3 dell re del rettngolo circoscritto l segmento prbolico. Questo è un cso prticolre di un clssico risultto dimostrto d Archimede con metodi purmente geometrici. 2 Teori dell integrzione secondo Riemnn Venimo desso un deinizione rigoros di integrle. Ci sono diverse teorie dell integrzione; quell che noi studieremo è l teori dell integrzione secondo Riemnn. Il concetto di integrle di Riemnn può essere introdotto in due modi equivlenti: come limite di somme di Riemnn (dette nche somme di Cuchy-Riemnn), oppure in termini di somme superiori e somme ineriori. 2. Integrle come limite di somme Per deinizione, un prtizione (o suddivisione) P dell intervllo [, b] è un scelt di un numero inito di punti = < < 2 < < m = b Ogni prtizione P = {,,..., m } dell intervllo [, b] deinisce m sotto-intervllini [, ] [, 2 ]... [ m, m ] L lunghezz di [ k, k ] è k = k k. Il prmetro di inezz (inglese: mesh) dell prtizione P = {,,..., m } è per deinizione il numero P = mx i=,...,m ( i i ) vle dire l mssim tr le lunghezze dei sotto-intervlli dell prtizione. Per i nostri scopi, più piccolo è il prmetro di inezz, meglio è. Un prtizione mrct, o prtizione puntt, di [, b] consiste in un prtizione = < < 2 < < m = b dell intervllo [, b], insieme un ulteriore scelt di punti {x,..., x m }, tli che x [, ], x 2 [, 2 ],..., x m [ m, n ] I punti {x,..., x m } sono dunque interclti quelli dell prtizione P = {,,..., m }: = x x 2 2 < < m x m m = b (2.) Per non ppesntire troppo le notzioni, denotimo ncor con P un prtizione puntt. Considerimo or un unzione [, b] R deinit su un intervllo comptto [, b]. Non richiedimo che si continu; nzi, il cso di unzioni non continue è importnte. Potremmo richiedere che si limitt su [, b]; m nche quest richiest è superlu, perché si dimostr cilmente che se un 4

5 unzione è integrbile, nel senso che chirimo in questo prgro, ess deve essere necessrimente limitt. A ogni prtizione mrct P di [, b], = < < 2 < < m = b, x [, ], x 2 [, 2 ],..., x m [ m, n ] ssocimo l somm di Riemnn di ssocit P, deinit come m m S (P ) = (x j )( j j ) = (x j ) j j= Se ccde che le somme di Riemnn di si vvicinno qunto si vuole un numero A, pur di prendere suicientemente piccol l mssim delle lunghezze j = j j e qulunque si l scelt dei punti x j [ j, j ], llor si dice che l unzione è integrbile (secondo Riemnn) e che A è il suo integrle. Più precismente, dimo l seguente deinizione di unzione integrbile secondo Riemnn e di integrle di Riemnn: Deinizione 2. (Integrle secondo Riemnn, come limite di somme) Un unzione [, b] R si dice integrbile secondo Riemnn se esiste un numero rele A che soddis l seguente proprietà: per ogni numero ε > esiste un numero δ >, tle che, per ogni prtizione puntt P con prmetro di inezz P < δ, si bbi S (P ) A < ε (2.2) Se un tle numero A esiste, llor è unico, si denot (x)dx e si chim integrle di Riemnn di sull intervllo comptto [, b]. Se è integrbile secondo Riemnn su [, b] e A = (x) dx è il vlore del suo integrle, scriveremo n (x) dx = lim (t ) t i (2.3) P i= e diremo che (x) dx è il limite delle somme di Riemnn, tto sull insieme delle prtizioni di [, b], l tendere zero del prmetro di inezz P delle prtizioni. j= 2.2 Integrle in termini di somme ineriori e superiori Dt un unzione [, b] dell intervllo [, b], ponimo: R limitt sull intervllo comptto [, b] e un prtizione P = < < 2 < < m = b m i = in{(x) x [ i, i ]} M i = sup{(x) x [ i, i ]} m S (; P ) = m i ( i i ) S + (; P ) = i= m M i ( i i ) i= 5

6 Le S (; P ) e le S (; P ) si chimno rispettivmente somme ineriori (di Drboux) e somme superiori (di Drboux) dell unzione reltive ll prtizione P. Le seguenti proprietà delle somme ineriori e superiori si veriicno cilmente:. Per ogni prtizione P, S (; P ) S + (; P ) 2. Se P è un prtizione più ine dell prtizione P 2, nel senso che P P 2 (cioè P si ottiene d P 2 ggiungendo ltri punti), llor S (; P ) S (; P 2 ) S + (; P ) S (; P 2 ) 3. Sino P, P 2 due prtizioni dell intervllo [, b] e si P = P P 2 l loro unione. Allor S (; P ) S (; P ) S + (; P ) S + (; P 2 ) (2.4) Dll proprietà 2.4 segue che ogni somm ineriore S (; P ) è minore o ugule di ogni somm superiore S + (; P 2 ), quli che sino le prtizioni P, P 2. Per deinizione, l integrle ineriore di e l integrle superiore di su [, b] sono rispettivmente i numeri I = sup S (; P ) I = in P P P P S+ (; P ) (2.5) Qui P denot l insieme di tutte le possibili prtizioni dell intervllo [, b]. A priori, l integrle ineriore è minore o ugule dell integrle superiore: I I Deinizione 2.2 (Integrle come vlore comune dell integrle ineriore e dell integrle superiore) Un unzione [, b] R, limitt sull intervllo comptto [, b], si dice integrbile su [, b], se I = I (2.6) ossi se il suo integrle ineriore e il suo integrle superiore sono uguli. chim llor integrle di su [, b] e si denot (x) dx. Il comune vlore 2.6 si I due modi di introdurre l integrle (come limite di somme di Cuchy-Riemnn oppure come vlore comune dell integrle ineriore e dell integrle superiore) sono equivlenti. Intti si dimostr l seguente Proposizione 2.3 Se un unzione è integrbile sull intervllo comptto [, b] secondo l deinizione 2., llor è limitt ed è integrbile nche secondo l deinizione 2.2. Vicevers, ogni unzione integrbile secondo l deinizione 2.2 è integrbile nche secondo l deinizione 2.. Inoltre, i vlori dei due integrli coincidono. L dimostrzione di questo teorem non è diicile, m non ci interess riportrl. L ide dell dimostrzione è semplice. D un lto, le somme di Cuchy-Riemnn sono incstrte r somme ineriori e somme superiori; quindi, se l integrle ineriore e l integrle superiore coincidono con lo stesso numero A, nche le somme di Cuchy-Riemnn convergono tle numero A. Vicevers, scegliendo opportune prtizioni mrcte, si dimostr che ci si può vvicinre qunto si vuole ll integrle ineriore e ll integrle superiore. Quindi, se esiste l integrle come limite di somme e vle A, llor l integrle ineriore e l integrle superiore coincidono entrmbi con il numero A. 6

7 Dl momento che i due concetti di integrle sono equivlenti, d or in poi ci rieriremo indierentemente ll un o ll ltr deinizione, second dell convenienz. Osservzione. L unzione di Dirichlet [, ] (x) = R { se x è rzionle se x è irrzionle (pur essendo limitt) non è integrbile secondo Riemnn, perché in ogni sottointervllo ci sono si numeri rzionli che irrzionli, e quindi le somme ineriori vlgono zero, mentre le somme superiori vlgono. 2.3 Integrbilità di lcune clssi di unzioni Dlle proprietà delle somme ineriori e superiori e dll deinizione di integrle segue cilmente l seguente proposizione: Proposizione 2.4 (Criterio di integrbilità) Un unzione [, b] R, limitt sull intervllo comptto [, b], è integrbile secondo Riemnn se e solo se per ogni ε > esiste un prtizione X tle che S + (; X) S (; X) ε (2.7) In bse tle criterio, si dimostr il seguente teorem. Teorem 2.5 (Integrbilità delle unzione continue sui comptti) Se è un unzione rele continu su un intervllo comptto [, b] R, llor è integrbile su [, b]. (L dimostrzione di questo teorem richiede l nozione di uniorme continuità ed è colttiv). Dimostrzione. Si srutt l proprietà di uniorm continuità di. Per il teorem di Heine-Cntor, l unzione, essendo continu su un comptto, è uniormemente continu. Dunque per ogni ε > esiste un δ > tle che se x x 2 < δ, llor (x ) (x 2 ) < ε. Ne segue che se P è un qulunque prtizione di [, b] con prmetro di inezz P < δ, si h e quindi sup{(x), x [x i, x i ]} in{(x), x [x i, x i ]} ε (2.8) D questo segue, per il criterio 2.7, che è integrbile su K. Enuncimo tre teoremi, dei quli non dimo l dimostrzione. S + (; P ) S (; P ) ε(b ) (2.9) Teorem 2.6 Un unzione [, b] R l qule si null su [, b] ecetto che in numero inito di punti p,..., p N è integrbile e h integrle nullo. (Ide dell dimostrzione: Bst dimostrre l enuncito nel cso in cui si sempre null, trnne che in un unico punto p, in cui, per issre le idee, si bbi (p ) >. Fissto ε >, si P un qulunque prtizione mrct con prmetro di inezz P < ε/(p ). Allor l somm ineriore S (; P ) vle zero, mentre S + ε (; P ) 2(p ) (p = 2ε se p ) è un punto dell prtizione comune due intervllini contigui, mentre S + ε (; P ) (p ) (p = ε se p ) è un punto interno uno degli intervllini dell prtizione. Quindi si l integrle ineriore che l integrle superiore (estremo ineriore delle somme superiori) vlgono zero, e pertnto l unzione è integrbile, con integrle nullo). 7

8 Ne segue che se è un unzione integrbile e un unzione g dierisce d solo in numero inito di punti, llor nche g è integrbile e i due integrli coincidono. (Intti, l dierenz g è sempre null, trnne che su un numero inito di punti, e quindi, per il teorem precedente, h integrle nullo). Questo signiic che, nel clcolo dell integrle di un unzione, possimo cmbire i vlori che ssume in un insieme inito di punti (o trscurre del tutto tli vlori), senz che l integrle cmbi. Teorem 2.7 (Integrbilità delle unzioni monotòne). Se è un unzione monòton su un intervllo comptto [; b], llor è integrbile. Teorem 2.8 (Integrbilità delle unzioni con un numero inito di punti di discontinuità) Si [, b] R un unzione limitt e supponimo che l insieme dei punti di discontinuità di si inito. Allor è integrbile su [, b]. Osservzione. (Fcolttiv). Gli esempi precedenti rendono nturle l seguente domnd: Quli sono esttmente le unzioni integrbili su un intervllo comptto [, b]? Allo scopo di rispondere quest domnd, premettimo un deinizione. Un sottoinsieme Z R si dice uno zero-insieme se per ogni ε > esiste un ricoprimento perto numerbile di Z medinte intervlli perti ( i, b i ), i N (cioè esiste un migli numerbile di intervlli ( i, b i ) tle che Z è incluso nell unione i N ( i, b i )), per il qule si h + i= b i i < ε Se un proprietà vle ovunque, trnne che su uno zero-insieme, si dice che l proprietà vle qusi ovunque. Teorem 2.9 (Riemnn-Lebesgue) Un unzione [, b] R è Riemnn-integrbile se e solo se è limitt e l insieme dei punti di discontinuità è uno zero-insieme. In ltri termini, il teorem di Riemnn-Lebesgue erm che un unzione è Riemnn-integrbile su un intervllo comptto se e solo se è limitt e qusi-ovunque continu. 2.4 Prime proprietà dell integrle Indichimo con R[, b] lo spzio delle unzioni Riemnn-integrbili sull intervllo [, b]. Enuncimo, senz dimostrrle, lcune proprietà dell integrle. Teorem 2. Vlgono le proprietà seguenti:. R[, b] è uno spzio vettorile. Vle dire, se, g pprtengono R[, b] e λ, µ sono numeri reli, llor nche λ + µg pprtiene R[, b]. 2. (Linerità dell integrle). Per ogni, 2 R[, b], e per ogni numero rele λ, si h ( + 2 )(x) dx = λ (x) dx = λ (x) dx + 2 (x) dx (2.) (x) dx (2.) 8

9 Queste due proprietà si sintetizzno dicendo che l opertore di integrzione è linere. R[, b] R, (x) dx (2.2) 3. (Monotoni dell integrle). Se, 2 R[, b] e (x) 2 (x) per ogni x [, b], llor (x) dx 2 (x) dx (2.3) 4. Per ogni R[, b] e c (, b), le restrizioni di gli intervlli [, c] e [c, b] sono integrbili e (x) dx = c (x) dx + c (x) dx (2.4) 5. Se R[, b] e M R è un numero tle che (x) M per ogni x [, b], llor (x) dx M(b ) (2.5) 6. Se R[, b], llor nche R[, b] e (x) dx 7. Se, g R[, b], llor nche il loro prodotto g R[, b]. Deinizione 2. (Integrle orientto) Se > b, si pone, per deinizione, Con quest deinizione, l uguglinz (x) dx = (x) dx = c b (x) dx + (x) dx (2.6) (x) dx (2.7) c (x) dx (2.8) vle per ogni scelt di, b, c (nche se c non è compreso tr e b), ptto che gli integrli considerti esistno. 2.5 Teorem dell medi Teorem 2.2 (dell medi integrle) Se l unzione [, b] R è integrbile su [, b] ed è limitt tr due costnti m ed M, nel senso che m (x) M per ogni x in [, b], llor l integrle deinito di soddis le disuguglinze m(b ) Se inoltre è continu, esiste un punto ξ in [, b] tle che b (x)dx M(b ) (2.9) (x)dx = (ξ) (2.2) 9

10 Se e si interpret l integrle come l re dell regione di pino A compres tr il grico di e l sse delle x, le disuguglinze 2.9 sono evidenti, perché M(b ) è l re di un rettngolo che contiene intermente A, mentre m(b ) è l re di un rettngolo tutto contenuto in A. Dimostrzione. D m (x) M segue, per l proprietà di monotoni dell integrle, mdx (x)dx Mdx (2.2) che coincide con 2.9, in qunto mdx = m(b ) e Mdx = M(b ). Per dimostrre 2.2, supponimo continu su [, b]. Per le disuguglinze 2.9, il numero b (x)dx (2.22) è compreso tr l estremo ineriore e l estremo superiore di in [, b]. Poiché è continu sull intervllo [, b], ssume tutti i vlori compresi tr il suo estremo ineriore e il suo estremo superiore. Quindi esisterà un punto ξ tr e b per il qule vle Teorem ondmentle del clcolo integrle Dt un unzione [, b] R integrbile su [, b], si chim unzione integrle di l unzione F [, b] R deinit nel modo seguente: per ogni x [, b], F (x) = x (t)dt (2.23) Un interpretzione geometric di F (x), nel cso in cui l unzione (x) si non negtiv, è dt nell igur di sotto. y F (x) è l re sotto il grico di tr e x. Grico di F (x) = x (t)dt x b x

11 Teorem 2.3 (Teorem ondmentle del clcolo integrle) Si [, b] continu sull intervllo [, b]. Allor l unzione F (x) = x è derivbile e si h F (x) = (x) per ogni x in [, b]. R un unzione (t)dt (2.24) Se poi G(x) è un qulunque unzione derivbile tle che G (x) = (x), llor (t)dt = G(b) G() (2.25) Dimostrzione. Fissimo un punto x in [, b]. Allor F (x + h) F (x) h = [ x+h (t)dt h x ] (t)dt = h x+h x (t)dt = (ξ) (2.26) dove ξ è un opportuno punto tr x e x + h. L 2.26 segue dll uguglinz 2.2 del precedente lemm dell medi integrle, pplicto ll intervllo di estremi x e x + h. Qundo h tende zero, il punto ξ, compreso tr x e x + h, tende x. Poiché è continu, (ξ) tende (x) e quindi Si è così dimostrto che F (x) = (x). F (x + h) F (x) lim = (x) (2.27) h h y Spiegzione intuitiv: F (x + h) F (x) è l re dell piccol strisci verticle, che è qusi un rettngolino (qundo h è piccolo) di ltezz (x). Quindi [F (x + h) F (x)]/h = re bse dà l ltezz (x). Dunque F (x) = (x) (x) Grico di x x + h b x

12 Si or G(x) un qulunque unzione derivbile tle che G (x) = (x). Poiché le due unzioni G(x) e F (x) = (t)dt hnno l stess derivt sull intervllo [, b]. Quindi dieriscono per un costnte: x G (x) = (x) = F (x) G(x) = x (t)dt + c (2.28) Ponendo in quest uguglinz prim x = b e poi x = e sottrendo, si ottiene: G(b) G() = = [ Così bbimo dimostrto l uguglinz ] (t)dt + c [ ] (t)dt + c (2.29) (t)dt (2.3) 2.7 Cmbio di vribili negli integrli deiniti. Teorem 2.4 (Cmbio di vribili negli integrli deiniti) Si [, b] R un unzione continu sull intervllo [, b] e si [α, β] [, b] un unzione biunivoc con derivt continu ϕ (t) >. ϕ (Dunque ϕ(α) = e ϕ(β) = b.) Allor vle quest uguglinz: Prim dimostrzione. (x)dx = β α (ϕ(t))ϕ (t)dt (ϕ(α) =, ϕ(β) = b) (2.3) Trmite l unzione biunivoc ϕ possimo ssocire ogni prtizione di [, b] un prtizione x = < x < x 2 < < x n = b t = α < t < t 2 < < t n = β di [α, β] e vicevers, ponendo x i = ϕ(t i ), per i =,..., n. (Qui usimo il tto che ϕ si crescente; se invece osse decrescente, ll prtizione t = α < t < t 2 < < t n = β dovremo ssocire l prtizione ϕ(β) = < ϕ(t n ) < ϕ(t n 2 ) < < ϕ(α) = b). Per il Teorem del Vlore Medio si h per opportuni η i (t i, t i ). x i x i = ϕ(t i ) ϕ(t i ) = ϕ (η i )(t i t i ) (2.32) L integrle deinito (x)dx è limite di somme di Riemnn del tipo n (ξ i )(x i x i ) (2.33) i= con ξ i [x i, x i ], per ogni i =,..., n. Siccome l scelt dei punti ξ i è rbitrri, possimo scegliere ξ i = ϕ(η i ). L corrispondente somm di Riemnn di srà llor n (ξ i )(x i x i ) = i= n (ϕ(η i ))ϕ (η i )(t i t i ) (2.34) i= 2

13 Or le somme del tipo 2.34 sono somme di Riemnn per l unzione compost (ϕ(t)ϕ (t) sull intervllo [α, β], e quindi convergono ll integrle β α (ϕ(t))ϕ (t)dt. Second dimostrzione. Considerimo le due unzioni G, H deinite sull intervllo [α, β] nel modo seguente: G(y) = ϕ(y) (x)dx H(y) = y α (ϕ(t))ϕ (t)dt (2.35) per ogni y [α, β]. Per il teorem ondmentle del clcolo integrle (insieme l teorem di derivzione di unzione compost, per l G(y)), queste due unzioni sono derivbili in [α, β] e hnno l stess derivt: G (y) = (ϕ(y))ϕ (y) H (y) = (ϕ(y))ϕ (y) (2.36) Dunque G e H dieriscono per un costnte. M nel punto y = α ssumono lo stesso vlore: Ne segue che G e H sono uguli: G(α) = F (α) = per ogni y in [α, β] G(y) = H(y) In prticolre G(β) = H(β), che è l tesi. 2.8 Il metodo di sostituzione per il clcolo di un primitiv. Per cercre un primitiv di un unzione ssegnt, volte può essere utile un cmbio di vribili. Descrivimo quest tecnic, che si chim metodo di sostituzione. Presentimo questo metodo nei due csi che si incontrno più spesso. Metodo di sostituzione: Primo cso. Supponimo di volere clcolre un integrle indeinito del tipo (h(u)) du (2.37) Ricordimo che il problem consiste nel trovre un unzione H(u) l cui derivt si H (u) = (h(u)). Nel nostro cso l unzione integrnd (h(u)) è un unzione compost, dove e h sono unzioni ssegnte. Supponimo che l unzione x = h(u) si invertibile e denotimo con u = h (x) = k(x) l su invers. Per semplicità, scriveremo nche x = x(u), nziché x = h(u); nlogmente, scriveremo u = u(x), l posto di u = h (x). M si chiro che questo signiic che x = x(u) è l speciic unzione h e che u = u(x) denot l invers di h. Supponimo inoltre che h bbi un derivt continu h (u) che non si nnulli mi. Quest richiest ci permette di dire che nche l unzione invers k = h è derivbile. (Regol dell derivt dell unzione invers.) Il metodo di sostituzione si bs sull seguente osservzione: Si G(x) qulunque primitiv dell unzione (x)u (x), cioè si bbi G (x) = (x)u (x) = (x)k (x) (2.38) Allor l unzione compost G(h(u)) è un primitiv di (h(u)) (che è l unzione integrnd inizile nell integrle 2.37). 3

14 Intti, per l regol di derivzione di un unzione compost, bbimo: d du G(h(u)) = G (h(u)) h (u) = (h(u)) k (h(u)) h (u) = (h(u)) (2.39) perché k (h(u)) h (u). (Intti, per l regol di derivzione dell unzione invers k = h, e quindi k (h(u))h (u) =.) k (h(u)) = h (u) Rissumimo schemticmente. Per trovre un primitiv di (h(u)), si può procedere nel modo seguente:. Si pone h(u) = x; 2. Si trov l unzione invers u = h (x) = u(x); 3. Si consider l unzione (x)u (x), dove u(x) = h (x) è l invers di x = h(u); 4. Si cerc un primitiv G(x) di (x)u (x); 5. In G(x) si oper l sostituzione x = h(u), ottenendo così l unzione G(h(u)). L unzione inle G(h(u)) srà llor un primitiv di (h(u)). In ltri termini, per clcolre l integrle indeinito (h(u)) du (2.4) bst clcolre l integrle indeinito (x) u (x)dx (2.4) e poi eetture l sostituzione x = h(u). Il simbolo (h(u)) du (2.42) che ppre sotto il segno di integrle, suggerisce l trsormzione giust d re, qundo si eettu un sostituzione di vribili: se l posto di h(u) si sostituisce h(u) = x e l posto di du si sostituisce du = u (x)dx dove u(x) = h (x), llor si pss utomticmente d Dunque, se per denotre gli integrli indeiniti si us l notzione di Leibniz 2.42, il metodo di sostituzione si ricord più cilmente e si eettu meccnicmente. Ovvimente, non è detto che il metodo di sostituzione si sempre prticbile. Ad esempio, il metodo llisce se non si s trovre esplicitmente l unzione invers u = h (x); oppure se non si s trovre un primitiv G(x) di (x)u (x). Metodo di sostituzione: Secondo cso. Supponimo di dovere clcolre un integrle indeinito del tipo: (h(u))h (u) du (2.43) 4

15 che dierisce dl precedente integrle 2.37 perché or nell unzione integrnd compre il termine h (u). Si pong h(u) = x e si F (x) un primitiv di (x). Allor si vede subito che F (h(u) è un primitiv di (h(u))h (u). Intti, per l regol di derivzione di un unzione compost, si h: d du F (h(u)) = F (h(u))h (u) = (h(u))h (u) Anche in questo cso l notzione simbolic di Lebniz suggerisce l cos giust d re. Si pong h(u) = x e dx = x (u)du = h (u)du. Allor il metodo di sostituzione prende l orm (h(u))h (u) du = (x) dx = F (x) = F (h(u)) (2.44) In questo cso il metodo di sostituzione risult sempliicto, perché non è necessrio trovre l invers dell unzione h(u). Esempio 2.5 Clcolre: π 4 sin 2x dx Soluzione. Cmbimo l vribile, ponendo 2x = t, ossi x = t 2. In termini più precisi, deinimo l unzione x = h(t) = t 2, con t [, π 2 ]. Si h h (t) = 2. Allor, per l ormul del cmbio di vribile, bbimo: π 4 sin 2x dx = Esempio 2.6 Clcolre: π 2 (sin h(t)) h (t) dt = 2 e u du + e u π 2 (sin t)dt = 2 [ cos t] π 2 = 2 Ponimo e u = x. Allor l unzione invers è u = ln x e du = u (x)dx = dx. Quindi per il metodo x di sostituzione (primo metodo) si h e u du = + e u x + x x dx = dx = rctn x + x2 Or tornimo ll vribile inizile u con l sostituzione x = e u, e così trovimo l primitiv cerct: rctn e u. Esempio 2.7 Clcolre: e u + e u du Usimo il metodo di sostituzione, ponendo + e u = x = x(u). Notimo che con tle sostituzione l espressione e u + e u du divent e u + e u du = x(u) x (u) du Si noti che, per l presenz del termine x (u) du = dx, simo nel secondo cso del metodo di sostituzione. Allor e u x(u)x x + e u du = 2 (u)du = dx = 3 x = 3 x x Or l posto di x si deve porre: x = + e u. Quindi l primitiv cerct è 2 3 ( + eu ) + e u. 5

16 Se invece non ci ossimo ccorti di quel ttore x (u)du = e u du che ci h tto usre il secondo cso del metodo di sostituzione, vremmo proceduto nel modo seguente (Metodo di sostituzione: Primo cso). L unzione invers di x = + e u è u = ln(x ). Allor du = u (x)dx = x dx L regol di sostituzione, ponendo + e u = x e du = x dx, prende l orm: e u + e u du = (x ) x xdx x dx = e d qui si procede come sopr. Esempio 2.8 Clcolre tn x dx e cot x dx sin x Per deinizione di tngente, si h tn x dx = dx. Ponimo cos x = t. Non è necessrio cos x invertire quest relzione, in qunto è presente il termine ( sin x)dx = dt. (Simo nel secondo cso del metodo di sostituzione). Quindi sin x tn x dx = cos x dx = dt = ln t = ln cos x t In modo nlogo, con l sostituzione sin x = t, si trov: cos x cot x dx = sin x dx = dt = ln t = ln sin x t 2.9 Integrzione per prti Ricordimo che se (x) e g(x) sono unzioni derivbili, l derivt del prodotto (x)g(x) è dt dll regol di Leibniz [ (x)g(x)] = (x)g(x) + (x)g (x) (2.45) Se integrimo entrmbi i membri e ricordimo che un primitiv dell derivt di un unzione è l unzione stess, ottenimo (x)g(x) = (x)g(x)dx + (x)g (x)dx (2.46) ovvero (x)g (x)dx = (x)g(x) (x)g(x)dx (2.47) L 2.47 si chim ormul di integrzione per prti. Come l solito, l uguglinz 2.46 v intes nel senso seguente: l somm di un qulunque primitiv di (x)g(x) e di un qulunque primitiv di (x)g (x) è ugule (x)(g(x), meno di un costnte dditiv. Allo stesso modo v interprett l Esempio 2.9 Per clcolre ln x dx, possimo usre l ormul di integrzione per prti 2.47, dove (x) = ln x e g (x) =. Si h (x) = e g(x) =. Dunque x x ln x dx = x ln x x x = x ln x x 6

17 Esempio 2.2 sin 2 x dx = sin x sin x dx = cos x sin x = cos x sin x + cos 2 x dx = cos x sin x + ( sin 2 x) dx = cos x sin x + x sin 2 x dx ( cos x) cos x dx Portndo l integrle primo membro, si ottiene sin 2 x cos x sin x x dx = 2 (2.48) In modo del tutto nlogo si trov cos 2 x dx = x + cos x sin x 2 (2.49) 3 Integrli impropri o generlizzti Finor bbimo considerto solo integrli (x)dx dove l intervllo [, b] è limitto e l unzione (x) è limitt su [, b]. Or vedimo come il concetto di integrle si deinisce qundo l unzione (x) è limitt m l intervllo di integrzione non è limitto, oppure qundo l unzione non è limitt e l intervllo di integrzione è limitto. Un esempio del primo tipo è l integrle + (L intervllo (, + ) non è limitto). Un esempio del secondo tipo è (L unzione x non è limitt vicino ). In entrmbi i csi si prl di integrli generlizzti (o impropri). dx (3.) x2 x dx (3.2) 3. Integrli su intervlli non limitti Si un unzione rele deinit su un intervllo non limitto [, + ): [, + ) R (3.3) Diremo che è integrbile (o integrbile in senso generlizzto, o in senso improprio) sull semirett [, + ) se è integrbile su ogni intervllo [, t] con t > ed esiste inito il limite t lim t + (x) dx (3.4) 7

18 In questo cso si pone, per deinizione, + (x) dx = t lim t + (x) dx (3.5) Se l integrle + (x) dx esiste (inito) si dice che tle integrle è convergente. Se il limite 3.4 è +, si dice che l integrle + (x) dx è divergente. In modo simile si deiniscono le unzioni integrbili su intervlli non limitti del tipo (, b]. 3.. Integrle di /x Teorem 3. (Integrbilità di /x in un intorno di + ) + x dx Dimostrzione. Se =, bbimo e quindi l integrle vle +, ossi è divergente. Or Se, si h Rissumendo: + lim t + t lim t + x dx t diverge + se converge (l numero ) se > (3.6) x dx = lim (ln t ln ) = + (3.7) t + + dx (3.8) x x dx = [x ] t = (t ) (3.9) (t ) = { + se < se > diverge + se converge (l numero ) se > (3.) Esempio 3.2 Vedimo se l unzione xe x è integrbile (in senso improprio) sull semirett (, ). Per ogni t <, l unzione xe x è integrbile su [t, ] (perché è continu) e si h: Or si deve clcolre il limite per t che tende. Si ottiene: t lim t t xe x = (x )e x = (t )e t (3.) xe x = Dunque l unzione xe x è integrbile su (, ) e xe x dx = t lim ( (t t )et ) = (3.2) lim t t xe x = (3.3) 8

19 3..2 Criterio del conronto A volte si può stbilire se un unzione è integrbile in senso generlizzto, senz bisogno di trovrne esplicitmente un ntiderivt. Può bstre un conronto con unzioni integrbili più semplici. Teorem 3.3 (Criterio del conronto.) Supponimo che (x) e g(x) sino unzioni continue deinite su un stess semirett I = (, + ) e soddiscenti (x) g(x) (3.4) Allor: In prticolre: + (x)dx + g(x)dx (3.5). Se g è integrbile su I, nche è integrbile su I; 2. Se non è integrbile su I (cioè, se + (x)dx = + ), nche g non è integrbile su I (ossi, nche + g(x)dx = + ) Dimostrzione. Poiché le unzioni integrnde e g sono non-negtive, gli integrli in questione sicurmente esistono 2, mgri uguli +. Per l proprietà di monotoni dell integrle, vlgono le disuguglinze t (x)dx per ogni t >. Pssndo l limite per t +, si h llor l tesi. t g(x)dx (3.6) L enuncito del teorem è del tutto rgionevole qundo si pensi ll seguente interpretzione geometric. Poiché (x) g(x), l regione di pino compres tr l sse delle x e il grico di (x) è tutt l di sotto del grico di g(x). Quindi, se l re + g(x)dx è init, mggior rgione l re + (x)dx srà init. Mentre se l re + (x)dx è ininit, mggior rgione l re + g(x)dx srà ininit. Esempio 3.4 Stbilire se l integrle + e x2 dx è convergente. Soluzione. L unzione e x2 è ovvimente integrbile su ogni intervllo [, b], in qunto è continu. Occorre studire l su integrbilità in un intorno di +. Non si s trovre esplicitmente un ntiderivt di e x2. Osservimo però che in un intorno di + (vle dire per tutti gli x suicientemente grndi) si h e x2 x 2 (3.7) (In reltà l 3.7 vle per ogni x in (, + ), perché e t > t per ogni t R, e quindi < e t < t (3.8) per ogni t > ). Siccome sppimo già che in un intorno di + l unzione criterio del conronto possimo concludere che l integrle + e x2 dx è convergente. è integrbile, per il x2 2 Ricordimo che se un unzione rele h(t) è crescente su un intervllo (, + ), llor sicurmente esiste (inito o + ) il limite lim t + h(t), e tle limite è ugule l sup di h su (, + ). Nel nostro cso, siccome le unzioni e g sono non-negtive, le unzioni integrli t e t g sono crescenti, e quindi hnno limite per t +. 9

20 3..3 Criterio del conronto sintotico Un ltro criterio per stbilire se un unzione è integrbile in senso generlizzto è il criterio del conronto sintotico. Ricordimo un deinizione. Dte due unzioni (x), g(x), deinite entrmbe su (, + ), con g(x) sempre diverso d zero, si dice che (x) è sintoticmente equivlente g(x) qundo x tende +, e si scrive (x) g(x), per x + (3.9) se Vle llor il seguente (x) lim x + g(x) = (3.2) Teorem 3.5 (Criterio del conronto sintotico.) Sino (x) e g(x) unzioni non-negtive continue deinite su un stess semirett I = (, + ). Supponimo (x) g(x) per x +. Allor (x) è integrbile su I se e solo se g(x) è integrbile su I. (x) (x) Dimostrzione. Per ipotesi, lim x + g(x) =. Quindi, per ogni issto ε >, il rpporto g(x) srà contenuto nell intervllo [ ε, + ε] per tutti gli x suicientemente grndi. In ltri termini, vrrnno deinitivmente le due disuguglinze ( ε)g(x) (x) ( + ε)g(x) (3.2) Or l tesi segue subito dl teorem del conronto. Intti, se g(x) è integrbile sull semirett I, d (x) ( + ε)g(x) segue che (x) è integrbile; mentre, se g(x) non è integrbile su I, d segue che (x) non è integrbile. Esempio 3.6 Stbilire se l integrle ( ε)g(x) (x) converge. + x 3 + 2x 2 x + x 5 + x 4 dx (3.22) + 7 Intti, l unzione integrnd è sintotic x 2 : x 3 + 2x 2 x + x 5 + x 4 + 7, per x + (3.23) x2 Ne segue, per il criterio del conronto sintotico, che l integrle 3.22 è convergente. Esempio 3.7 L integrle è convergente. + ( x sin ) dx (3.24) x Intti, per x +, si h x sin x 3! è integrbile sull semirett [, + ). e 3! x 3 2 x 3

21 3.2 Integrli di unzioni non limitte Vedimo or come estendere il concetto di integrle deinito unzioni che non sono limitte in un intorno di un punto. Si (x) un unzione deinit su un intervllo (, b] (, b R e < b). Supponimo che non si limitt in un intorno del punto. Se esiste inito il limite lim c + c (x)dx (3.25) esso viene chimto integrle improprio, o generlizzto, di sull intervllo [, b] e si denot ncor con il simbolo (x)dx Come esempi guid, considerimo le due unzioni (x) = x e g(x) = x, deinite sull intervllo (, ]. Ovvimente, entrmbe non sono limitte vicino. Nel primo cso, un primitiv di (x) su (, ] è ln x e Nel secondo cso, Quindi, (x) = x integrle vle 2). lim c + c (x)dx = lim c + [ ln() ln(c) ] = + [ ] lim dx = lim 2 x = lim (2 2 c) = 2 c + c x c + c c + non è integrbile in senso generlizzto su [, ], mentre g(x) = x lo è (e il suo 3.2. Integrli di /x. Criteri del conronto e del conronto sintotico Con un conto del tutto nlogo quello svolto per studire l integrbilità di x si ottiene il seguente sull intervllo [, + ), Teorem 3.8 (Integrbilità di /x in un intorno di zero) x dx diverge + se converge (l numero ) se < (3.26) Anche per gli integrli impropri di unzioni non limitte, vlgono il criterio del conronto e il criterio del conronto sintotico. Teorem 3.9 (Criterio del conronto.) Supponimo che (x) e g(x) sino unzioni continue sull intervllo I = (, b], entrmbe non limitte vicino l punto e soddiscenti (x) g(x) (3.27) Allor: In prticolre: (x)dx g(x)dx (3.28). Se g è integrbile su I, nche è integrbile su I; 2. Se non è integrbile su I (cioè (x)dx = + ), nche g non è integrbile (cioè, nche g(x)dx = + ). 2

22 Teorem 3. (Criterio del conronto sintotico.) Sino (x) e g(x) unzioni non-negtive continue sull intervllo I = (, b], entrmbe non limitte vicino l punto. Supponimo (x) g(x) per x +. Allor (x) è integrbile su I se e solo se g(x) è integrbile su I. Le dimostrzioni di questi due teoremi sono del tutto simili quelle già viste nel cso di integrli su intervlli illimitti, e non le ripeteremo. 22