Materia: MATEMATICA Data: 5/04/2005

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1 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 L disequzione e' un disuguglinz che e' verifict per certi intervlli di vlori Ad esempio l disequzione x - 4 e' verifict per tutti i vlori dell x mggiori di 4, cioè se l posto dell x metto 5, 6, oppure 4,2 e' vero che il primo termine dell disuguglinz e' mggiore o ugule l secondo Risolvere un disequzione signific trovre gli intervlli dei vlori che sostituiti ll x rendono l disuguglinz ver In un disequzione possimo trovre solo i vlori mggiori oppure minori di qulcos oppure possimo trovre i vlori mggiori e uguli oppure minori e uguli. Occorre fre molt ttenzione e considerre sempre se devo o no prendere il vlore corrispondente ll'ugule Un disequzione si dice di primo grdo qundo l x vi compre potenz 1 Ad esempio: x - 4 3x +2 e' un disequzione di primo grdo Per risolvere l disequzione vlgono le stesse regole delle equzioni di primo grdo con un grossissim differenz Se moltiplico o divido per un numero negtivo devo cmbire di verso l disequzione Cmbimento di segno e verso nelle disequzioni Considerimo l rett rele: su di ess possimo sempre fissre un verso per cui i numeri destr sono sempre superiori i numeri sinistr. Considerimo or due numeri qulunque, d esempio 2 e 5 e l disuguglinz corrispondente 2 5 Se moltiplico per -1 ottengo i due vlori -2 e -5 che nell rett rele sono e l disuguglinz corrispondente e' -2-5 oppure in modo equivlente ( preferibilmente lungo l rett rele si cerc sempre di ndre d sinistr verso destr cioe' scrivo prim i vlori piu' piccoli poi il segno minore e infine i vlori piu' grndi) ªAN - Pgin 1 di 9 -

2 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Porto le x prim dell'ugule ed i numeri dopo l'ugule; chi slt l'ugule cmbi di segno. x - 3x clcolo -2x 6 Divido entrmbe i membri per -2 e contempornemente cmbio di verso l disequzione -2x Semplifico x - 3 Quindi l soluzione e' l'insieme delle x minori od uguli -3 Si puo' indicre nche nei seguenti modi: Oppure od nche x R / x - 3 (-, -3] Quest'ultimo metodo di solito e' il piu' usto (qundo nche il vlore terminle e' compreso vi si mette un tondino) Sistemi di disequzioni di primo grdo Un sistem di disequzioni e' un insieme di disequzioni che vlgono contempornemente. Il sistem si dice di primo grdo qundo le disequzioni che lo compongono sono di primo grdo Per risolvere un sistem bst risolvere le disequzioni che lo compongono poi considerre le soluzioni che vnno bene per tutte le disequzioni Ad esempio risolvimo: 2x x 3x Sposto i termini con x prim dell'ugule, quelli noti dopo l'ugule cmbindo di segno quelli che sltno l'ugule 2x - x x - 2 3x x 3 sommo l soluzione e' x x 3 3x 9 o meglio 4ªAN - Pgin 2 di 9 -

3 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Delt del polinomio mggiore di zero Voglio trovre il segno del polinomio di secondo grdo x 2 + bx + c Considero l'equzione ssocit x 2 + bx + c = Se il discriminnte dell'equzione e' mggiore di zero llor ho due soluzioni x 1 e x 2 reli e distinte e in questo cso posso utilizzre l decomposizione del trinomio x 2 + bx + c = ( x - x 1 )(x - x 2 ) Quindi bster' trovre il segno di ( x - x 1 )(x - x 2 ) Anzi, siccome e' mggiore di zero possimo limitrci ( x - x 1 )(x - x 2 ) Dobbimo trovre il segno di quest'espressione qundo d x ssegnimo un vlore sull rett rele Ho cerchito i vlori perche' in quei punti l'espressione vle zero Vi sono tre possibilit', l x si puo' trovre (prtendo d sinistr): Prim di x 1 tr x 1 ed x 2 Dopo x 2 dobbimo studire tutti e tre i csi l x si trov prim di x 1 in questo cso il fttore ( x - x 1 ) e' negtivo (perche' ho un numero piu' sinistr meno un numero piu' destr) m nche il fttore ( x - x 2 ) e' negtivo (perche' ho un numero piu' sinistr meno un numero piu' destr) quindi l'espressione ( x - x 1 )(x - x 2 ) essendo il prodotto di due fttori negtivi e' positiv l x si trov tr x 1 ed x 2 in questo cso il fttore ( x - x 1 ) e' positivo (perche' ho un numero piu' destr meno un numero piu' sinistr) mentre il fttore ( x - x 2 ) e' negtivo (perche' ho un numero piu' sinistr meno un numero piu' destr) quindi l'espressione ( x - x 1 )(x - x 2 ) essendo il prodotto di un positivo ed un negtivo e' negtiv L x si trov dopo x 2 4ªAN - Pgin 3 di 9 -

4 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 in questo cso il fttore ( x - x 1 ) e' positivo (perche' ho un numero piu' destr meno un numero piu' sinistr) m nche il fttore ( x - x 2 ) e' positivo (perche' ho un numero piu' destr meno un numero piu' sinistr) quindi l'espressione ( x - x 1 )(x - x 2 ) essendo il prodotto di due numeri positivi e' positiv Rccogliendo i risultti vremo: Cioe' se il delt e' mggiore di zero il trinomio e' positivo per vlori esterni ll'intervllo delle rdici ed e' negtivo per vlori interni x 2 + bx + c x 2 + bx + c ll'intervllo delle rdici vlori esterni ll'intervllo delle rdici vlori interni Delt del polinomio ugule zero Se il discriminnte dell'equzione e' ugule zero llor ho due soluzioni x 1 = x 2 reli e coincidenti e in questo cso l decomposizione del trinomio diventer' x 2 + bx + c = ( x - x 1 )(x - x 1 ) = ( x - x 1 ) 2 e il segno di un qudrto e' sempre positivo Quindi vremo: Se il delt e' ugule zero il trinomio e' positivo per tutti i vlori eccetto il vlore per cui si nnull Qundo il delt vle zero le soluzioni dell'equzione di secondo grdo vlgono -b/2 x 2 + bx + c x 2 + bx + c = tutti i vlori eccetto -b/2 per cui si nnull nessun vlore 4ªAN - Pgin 4 di 9 -

5 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Delt del polinomio minore di zero Se il discriminnte dell'equzione e' minore di zero llor non ho nessun soluzione quindi non posso fre riferimento d x 1 ed x 2 Allor per vedere il segno del trinomio x 2 + bx + c devo riferirmi qulcos'ltro: in mtemtic io so che un qudrto h sempre il segno positivo, quindi cerco di isolre prte del trinomio fcendol diventre un qudrto: come prim cos metto in evidenz fr i vri termini x 2 + bx + c = M se non c'e' in tutti i termini come si f metterl in evidenz? Per metterl in evidenz bst prim frl comprire moltiplicndo i termini senz per / (e' come moltiplicrli per 1) bx c = x = or posso mettere in evidenz l rccogliendo quell l numertore bx c = (x ) = or il primo termine entro prentesi e' qudrto, posso considerre il secondo come doppio prodotto. il termine d ggiungere (e togliere) perche' veng un qudrto e' b eseguo bx b 2 b 2 c = (x ) = Scrivo i primi tre termini come qudrto e negli ultimi due fccio il minimo comune multiplo b b 2-4c = [(x ) ] e quest e' un'espressione di cui conoscimo il segno, inftti: il qudrto e' positivo il termine sopr il segno di frzione b 2-4c corrisponde l Delt ed e' negtivo, quindi con il meno dvnti divent positivo il termine l denomintore 4 2 e' positivo perche' e' qudrto tutt l'espressione e' positiv quindi posso dire: Se il delt e' minore di zero il trinomio e' sempre positivo per tutti i vlori dell x x 2 + bx + c x 2 + bx + c sempre verificto per ogni vlore di x mi verificto 4ªAN - Pgin 5 di 9 -

6 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Prbol che intersec in due punti l'sse delle x E' equivlente l cso ove il delt del polinomio e' mggiore di zero (2 soluzioni reli = 2 punti sull'sse x) Distinguimo i due csi: Qundo e' minore di zero potremmo cmbire di segno tutti i termini del trinomio (cmbindo nche di verso l disequzione), m il metodo dell prbol e' tlmente semplice che di solito si preferisce pplicrlo senz cmbire di segno Se e' mggiore di zero l prbol h l concvit' verso l'lto quindi vremo che il trinomio e' positivo per vlori esterni ll'intervllo delle intersezioni ed e' negtivo per vlori interni x 2 + bx + c x 2 + bx + c vlori esterni ll'intervllo delle rdici vlori interni ll'intervllo delle rdici Se e' minore di zero l prbol h l concvit' verso il bsso quindi vremo che il trinomio e' positivo per vlori interni ll'intervllo delle intersezioni ed e' negtivo per vlori esterni x 2 + bx + c x 2 + bx + c vlori interni ll'intervllo delle rdici vlori esterni ll'intervllo delle rdici 4ªAN - Pgin 6 di 9 -

7 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Prbol tngente ll'sse delle x E' equivlente l cso ove il delt del polinomio e' ugule zero (2 soluzioni reli coincidenti = 2 punti coincidenti, cioe' un solo punto sull'sse x) Distinguimo i due csi: Se e' mggiore di zero l prbol h l concvit' verso l'lto quindi vremo che il trinomio e' positivo per tutti i vlori eccetto il vlore del vertice -b/2 per cui si nnull = x 2 + bx + c x 2 + bx + c tutti i vlori eccetto -b/2 per cui si nnull nessun vlore Se e' minore di zero l prbol h l concvit' verso il bsso quindi vremo che il trinomio e' negtivo per tutti i vlori eccetto il vlore del vertice -b/2 per cui si nnull = x 2 + bx + c x 2 + bx + c nessun vlore tutti i vlori eccetto -b/2 per cui si nnull 4ªAN - Pgin 7 di 9 -

8 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Prbol che non tocc l'sse delle x E' equivlente l cso ove il delt del polinomio e' minore di zero (nessun soluzione = nessun punto di intersezione) Distinguimo i due csi: Se e' mggiore di zero l prbol h l concvit' verso l'lto Siccome non tocc l'sse x llor tutti i suoi punti srnno sopr, quindi vremo che il trinomio e' positivo per tutti i vlori x 2 + bx + c x 2 + bx + c sempre verificto per ogni vlore di x mi verificto Se e' minore di zero l prbol h l concvit' verso il bsso Siccome non tocc l'sse x llor tutti i suoi punti srnno sotto, quindi vremo che il trinomio e' negtivo per tutti i vlori x 2 + bx + c x 2 + bx + c mi verificto sempre verificto per ogni vlore di x 4ªAN - Pgin 8 di 9 -

9 Mteri: MATEMATICA Dt: 5/4/25 Tbell di riepilogo con mggiore di zero Per risolvere un disequzione di secondo grdo devi considerre l'equzione ssocit ed pplicre l formul risolutiv: devi poi controllre il termine entro rdice se e' positivo (ed llor risolvendo trovi due vlori) nullo (ed llor trovi due vlori coincidenti) negtivo(ed llor non puoi risolvere) Poi segui lo schem: x 2 + bx + c x 2 + bx + c vlori esterni ll'intervllo delle rdici vlori interni ll'intervllo delle rdici = tutti i vlori eccetto -b/2 per cui si nnull sempre verificto per ogni vlore di x nessun vlore mi verificto Tbell di riepilogo con minore di zero Comunque per l soluzione dell'equzione ssocit si cmbi sempre di segno prim di pplicre l formul risolutiv. x 2 + bx + c x 2 + bx + c vlori interni ll'intervllo delle rdici vlori esterni ll'intervllo delle rdici = nessun vlore tutti i vlori eccetto -b/2 per cui si nnull mi verificto sempre verificto per ogni vlore di x 4ªAN - Pgin 9 di 9 -