Risolvere gli esercizi proposti e rispondere a 4 quesiti scelti all interno del questionario. sin = x

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1 Risolvere gli esercizi proposti e rispondere quesiti scelti ll interno del questionrio Clcolre l derivt delle seguenti unzioni cos cos sin sin ( cos ) cos ( cos )( sin ) sin sin cos sin cos ( cos ) ( cos ) sin cos sin sin ( sin ) sin sin sin sin ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) e ( ) e ( ) e e ln( 5) ln( ) ln( 5) ( ) ( 5)( ) ( 5)( ) ( 5) ( 5)( ) logcos cos ( sin ) tn 5 Trov i punti in cui l tngente ll curv coeiciente ngolre - Il coeiciente generico dell tngente ll unzione è dto dll derivt, quindi: Aincé l tngente i direzione ugule - deve essere: I punti sono llor: ± ( ) P ( ; ) P ( ; )

2 6 Trov le equzioni delle tngenti ll curv di equzione nei punti in cui ess incontr l rett Determinimo i punti di intersezione: Clcolo l derivt di : Clcolo l tngente nel punto ; utilizzndo l ormul m m L rett tngente è: Clcolo l tngente nel punto ; utilizzndo l ormul m 5 m L rett tngente è: 5

3 5 7 Dire se l unzione Studimo l continuità: e ( e ) L unzione è continu in Studio l derivilità: e e < è continu e derivile nel punto e ( ) e e < ( e ) Pertnto l unzione non è derivile in 8 Determin per quli vlori e l unzione continu e derivile Continuità ( ) ( ) D cui segue ce incé l unzione si continu deve essere: si ovunque > Derivilità ( ) > D cui segue ce incé l unzione si derivile deve essere:

4 Per determinre e le due condizioni dovrnno essere soddistte contempornemente, cioè: Quesiti Descrivi il legme tr continuità e derivilità per un unzione Intti: Intti st considerre l unzione L unzione è continu nel punto, intti: Funzione derivile Funzione continu Funzione continu Funzione derivile

5 Clcolimo le derivte sinistr e destr: Pertnto derivt destr e derivt sinistr sono diverse, quindi l unzione non è derivile nel punto Mentre nel cso in cui l unzione si derivile è sicurmente continu in qunto imo Teorem Si dt un unzione : [ ; ] R, se ess è derivile in un punto [ ; ] continu nel punto ess è nce Veriicre ce l unzione non è derivile in L unzione non è derivile in Descrivi il signiicto geometrico di derivt un ltro punto generico dell unzione Le scisse dei secondi punti vengono scelte in modo tle ce esse si vvicinino l punto Considerimo il grico di un unzione generic e sino un punto isso, mentre si un punto vriile, sino e i vlori dell unzione nelle due scisse considerte

6 (, ) (, ) Qundo i punti sono sovrpposti, l rett ce ottenimo coincide con l rett (verde) tngente ll unzione nel punto (, ) Ricordndo l equzione dell rett pssnte per due punti, si ottiene: Scrivendo l equzione di tle rett in orm esplicit si ottiene L quntità rppresent il coeiciente ngolre m dell rett e ne descrive l inclinzione inoltre più ci si vvicin l punto isso, più tle vlore si vvicin l coeiciente ngolre dell rett tngente in (, ) Tle quntità si deinisce rpporto incrementle: ( ), più il vlore si vvicin d, più l rett ce unisce i punti individuno tende ll rett tngente ll unzione nel punto L derivt dell unzione nel punto il vlore ( ) ( )

7 L derivt quindi è legt ll tngente di un unzione in un punto Ess però non è l tngente ll unzione, m rppresent il coeiciente ngolre dell rett tngente ll unzione nel punto Deinire il rpporto incrementle e clcolre l derivt dell unzione nel punto pplicndo l deinizione di derivt e non le regole di derivzione Dto un insieme A R, un unzione : A R con A Si deinisce rpporto incrementle reltivo l punto l quntità Clcolimo l derivt in ( ) ( ) ( ) utilizzndo l deinizione ( ) ( ) : 5 Qul è il signiicto isico dell derivt dell legge orri del moto? Il signiicto isico dell derivt è legto l concetto di tngente d un triettori in un suo punto Considert l legge orri del moto e issto un istnte t, si l posizione occupt t dl corpo ll istnte inizile, considerimo poi un generico istnte in cui il corpo occupi l posizione Considerimo or il rpporto t t t ( t) ( t ) t t Al tendere di t t il punto tende ll posizione A numertore imo un quntità ce rppresent un lungezz in unzione del tempo, mentre denomintore imo un intervllo

8 di tempo L deinizione di velocità medi è nell esempio considerto s v, proprio come le grndezze ce compiono t Ricordimo ce tle vlore è distinto dll velocità istntne di un corpo ce è l velocità possedut dl corpo in un determinto istnte Per clcolre l velocità istntne di un corpo dl punto di vist sperimentle, si devono considerre spzi sempre più piccoli, e di conseguenz si vrnno intervlli di tempo sempre minori, il loro rpporto in questo modo si vvicinerà sempre di più l vlore istntneo dell velocità In questo modo nce l intervllo di tempo rilevto tende diventre ininitesimo, per cui si può scrivere, considerndo lo spzio percorso in unzione del tempo: v ist t Ricordndo qunto detto per l esempio considerto possimo scrivere: t s t t t t t s t ( t) ( t ) t t ( t ) Cioè l derivt rispetto l tempo dell legge orri del moto è l velocità del corpo Anlogmente possimo pplicre tle rgionmento ll velocità di un corpo espress in unzione del tempo e ottenimo ce l derivt dell velocità rppresent l ccelerzioen di un corpo Quindi, dt l legge orri ( t) di un corpo si : ( t) rppresent l velocità del corpo ( t) rppresent l ccelerzione del corpo 6 Il dominio dell unzione è l insieme dei numeri reli tli ce: ) > ) > c) d) Considerimo e veriicimo se pprtiene l dominio dell unzione: ( ) quindi pprtiene l dominio dell unzione, quindi l rispost ) e l rispost ) sono sglite Poicé c) e d) contengono entrme lo, provimo sostituire il vlore

9 ce non è ccettile, pertnto l rispost c) è sglit Quindi l rispost corrett è l 7 Veriicre ce l equzione mmette un rdice tr e e clcolrne poi un pprossimzione utilizzndo il metodo di isezione Si, l unzione è continu in tutto R, clcolimo e ( ) ( ) : Poicé l unzione è continu in [ ; ] ed è positiv in entrmi gli estremi, considerimo i vlori dei singoli termini: rppresent un vlore compreso tr - e, tle vlore sommto (termine per [ ; ] noto d come risultto un vlore positivo; per [ ; ] rppresent un vlore positivo; Quindi per [ ; ] l espressione rppresent l somm di due vlori positivi, pertnto l unzione non mmette rdici per [ ; ] 8 Dt l unzione ln Il dominio è > N : D : > Per cui > Tenendo conto del dominio si ce l soluzione è >, determinre il dominio e studire l disequzione