Per definire la velocità istantanea, ad esempio all'istante t = 2 esaminiamo che cosa succede quando t si scosta molto poco da t 1 :

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1 VIII. LE DERIVATE 1. Velocità istntne. Se il ponte di Nmce Bzr è lto 18 metri sul iume Dud Kosi, in un sistem di rierimento con origine sull supericie dell cqu e direzione verso l'lto, l quot di un oggetto lscito cdere libermente dll sommità del ponte, dopo t secondi srà: st = 18-5t. Fig Cdut di un grve nel vuoto. Lo spzio ce il grve deve ncor percorrere l tempo t srà dunque: st = 18-5t e l tempo t+1 srà: st+1 = 18-5t + 1. In un secondo perciò l distnz percors srà: st+1 - st = -5t + 1. Più in generle se considerimo due istnti t 1 e t : De Lo spostmento subito d un corpo in cdut liber nel periodo tr gli istnti t 1 e t t 1 < t srà: s s t t t t Cercimo or di deinire l velocità istntne dell'oggetto, cioè l velocità possedut dll'oggetto in un certo istnte, e incomincimo dl concetto di velocità medi: De. 1.. Diremo velocità medi di un corpo in cdut liber nell'intervllo t 1, t l quntità: st s t1 v m = t t1 Nel cso visto in precedenz si ottiene: -5t 1 + t. Per deinire l velocità istntne, d esempio ll'istnte t = esminimo ce cos succede qundo t si scost molto poco d t 1 : t 1 =, t =.01, v m = ; t 1 = 1.99, t =, v m = t 1 =, t =.001, v m = ; t 1 = 1.999, t =, v m =

2 In generle l velocità medi tr l'istnte t 1 =. e t = + srà v m = e tr gli istnti t 1 = - e t =., v m = E' logico prendere come velocità istntne quel vlore ce si ottiene dll velocità medi rendendo sempre più piccolo. Cioè lim 5 4 0, oppure 0 lim Si consideri or in generle un oggetto ce ll'istnte t si trov nell posizione t. De Si dice spostmento dell'oggetto nell'intervllo t 1, t l quntità: t - t 1. De Si t l posizione di un oggetto l tempo t. L su velocità medi nell'intervllo di tempo t 1, t srà: t - t1. t t1 L velocità medi tr t e t+ srà t t t t e quell tr t- e t De Si t l posizione di un oggetto ll'istnte t. L su velocità istntne l tempo t 0 srà: t0 t0 lim 0 0. Tngente d un curv. E' cile trccire l tngente d un circonerenz, bst portre l perpendicolre l rggio pssnte per un punto. Non è ltrettnto cile rlo per un curv divers dll circonerenz, nce percè non ne bbimo un cir deinizione. Cercimo quindi di trovre, per mezzo dell geometri nlitic, un deinizione opertiv di tngente d un curv. Si l un dt curv e si P un punto su l; ogni rett pssnte per P è individut dll su pendenz. Perciò cercimo di trovre un deinizione rgionevole dell pendenz dell tngente l in P. Si sp,q l pendenz dell rett determint di punti P e Q, dove P è il punto ssegnto, e Q è un ltro punto qulunque dell curv. r1 r Q r3 P1 P P Fig..8.- Tngenti e secnti d un curv pin. Dll igur si vede ce, se Q viene preso sempre più vicino P, l rett corrispondente si vvicin d un posizione ce sembr rgionevole pensre quell dell rett tngente. L 7

3 pendenz sp,q dovrebbe quindi ssumere vlori ce si vvicinno quelli dell pendenz dell rett tngente. Di conseguenz: De..1. Deinimo come pendenz dell tngente in P ll curv l il limite dell quntità sp,q qundo Q tende P, semprecè questo limite esist. Ricordimo ce l pendenz del segmento congiungente due punti 1,y 1 e,y è dt d y y1 m =. 1 Supponimo poi ce l curv l si il grico dell unzione y = dove è un unzione continu. Si P il punto dell curv l cui sciss è e Q il punto di sciss +; llor P è il punto, e Q è il punto +,+. Pendenz del segmento PQ srà: sp,q =. Dire ce Q si vvicin P è come dire ce tende 0, per cui: De... Si deinisce come pendenz dell tngente ll curv l di equzione y = nel punto P il lim Frmcocinetic. L concentrzione At di un rmco nel sngue di un pziente diminuisce con il tempo secondo un meccnismo ce dipende dll ntur del rmco e dl metbolismo del pziente. Nello studio di un processo terpeutico è importnte conoscere qule è il tsso di decremento dell concentrzione dopo l ssunzione del rmco. Se quindi ll istnte t + l concentrzione è At + il tsso di decremento medio nell intervllo ce v d t t+ srà dto d: A t A t mg/cm 3 Il tsso istntneo di decremento dell concentrzione l tempo t drà dto d: A t A t lim. 0 Concentrzione di un rmco At t Fig Concentrzione emtic di un rmco. 73

4 4. Deinizione di derivt. I concetti ce bbimo esminto, velocità di un grve, pendenz di un curv e tsso di decremento dell concentrzione di un rmco, pprentemente non nno lcuncè di comune, m in tutti e tre i csi rrivimo ll stess ormul: lim. 0 De Dt un unzione ed un punto del suo dominio, si dice derivt di nel punto il limite: lim se esiste e lo si indic con '. 0 L quntità prende il nome di incremento dell vribile, mentre + - prende il nome di incremento dell unzione; il rpporto viene detto perciò rpporto incrementle. Clcolimo d esempio l derivt dell unzione 1 secondo l deinizione ppen dt: lim lim lim Clcolimo or l derivt di = : 1 lim lim 0 0 Nello stesso modo si possono clcolre le derivte delle unzioni 0 = b, 1 =, =, e 3 = m + b per le quli si trov: ' = 0, '=1, ' =, ' = m. 5. Funzioni dierenzibili e non dierenzibili. Alcune unzioni mmettono derivt in lcuni punti e non in ltri. Ad esempio l unzione = mmette derivt per = 5 e non per = 0. De Un unzione si dice dierenzibile in se esiste l su derivt '. Il procedimento ce port l clcolo dell derivt si dice dierenzizione. 6. Derivt dell somm, dierenz e prodotto di due unzioni dierenzibili. Ricvimo per prim cos un ormul ce ci srà utilissim in seguito cilitndo l dimostrzione di moltissimi teoremi. T Se è un unzione dierenzibile nel punto, llor + = + ' + * dove * è un unzione ininitesim per tendente zero: lim *

5 75 Dim. L dimostrzione di questo teorem prte dll deinizione di derivt di nel punto : ' lim 0 D un teorem sui limiti si : 0 ' lim 0 Perciò se ponimo * ' bbimo 0 0 lim * e quindi dll relzione precedente: + = + ' + * l ormul cerct. Un ltro modo di gurdre quest ormul è quello di considerre: * ' con 0 0 lim * questo ci dice ce il rpporto incrementle è ugule ll derivt meno di un ininitesimo. In prtic non si v mi clcolre *, ci bst spere ce esiste e ce queste proprietà. T. 6.. Se e g sono mbedue dierenzibili in, llor +g è nce ess dierenzibile in e l su derivt è ' + g'; nlogmente -g è dierenzibile in e l su derivt è ' - g'. Dim. Si s = + g, dobbimo dimostrre ce s =' + g'. Per deinizione di derivt: s' = s s g g 0 lim lim [ ] = poicè e g sono per ipotesi dierenzibili, vle il teorem 6.1. e perciò: + + g+ --g = + '+ * +g+ g'+ g * - - g = = lim[' + * + g' + g * ] = ' + g'. L dimostrzione per l sottrzione è nlog. Il prossimo psso è quello di prendere in esme l derivt del prodotto di due unzioni p = g. D qunto visto sopr si potrebbe pensre ce p' = ' g', m questo non è vero. L ormul estt dell derivt del prodotto ce l dà il seguente Teorem: T Se e g sono due unzioni derivbili in, llor g è nc'ess dierenzibile in e si : p' = g' + ' g. Dim. Applicimo l deinizione di derivt p: p' = p p lim 0 = g g lim 0 ggiungendo e togliendo + g si ottiene: g g g g - lim 0 d cui si ricv: g g ] [ lim 0 + g ] [ lim 0

6 Pssndo l limite rimne g' + ' g. Cor Se g è dierenzibile in e c è un numero rele, llor c g è dierenzibile in e: [c g]' = c g' per =. Per dimostrrlo bst pplicre l ormul precedente e ricordre ce l derivt di un costnte è ugule zero. 7. Derivt di un polinomio. Applicimo or le ormule viste in precedenz per ottenere un semplice regol per dierenzire i polinomi. Rissumimo lcuni risultti già ottenuti: 1 = ' 1 = 1, = ' = 3 = 3 = 3 4 = 4 = 3 = Gurdndo queste espressioni per le derivte, possimo dedurre ce l derivt di 5 = 5 srà 5 = 5 4 e di conseguenz se n = n vremo n = n n-1. Quest supposizione è giust e ci viene conermt dl seguente teorem: T Se n = n con n intero positivo, llor si n ' = n n-1. Dimostrimo questo teorem per induzione complet. Notimo innnzitutto ce il teorem non enunci un proposizione sol, m ininite, un per ogni vlore di n. Per n=1 vremo l proposizione S 1 ce ci dice come 1 ' =1, per n = l proposizione S e cioè =, e poi le proposizioni S 3, S 4, S 5, e così vi. Questo si prest ll dimostrzione per induzione, ce procede in due pssi: prim si dimostr ce S 1 è ver cos ce bbimo già tto, poi si dimostr ce se S k è ver è ver nce S k+1. Perciò supponimo ce S k si ver e quindi se k = k llor ' = k k-1, e dimostrimo ' k ce S k+1 è ver, cioè k 1 k 1. Per re questo bst pensre ce: k k 1 k. In bse ll ormul di derivzione del prodotto ottenimo: ' ' k k 1 k k k 1. k1 k k Perciò, poicè l S 1 è ver, è ver nce l S e quindi l S 3 e così vi ino ll S n ce quindi rest dimostrt. Per mezzo di questo teorem e di quelli precedenti sull derivt dell somm, dierenz e prodotto per un costnte, possimo clcolre l derivt di qulunque polinomio. Ad esempio: = ; = Clcolimo l derivt dell unzione [] espress in termini di e '. Possimo scrivere = e per l regol di derivzione del prodotto: [ ] = ' + ' = '. 76

7 Anlogmente possimo clcolre: [ 3 ]' = [ T]' = ' + ' = 3 '. Per induzione complet possimo quindi dimostrre nce ce: [ n ]' = n n-1 ' per n intero positivo. 8. Continuità di unzioni dierenzibili. Abbimo detto ce un unzione è continu nel punto se lim =, il ce equivle dire ce lim + = bst porre = +. Ne segue ce: T Se è dierenzibile in, llor ess è continu in. Dim. Poicè è dierenzibile, possimo scrivere: + = + ' + * d cui risult lim + = lim + lim ' + lim * =. N.B. Questo teorem dice ce un unzione dierenzibile in è continu m non l'inverso. Ad esempio = è continu in 0 m non dierenzibile. Più in generle potremmo vere un unzione ottenut un vicino ll'ltr due unzioni e g. Fig Punti ngolosi.. per Ponimo : = g per Percè i due pezzi si congiungno con continuità dovrà essere = g, m in vremo uno spigolo meno ce le pendenze delle due rette non sino uguli. T. 8.. Sino e g dierenzibili in, e si: per = g per 77

8 Allor 1 è continu se = g, è dierenzibile se oltre d essere = g è nce ' = g'. 9. Derivt del quoziente. Dimostrimo l ormul di derivzione del quoziente di due unzioni in due pssi successivi. Il primo è costituito dl seguente: 1 T Si g dierenzibile in e si r =. g Allor se g 0, r è dierenzibile in e si : r' = - g ' g. Dim. Dll deinizione di derivt si ottiene: g g g g g g lim [ ] lim ' * lim = - 0 g g 0 g g 0 g g g ' g Come ppliczione di questo teorem possimo estendere l ormul di derivzione di n = n ce vevmo dto per n positivo, l cso in cui n si negtivo. T. 9.. Se n = n dove n è intero positivo o negtivo, llor n = n n-1 se n <0 dovrà essere 0. Dim. Se n < 0 ponimo p = -n e vremo n = 1 con p > 0. Applicimo l ormul già p 1 trovt per l derivt di g e ottenimo n = - p p1 p = -p -p-1 = n n-1. T Sino e g due unzioni dierenzibili in e si inoltre g 0. Se Q = llor Q è dierenzibile in e l su derivt srà g Q = ' g g ' g 1 Dim. Ponimo Q = e pplicimo l ormul di derivzione del prodotto: Q' = g 1 ' g + [- g ' ] ce clcolt in ci dà l tesi. g 10. Derivt di un unzione compost. Le regole ce bbimo ricvto inor ci permettono di clcolre l derivt di un polinomio, di un unzione rzionle e dell. Non possimo dire null però sull derivt dell unzione: = 1 nce se sppimo derivre si l ce l 1. 78

9 L unzione è intti un unzione compost e ci proponimo pertnto di determinre l derivt di g[]. T Si = g[]. Se è dierenzibile in e se g è dierenzibile in, llor è dierenzibile in e si ' = g'[] '. Dim. Per deinizione di derivt ' = lim. Poicè per ipotesi è 0 dierenzibile in, per il teorem 6.1 si : + = + ' + * con lim * 0 e se ponimo k = ' + * possimo scrivere: 0 + = + k con lim k 0. 0 Perciò g[ k ] g[ ] e poicè per ipotesi g è dierenzibile g[ + k] = g[] + k g'[] + k g*k dove g lim * k 0. 0 Quindi k g'[ ] kg * k k ' * g g k m poicè k = ' + * e di conseguenz k = ' + * vremo: = {g'[] + g*k} {' + *}. Pssndo l limite possimo quindi concludere ce = lim lim{g'[]+ g*k} {' + *} = g'[] ' Esempi ed ppliczioni. L regol di derivzione di un unzione compost ci permette di risolvere or il problem dl qule ervmo prtiti, e cioè quello dell derivzione dell unzione 1 = 1 Intti possimo considerre 1 = g[] dove y = = 1 e gy = y 1 Sppimo ce g'y = y e ce ' = 1 1 ; quindi g'[] = Anlogmente se 8 1 posto = 8 1 e gy = y si ottiene: 1 ' Si può dimostrre e lo remo in seguito ce [sin ]'= cos. 79

10 Se poi 3 = sen - 1 llor 3 = cos - 1. Clcolimo or l derivt di cos : [cos ]' = [sin/ - ]' = cos/ - -1 = - sen. Per qunto rigurd l tngente: [tn ]' = sen ' cos sen cos cos 1 = 1 + tn. cos Un ulteriore ppliczione l possimo re per determinre l derivt di potenze rzionli, cioè dell unzione = p/q con p e q interi e diversi d zero. T Se = r dove r è un numero rzionle, llor ' = r r-1 se r-1 è negtivo si 0. Dim. Se r è un numero rzionle vremo r = p/q con p e q interi. Possimo quindi scrivere q = p e dierenzire i due membri ottenendo: p q p 1 q q-1 ' = p p-1. Ricordndo l deinizione di si ricv: q ' p d cui ncor: ' = p p q p q q p 1 1 p q 1 q r r1. p1 1. Derivt di un unzione invers. Si g un cert unzione crescente, ed l su invers. I grici di y = ed y = g come bbimo già notto sono simmetrici rispetto ll rett y = bisettrice del primo qudrnte. Se P e P' sono due punti corrispondenti sulle due curve e se P=,b llor P'=b,. E' evidente ce y = vrà un tngente in P se y = g un tngente in P'. In termini di derivte, vrà un derivt in se g derivt in b, trnne il cso in cui g'b = 0 e cioè l tngente in P' è orizzontle per cui l tngente in P srebbe verticle e quindi ' non esisterebbe. T Se è l unzione invers di g, llor ' esiste se esiste g'[] ed è divers d 0. Questo è un risultto bbstnz intuitivo ce non dimostreremo. Il prossimo psso è quello di trovre un ormul per ' in termini di g'b. T. 1.. Si l unzione invers di g. Se g è dierenzibile in e g'[] 0 llor è dierenzibile in e : = 1/g [] Dim. Ricordimo ce = g -1 e quindi g[] = per cui dierenzindo entrmbi i membri si 1 g'[] ' = 1 d cuisi ricv: ' = g'[ ]. Useremo ripetutmente quest ormul in seguito per clcolre le derivte delle unzioni inverse delle unzioni trigonometrice e di log. Esempi: Vedimo un unzione di cui conoscimo già l derivt y = ce è l invers di = y. Poicè l unzione y = è crescente nell intervllo 0, + ess mmette invers, per cui: 80

11 y' = 1 1 y come già spevmo. Per qunto rigurd le unzioni trigonometrice, poicè y = rcsin è l invers dell = sin y. L unzione y = sen è crescente nell intervllo -/,+/, mentre l unzione y=cos è decrescente nell intervllo 0, rcsin = sin y cos y 1 sin y rccos = ; rctg = cos y sin y 1 cos y 1 1 tg y Tngente d un curv. Dt l curv y = voglimo scrivere l'equzione dell rett tngente d ess in un dto punto 0, 0. L'equzione di un rett qulunque pssnte per 0,y 0 con pendenz m è y - y 0 = m - 0. L rett ce ci interess pss per il punto 0, 0 con pendenz ' 0. Perciò l su equzione è y - 0 = ' 0-0. Se per esempio voglimo scrivere l'equzione dell rett tngente ll y = log nel punto = 1 trovimo ce 1 = 0 e '1 = 1. Perciò l'equzione dell rett srà: y = Approssimzione linere. Ecco un problem ce si present di requente: bbimo bisogno di stimre il vlore di un dt unzione in punto dove è diicile d clcolre. Se è noto ed è vicino d è nturle cercre un stim di incomincindo d. Perciò dto cercimo un metodo per pprossimre + dove è piccolo e può essere si positivo ce negtivo con poci clcoli. Ancor un volt useremo l mos ormul: + = + ' + * con lim * = 0, 0 semprecè si derivbile nel punto =. In tl cso, poicè l è continu, l'pprossimzione di + è dt d e dll somm di due ulteriori termini correttivi. Poicè lim * = 0, si può dire ce il termine * è di solito molto piccolo in 0 conronto ', essendo ininitesimo di ordine superiore per 0. Perciò un ovvi pprossimzione per l ormul precedente srà: + = + '. 81

12 Q * 6 4 P, M ' Fig Approssimzione linere. Questo corrisponde prendere il vlore dell unzione in + sull tngente in invece ce sull unzione stess. 15. Dierenzili. Nell discussione precedente il termine ' giocto un ruolo molto importnte. A quest quntità viene dto di solito un nome. De Se è un unzione dierenzibile in si dice dierenzile di nel punto l unzione linere d = '. Notimo come d dipende strettmente dll scelt del punto e di, e possimo vedere nell igur sotto ce d misur l vrizione verticle sull tngente tr = ed = +. Di solito, invece di scrivere d si scrive semplicemente d ed nce viene indicto con il simbolo d per cui si : d = 'd. Possimo quindi rppresentre l derivt di un unzione con l scrittur : d = ' ce è più d vg dell precedente percè non indic il punto in cui v clcolt l derivt. 16. Derivte successive. Se l derivt ' di un unzione è ncor un unzione dierenzibile, l su derivt verrà dett derivt second di e srà indict con ". Anlogmente l derivt di " verrà dett derivt terz di e srà indict con ; così pure le derivte successive: IV, V etc. 17. Formule di Tylor e di Mc Lurin. Abbimo già visto l ormul ce ci permette di ottenere un vlore pprossimto di qundo se ne conosc il vlore in un punto e - = si suicientemente piccolo. Nel cso già visto bbimo usto un orm linere, m se vessimo usto un polinomio di grdo più elevto l'pprossimzione tr curv e polinomio srebbe stt molto migliore. Dt 8

13 un unzione sorge quindi il problem di determinre un polinomio ce pprossimi l unzione in un intorno I r, con un grdo di pprossimzione nostr scelt. Questo polinomio lo possimo trovre sotto certe condizioni e viene espresso dll ormul di Tylor. T Si un unzione continu e derivbile n volte in un intorno I r di mpiezz r di un punto. Detto un qulsisi ltro punto dello stesso intervllo risult ormul di Tylor: '' ''' n 3 n = + - ' +...! 3! n! n1 n1 n k n k n1 = n 1! k0 k! n 1! dove è un conveniente punto interno ll'intervllo,. Non dimostreremo questo teorem. Notimo ce ogni termine dell sommtori è ininitesimo di ordine superiore l precedente per tendente d, e ce per n il polinomio coincide con l unzione. Se poi l'intervllo I r contiene l'origine dell'sse delle scisse si può porre = 0 nell ormul di Tylor, per cui si ottiene un nuov espressione ormul di Mc Lurin: '' = 0 + '0 + ''' n n n 0 n1...! 3! n! n 1! n n1 Il termine Rn prende il nome di resto dell ormul di Tylor nell n 1! orm dtgli d Lgrnge e rppresent l'errore ce si commette prendendo l posto dell unzione il suo sviluppo in serie. Esso, in generle non è noto, m si può clcolre il suo mssimo. Per un grnde numero di unzioni R n si può rendere trscurbile prendendo n suicientemente grnde. Clcolimo d esempio il polinomio ce pprossim l unzione sin in un intorno dell'origine; le derivte successive di sin sono cos, - sin, - cos, sin,...ecc. Per = 0 vremo: 0, -1, 0, 1, 0, -1, ecc. Di conseguenz pplicndo l ormul di Mc Lurin trovimo: n1 n sin = ! 5! 7! n 1! In modo nlogo si trov lo sviluppo in serie di Mc Lurin per il coseno di : 4 6 n n cos = e così pure per l tngente.! 4! 6! n! Per l unzione sin, se voglimo ce l'errore ce si commette nell'intervllo -/4, +/4 si minore di 10-6 dovremo prendere n 7 poicé se ponimo = /4 trovimo R 5 = e R 7 = Regol di De L'Hospitl. Sino e g due unzioni derivbili in un intorno di mpiezz r del punto e tli ce = g = 0, mentre g 0 per tutti gli ltri punti di I r. Perciò il quoziente /g è deinito in tutti i punti di I r trnne stesso dove ssume l orm indetermint 0/0. 83

14 Sussiste in questo cso il teorem seguente regol di De L'Hospitl. T Se nel punto il quoziente /g ssume l orm indetermint 0/0, se in un ' intorno di g' 0 ed esiste inito il limite lim ' llor esiste nce il limite g ' del quoziente /g e i due limiti sono uguli: lim lim '. g g ' Dim. lim lim lim ponendo -= e dividendo g g g 0 g g g' numertore e denomintore per e pssndo l limite. Ad esempio lim sin lim cos Più in generle se ssumono orm indetermint in i quozienti n n1 n g, ' g',..., mentre lim n1 L llor g g n lim lim '... lim n L g g' g 1 cos sen cos 1 Ad esempio: lim lim lim Qunto detto vle nce se si consider il limite destro o il limite sinistro. L regol di Dell'Hospitl si estende nce l cso in cui e g tendono ll ininito e quindi il quoziente /g ssume l orm indetermint /, e continu vlere nce nel cso in cui si ininito. Ad esempio: 1 lim log / lim 0 cot 0 1 / sen 0 lim sen e e e 0; lim lim lim Se tende 0 e g tende ll ininito, prodotto ssume l orm indetermint 0. Siccome g però risult g = ci si riconduce d uno dei csi o 0/0 già visti. 1 / g 1 / Ad esempio: 1 lim log lim log lim Altre orme indeterminte sono 0, 1, 0 si ottengono dll potenz g. Poicè log e g ci si riconduce lle orme indeterminte 0, 0 già esminte. Ad esempio: 84

15 lim lim e 0 0 log e poicè 1 lim log lim / 1 / 0 llor lim e Anlogmente si procede per 0 1 lim1 + sin 1/ e lim log 1/

16 IX STUDIO DI FUNZIONI 1. Mssimi e minimi. Un problem ce si present molto spesso è quello dell determinmzione del mssimo e del minimo vlore ce un dt unzione ssume in un certe prte del suo dominio. De. 1.1.Si un unzione deinit su un insieme S. Se S llor si dice ce un mssimo in 0 se 0 per tutti gli S diversi d 0. Anlogmente si dice ce un unzione un minimo in 1 S se 1 per tutti gli S diversi d 1. Se un mssimo o un minimo in si dice ce un estremo in. Fig Punti di mssimo e minimo reltivi. E' possibile ce un unzione bbi più mssimi o minimi, come d esempio y = sin nell'intervllo -6,+6, m è nce possibile ce non ne bbi tto come y = 1/ nell'intervllo perto 0,; in 0,1 l unzione y = non nè mssimo nè minimo. T Teorem di Weierstrss. Si un unzione continu su di un intervllo ciuso [,b] llor un mssimo e un minimo in [,b]. Non dimostreremo questo teorem, m notimo ce le prole cive in esso sono continu e ciuso. Intti bbimo ppen dto un esempio di unzione continu in un insieme perto l qule non nè mssimo nè minimo. N.B. Un unzione deinit su di un intervllo perto può benissimo vere dei mssimi e dei minimi, nce se non è grntito ce li bbi. Così pure un unzione ce non si continu. In ltre prole, per grntire l'esistenz di un mssimo e di un minimo di un dt unzione in un intervllo, l condizione ce questo si ciuso e ce ess si continu è suiciente m non necessri. Andimo quindi ll ricerc del mssimo e del minimo di un unzione in un intervllo ciuso [,b]. Questi possono essere o negli estremi, oppure in punti in cui l unzione non è dierenzibile. Escludimo questi csi e supponimo ce bbi un mssimo ll'interno dell'intervllo [,b] e ce si dierenzibile in tutti i punti di,b. 86

17 Fig..9.- Mssimi e minimi ssoluti e reltivi. Se si un mssimo in 0 con < 0 < b ci spettimo ce l tngente l grico in 0, 0 si orizzontle e quindi ce ' 0 = 0. Questo tto è giustiicto dl seguente teorem: T. 1.. Si dierenzibile in un intervllo perto,b. Se un mssimo in un punto 0,b llor ' 0 = 0. Dim. Sppimo per ipotesi ce < 0 < b e ce 0 per tutti gli,b. L igur ci suggerisce l dimostrzione del teorem. Fig L derivt in un punto di mssimo. Se Q = 0 +, 0 + è ll destr di P = 0, 0 l pendenz sp,q dell rett PQ è negtiv o ugule zero. Se Q è ll sinistr di P, llor sp,q è positiv o ugule zero. L pendenz dell tngente è lim sp,q ce è mggiore o ugule 0 se QP d sinistr, e minore PQ o ugule zero se Q P d destr. Poicè l tngente è unic, se deve essere 0 e 0 contempornemente ess non può ce essere ugule zero. Per un dimostrzione rigoros notimo ce per deinizione ' lim Poicé è rbitrrio possimo prenderlo in modo ce 0 + b e se un mssimo in 0 srà 0 + < 0 per cui < 0. Di conseguenz il rpporto 0 0 srà 0 se è positivo, e 0 se è negtivo. Ne segue quindi ce nce ' 0 0 se è positivo e ' 0 0 se è negtivo, per cui concludimo ce ' 0 = 0. T Teorem di Rolle. Si un unzione continu in un intervllo ciuso [,b] e dierenzibile sull'intervllo perto,b. Se = b esiste un punto c dell'intervllo perto in cui 'c = 0. 87

18 Fig Le ipotesi del teorem di Rolle.. Dim. Se è un costnte llor ' = 0 per tutti gli,b. Se non è costnte vrà in [,b] un mssimo e un minimo. Se mssimo e minimo coincidessero, srebbe costnte, m bbimo già escluso quest eventulità, per cui o il mssimo è mggiore di oppure il minimo gli è ineriore. Nel primo cso il mssimo srà in un punto c,b per cui 'c = 0 nel secondo cso il minimo. T Teorem di Lgrnge o del vlor medio. Si un unzione c continu in un intervllo ciuso [,b] e dierenzibile sull'intervllo perto,b. Esiste llor un punto c dell'intervllo perto per cui b ' c b Dim. Si y = l l'equzione dell rett L congiungente i punti, e b,b. Deinimo or l unzione g = - l ce rppresent l distnz dell curv y= d L. Si può veriicre ce g = gb = 0. Inoltre g è dierenzibile in,b poicè lo è per ipotesi ed l è dierenzibile ovunque. Fig L tesi del teorem di Lgrnge. Quindi g soddis le condizioni del teorem di Rolle e perciò esiste un punto c,b in cui g'c = 0. Poicè g = - l = - m + d si g' = ' - m, e ponendo g'c = 0 si ottiene 'c - m = 0 e quindi c m b '. b C'è un'immedit ppliczione di questo teorem. Sppimo già ce se è un costnte l su derivt è ugule zero. T Si continu in un intervllo ciuso [,b] e dierenzibile sull'intervllo perto,b. Se ' = 0 per ogni,b llor è costnte su [,b]. 88

19 Dim. Dimostrimo ce per ogni [,b] si =, e cioè ssume lo stesso vlore in tutti i punti dell'intervllo. Prendimo un punto qulunque 1 [,b] =. Nell'intervllo ciuso [,] è continu e dierenzibile nell'intervllo perto, 1. Possimo quindi pplicre il teorem di Lgrnge per cui 1 -='c 1 - e poicè 'c = 0 vremo 1 =. Essendo un punto qulunque dell'intervllo,b possimo concludere ce è costnte. Cor Sino e g due unzioni continue su [,b] e dierenzibili su,b. Se ' = g' per ogni,b llor esiste un costnte k tle ce - g = k per ogni [,b]. In ltre prole, se due unzioni nno l stess derivt dieriscono per un costnte.. Studio di curve pine. Dt un unzione voglimo usre gli strumenti del clcolo per ottenere inormzioni sull'ndmento dell curv y =. Ad esempio voglimo trovre dove l curv è crescente o decrescente, dove ci sono mssimi, minimi, ecc.. Sppimo già ce cos signiic ce un unzione è crescente o decrescente. L crescenz di un unzione è legt ll su derivt: T..1. Si un unzione continu su di un intervllo ciuso [,b] e dierenzibile su,b; 1 Se ' > 0 per ogni,b llor è crescente su [,b]; Se ' < 0 " " " decrescente ". Dim. Per ipotesi si ' > 0 su,b e sino 1 e due punti di [,b]; srà continu su [ 1, ] e dierenzibile su 1,, quindi per il teorem di Lgrnge: - 1 = 'c - 1 con < c < 1. Poicè 'c >0 e > 1 'c - 1 > 0 e quindi > 1. Anlogmente si dimostr l. 3. Concvità e convessità. Considerimo l unziome deinit in un intervllo [,b] e derivbile in,b qunte volte si necessrio. Si 0,b e proponimoci di studire l'ndmento dell unzione in un intorno di 0, 0. A tle scopo considerimo l tngente ll curv nel punto 0, 0, ess srà y = ' 0. De Si dice ce il grico dell unzione rivolge l concvità verso l'lto se c'è un intervllo,b contenente tle ce in tutto,b il grico sti sopr l rett tngente l grico stesso in 0, 0, trnne ce nel punto di tngenz. Se in tutto,b il grico st tutto sopr l rett tngente trnne ce nel punto di tngenz, si dirà ce l unzione rivolge l concvità verso il bsso. Se comunque preso un intorno completo di 1 il grico st sempre prte sopr e prte sotto l tngente diremo ce è un punto di lesso. 89

20 Considerimo l unzione nel suo sviluppo in serie di Tylor nell'intorno del punto 0 dove è derivbile ininite volte: = ' 0 + n '' 0 ''' 0 n ! 3! n! e cimimo l dierenz tr unzione e rett tngente in n '' 0 ''' 0 n 0 = ! 3! n! Dl segno dell potremo vedere se l rivolge l concvità verso l'lto o verso il bsso. Per studire il segno di bst studire il primo termine diverso d zero percè i successivi sono ininitesimi di ordine superiore e quindi non in grdo di inluire sul segno del termine precedente. Se " 0 > 0 l concvità srà rivolt verso l'lto percè - 0 non cmbi segno l pssggio di d sinistr destr di 0. Se " 0 < 0 l concvità srà rivolt verso il bsso. Se ' 0 = 0 l tngente in 0 è orizzontle e quindi in 0 bbimo un estremo ce srà un punto di mssimo se l concvità è rivolt verso il bsso, " 0 < 0, o un punto di minimo se l concvità è rivolt verso l'lto, " 0 > 0. Se " 0 = 0 ed ''' 0 = 0 il primo termine di srà ''' ce cmbi segno l pssggio di d destr sinistr di 0. Quindi non esiste un intorno di 0 in cui l unzione sti tutt sopr o tutt sotto l rett tngente e prciò il punto 0 è un punto di lesso. Il lesso lo diremo crescente se ''' 0 > 0, decrescente se ''' 0 < 0. Se ' 0 = 0, " 0 = 0, e ''' 0 0 vremo un lesso orizzontle. Questo rgionmento si può ripetere nce qundo le prime k-1 derivte clcolte in 0 sono nulle. Se l k-esim derivt e cioè l prim divers d zero è di ordine pri, vremo in 0 un mssimo o un minimo; se è di ordine dispri vremo un punto di lesso. Fig Punti con derivt null. 90

21 4. Scem per lo studio di un unzione. Abbimo in qui sviluppto ed esminto dei mezzi di clcolo ce ci permettono di studire il comportmento del grico di un unzione. Per questo studio si segue di solito il seguente procedimento: Determinre il cmpo di deinizione dell unzione; b Clcolre i punti di intersezione con gli ssi coordinti; c Determinre il segno dell unzione ed eventuli simmetrie; d Determinre il comportmento dell unzione gli estremi del cmpo di deinizione, gli sintoti verticli, orizzontli ed obliqui; e Clcolre i mssimi, minimi e i punti di lesso; Trccire il grico dell unzione clcolndo eventulmente il suo vlore in qulce punto di prticolre interesse. 5. Esempi ed Esercizi Esempio. 1. Considerimo l unzione 1 = L unzione è deinit per qulunque vlore rele di. b = 0 per 1 = -1, = 3. c è negtiv per vlori di compresi nell intervllo -1, 3 e positiv ltrove. Non è simmetric d Essendo un unzione polinomile di ordine pri ess tende + per tendente poicè il coeiciente di grdo mssimo è positivo. e = - ; = L derivt prim si nnull per = 1dove l derivt second è positiv concvità rivolt verso l lto e quindi si un punto di minimo. Esempio.. Considerimo l unzione: = 3-4. L unzione è deinit per qulunque vlore rele di. b = 0 per 1 = 0, = -, 3 = +. c è positiv per vlori di compresi nell intervllo -,0 e,+. Poicè risult - = - l unzione present simmetri dispri. d Essendo un unzione polinomile di ordine dispri ess tende per tendente poicè il coeiciente di grdo mssimo è positivo. e = 3-4; = 6, = 6. L derivt prim si nnull in 1 = /3, è positiv per esterno ll intervllo delle due rdici unzione crescente e negtiv ll interno di detto intervllo decrescente. In 1 l derivt second è negtiv e quindi vremo un mssimo, in positiv. e quindi vremo un minimo percè l concvità è rivolt verso l lto. L derivt second si nnull nell origine dove si un punto di lesso crescente poicè l derivt terz è positiv. Clcolndo il vlore dell unzione nei punti di mssimo e minimo si trov 1 = -3.1 e rispettivmente = 3.1. Si può quindi trccire il grico dell unzione. 91

22 ,5-1,5-0,5 0,5 1,5, Esempio. 3. Considerimo l unzione: 3 = 3 4 Il cmpo di deinizione è tutto l sse rele trnne i pinti nei quli si nnull il denomintore: -4 = 0 e cioè 1 = - e = +. L unzione non present simmetrie evidenti ed il suo segno srà positivo qundo numertore e denmomintore srnno concordi, ltrimenti negtivo. Trovimo quindi le rdici del numertore ponendo: - -3 = 0 d cui si ricv: 1 = -1 e = +3; e del denomintore - 4=0 con 3 = - e 4 = +. Perciò l unzione srà positiv nell intervllo -,-; -1,+;3,+ e negtiv ltrove. Nei punti in cui si nnull il numertore l curv ttrvers l sse delòle scisse, nei punti in cui si nnull il denomintore l unzione non è deinit e tende ll ininito qundo tendervi di.. In prticolre: lim poicè l unzione è positiv per <- e per lo stesso motivo lim. Gli ltri estremi del cmpo si deinizione sono, quindi clcolimo i lim 1. Avremo quindi due sintoti orizzontli per =- e = ed un sintoto orizzontle di equzione y=1. Possimo già trccire un grico pprossimtivo dell unzione, m voglimo vedere se ci sono dei punti di mssimo, di minimo o di lesso. Per questo dobbimo clcolre le derivte prim e second per vedere se e in quli punti si nnullno y ' 4 4 Poicè il discriminnte del numertore = -7 è negtivo, l y non si nnull mi ed è sempre positiv per ciò l unzione srà sempre crescente L derivt second srà: y " 4 3 Se non è cile trovre per quli vlori di si nnull y, si vede cilmente ce =-1/ y >0 e per =-/3 y <0 dimodocè il lesso cde tr i due punti. Possimo quindi trccire il grico dell unzione clcolndone il vlore in qulce punto, come d esempio = 0 e = 3/4. 3 Esempio 4. Studire l unzione: 4 1 Il dominio dell unzione si estende d - + con 1 ce sono le rdici del denomintore. 9

23 L unzione present simmetri dispri essendo -=-. Ess è simmetric rispetto ll origine e quindi ci si potrebbe limitre studirl solo tr 0 e +. Il segno dell unzione srà positivo per >1 e per -1<<0, negtivo ltrove. Agli estremi del cmpo di deinizione bbimo: lim ; lim ; lim 1 1 Cercimo or di determinre un eventule sintoto obliquo di equzione generic y = m+q. 3 y m = lim lim q = lim[ y m] lim lim Perciò l rett y = è un sintoto obliquo. Esempio 5. Studire le unzioni: 5 1 Esempio 6. 6 = 5 Esempio 7. Studire le unzioni: 7 = e 5 Esempio 8 8 = ln 5 Esempio 9. Studire l unzione: 9 1 Esercizi: 3 Clcolre le derivte delle seguenti unzioni: 3 = b ln = 4 3 c Studire l unzione: