Candidato: Matricola: Sede locale: Per la Commissione 1B 2B 3B Parte A Parte B Totale

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1 FACOLTÀ DI INGEGNERIA - CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA Esme di MATEMATICA B (IN TELECONFERENZA), TITOLARE: A. LANGUASCO) mrzo 00 (Secondo compitino,.. 001/00) Cndidto: Mtricol: Sede locle: Per l Commissione 1B B 3B Prte A Prte B Totle NOTA: Le risposte gli esercizi dell prte A vnno riportte nell tbell di sotto (ogni rispost giust vle, 5 punti, nessun rispost 0, ogni rispost sbglit 1) gli esercizi dell prte B vnno svolti, con le dovute giustificzioni, nel foglio di bell (ciscuno vle punti). TEMA 1 PARTE A: Test rispost multipl 1A) Si dt l conic 4x + y y = 0 in un riferimento ortonormle. Si dic qule delle seguenti ffermzioni è ver: A. Esiste un riferimento di coordinte ortonormli in cui l conic h equzione 4 = 1 4 B. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione = 4 C. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione 4 = Y. A) Si ψ : R 4 R 4 un trsformzione linere non digonlizzbile. Qule delle seguenti ffermzioni è ver? A. Esiste un bse di utovettori, m non tutte le bsi sono di utovettori B. L somm degli utospzi di ψ è dirett m non è R 4 C. Il polinomio crtteristico h quttro rdici reli distinte. 3A) Si ϕ : R 4 R 4 un trsformzione linere vente come nucleo e come immgine il sottospzio V = L{(1, 0, 0, 1), (0, 1,, 1)}. Qule delle seguenti proposizioni è fls? A. ϕ non h utovlori B. V è un utospzio C. ϕ non è digonlizzbile. 4A) Sino r : x + by + c = 0 e s : x + b y + c = 0 due rette del pino tli che b b = 0 e 0. L distnz tr di esse è ugule : c c A. + bb c c B. + b + bb C. ( + b ) + ( + b ) 5A) Si consideri in R 5 il sottospzio U = L{(1, 0,, 1, 0), (0, 1, 1,, 3)}. Qul è l proiezione ortogonle di (4,, 0,, 3) su U? A. (5, 3, 3, 1, 0) B. (3, 3, 1, 1, 0) C. (0, 3, 0, 0, 1). A). Qule delle seguenti ffermzioni è ver per ogni mtrice rele A, qudrt di ordine n e digonlizzbile? A. A è simmetric B. A h n utovlori distinti C. Il polinomio crtteristico ssocito d A si fttorizz in R nel prodotto di n polinomi di grdo uno A B C

2 TEMA 1 PARTE B: Esercizi (d svolgere sul foglio di bell copi motivndo degutmente le risposte) 1B) Nel pino crtesino sino dte l rett r : x y = 0 e l rett s : x + y = 0. Si determininino le equzioni delle circonferenze che sino contempornemente - tngenti r in (0, 0) - tngenti s. R. γ 1 = (x ) + (y 5 ) = 4 5 γ = (x 4 5 ) + (y + 5 ) = 4 5. B) Al vrire del prmetro rele λ, si determinino le equzioni cnoniche delle coniche (λ 3λ + )x + λy + y 9 = 0. (N.B. distinguere i csi degeneri di csi non degeneri) R. per λ = 1, 1, csi degeneri (sempre due rette reli) per λ = 0 prbol eq. cnonic: y = 1 3 x per λ (0, 1) (, + ) ellisse eq. cnonic: = 1 dove = λ(λ 3λ+) λ per λ (, 1) ( 1, 0) (1, ) iperbole eq. cnonic: - per λ (, 1): Y = 1 dove = e b = 3 λ+1 λ(λ 3λ+) λ - per λ ( 1, 0) (1, ): = 1 dove = λ λ 3λ+ λ. 3B) Si dt l mtrice A = i) Si determini, se esiste, un mtrice ortogonle H tle che H t AH è digonle ii) Si determini, se esiste, un mtrice non ortogonle K tle che K 1 AK è digonle. R. i) si esiste un tle H perchè A è simmetric e quindi è ortogonlmente digonlizzbile. H h come colonne un bse O.N. di R 3 formt d utovettori di A H = ii) Per qunto detto l punto i) A è digonlizzbile. È sufficiente considerre un mtrice K che h sulle colonne un bse di utovettori K =

3 FACOLTÀ DI INGEGNERIA - CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA Esme di MATEMATICA B (IN TELECONFERENZA), TITOLARE: A. LANGUASCO) mrzo 00 (Secondo compitino,.. 001/00) Cndidto: Mtricol: Sede locle: Per l Commissione 1B B 3B Prte A Prte B Totle NOTA: Le risposte gli esercizi dell prte A vnno riportte nell tbell di sotto (ogni rispost giust vle, 5 punti, nessun rispost 0, ogni rispost sbglit 1) gli esercizi dell prte B vnno svolti, con le dovute giustificzioni, nel foglio di bell (ciscuno vle punti). TEMA PARTE A: Test rispost multipl 1A) Sino r : x + by + c = 0 e s : x + b y + c = 0 due rette del pino tli che b b = 0 e 0. L distnz tr di esse è ugule : c c A. + b + bb B. ( + b ) + ( + b ) C. c c + bb. A) Si consideri in R 5 il sottospzio U = L{(1, 0,, 1, 0), (0, 1, 1,, 3)}. Qul è l proiezione ortogonle di (4,, 0,, 3) su U? A. (3, 3, 1, 1, 0) B. (5, 3, 3, 1, 0) C. (0, 3, 0, 0, 1). 3A) Si dt l conic x x + 4y = 0 in un riferimento ortonormle. Si dic qule delle seguenti ffermzioni è ver: A. Esiste un riferimento di coordinte ortonormli in cui l conic h equzione 4 = 1 4 B. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione = 4 C. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione 4 = Y. 4A) Si ψ : R 3 R 3 un trsformzione linere non digonlizzbile. Qule delle seguenti ffermzioni è ver? A. Esiste un bse di utovettori, m non tutte le bsi sono di utovettori B. Il polinomio crtteristico h tre rdici reli distinte C. L somm degli utospzi di ψ è dirett m non è R 3. 5A). Qule delle seguenti ffermzioni è ver per ogni mtrice rele A, qudrt di ordine k e digonlizzbile? A. A h k utovlori distinti B. Il polinomio crtteristico ssocito d A si fttorizz in R nel prodotto di k polinomi di grdo uno C. A è simmetric. A) Si ϕ : R 4 R 4 un trsformzione linere vente come nucleo e come immgine il sottospzio V = L{(1, 0, 0, 1), (0, 1,, 1)}. Qule delle seguenti proposizioni è ver? A. V non è un utospzio B. ϕ h utovlori C. ϕ è digonlizzbile A B C

4 TEMA PARTE B: Esercizi (d svolgere sul foglio di bell copi motivndo degutmente le risposte) 1B) Si dt l mtrice A = i) Si determini, se esiste, un mtrice ortogonle H tle che H t AH è digonle ii) Si determini, se esiste, un mtrice non ortogonle K tle che K 1 AK è digonle. R. i) si esiste un tle H perchè A è simmetric e quindi è ortogonlmente digonlizzbile. H h come colonne un bse O.N. di R 3 formt d utovettori di A H = ii) Per qunto detto l punto i) A è digonlizzbile. È sufficiente considerre un mtrice K che h sulle colonne un bse di utovettori K = B) Nel pino crtesino sino dte l rett r : 3x y = 0 e l rett s : x + 3y 1 = 0. Si determininino le equzioni delle circonferenze che sino contempornemente - tngenti r in (0, 0) - tngenti s. R. γ 1 = (x ) + (y 1 10 ) = 1 10 γ = (x 3 10 ) + (y ) = B) Al vrire del prmetro rele λ, si determinino le equzioni cnoniche delle coniche (λ 3λ + )x + λy + y 9 = 0. (N.B. distinguere i csi degeneri di csi non degeneri) R. per λ = 1, 1, csi degeneri (sempre due rette reli) per λ = 0 prbol eq. cnonic: y = 1 3 x per λ (0, 1) (, + ) ellisse eq. cnonic: = 1 dove = λ(λ 3λ+) λ per λ (, 1) ( 1, 0) (1, ) iperbole eq. cnonic: - per λ (, 1): Y = 1 dove = e b = 3 λ+1 λ(λ 3λ+) λ - per λ ( 1, 0) (1, ): = 1 dove = λ λ 3λ+ λ.

5 FACOLTÀ DI INGEGNERIA - CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA Esme di MATEMATICA B (IN TELECONFERENZA), TITOLARE: A. LANGUASCO) mrzo 00 (Secondo compitino,.. 001/00) Cndidto: Mtricol: Sede locle: Per l Commissione 1B B 3B Prte A Prte B Totle NOTA: Le risposte gli esercizi dell prte A vnno riportte nell tbell di sotto (ogni rispost giust vle, 5 punti, nessun rispost 0, ogni rispost sbglit 1) gli esercizi dell prte B vnno svolti, con le dovute giustificzioni, nel foglio di bell (ciscuno vle punti). TEMA 3 PARTE A: Test rispost multipl 1A) Si consideri in R 5 il sottospzio U = L{(1, 0,, 1, 0), (0, 1, 1,, 3)}. Qul è l proiezione ortogonle di (4,, 0,, 3) su U? A. (0, 3, 0, 0, 1) B. (3, 3, 1, 1, 0) C. (5, 3, 3, 1, 0). A) Sino r : x + by + c = 0 e s : x + b y + c = 0 due rette del pino tli che b b = 0 e 0. L distnz tr di esse è ugule : + bb A. ( + b ) + ( + b ) B. C. c c + bb c c + b. 3A) Si dt l conic x x + 3y = 0 in un riferimento ortonormle. Si dic qule delle seguenti ffermzioni è ver: A. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione = 3 B. Esiste un riferimento di coordinte ortonormli in cui l conic h equzione 3 = 1 3 C. Esiste un riferimento di coordinte in cui l conic h equzione 3 = Y. 4A). Qule delle seguenti ffermzioni è ver per ogni mtrice rele A, qudrt di ordine r e digonlizzbile? A. Il polinomio crtteristico ssocito d A si fttorizz in R nel prodotto di r polinomi di grdo uno B. A h r utovlori distinti C. A è simmetric. 5A) Si ϕ : R 4 R 4 un trsformzione linere vente come nucleo e come immgine il sottospzio V = L{(1, 0, 0, 1), (0, 1,, 1)}. Qule delle seguenti proposizioni è fls? A. V è un utospzio B. ϕ è digonlizzbile C. ϕ non h utovlori A) Si ψ : R 5 R 5 un trsformzione linere non digonlizzbile. Qule delle seguenti ffermzioni è ver? A. Esiste un bse di utovettori, m non tutte le bsi sono di utovettori B. L somm degli utospzi di ψ è dirett m non è R 5 C. Il polinomio crtteristico h cinque rdici reli distinte A B C

6 TEMA 3 PARTE B: Esercizi (d svolgere sul foglio di bell copi motivndo degutmente le risposte) 1B) Al vrire del prmetro rele λ, si determinino le equzioni cnoniche delle coniche (λ 3λ + )x + λy + y 9 = 0. (N.B. distinguere i csi degeneri di csi non degeneri) R. per λ = 1, 1, csi degeneri (sempre due rette reli) per λ = 0 prbol eq. cnonic: y = 1 3 x per λ (0, 1) (, + ) ellisse eq. cnonic: = 1 dove = λ(λ 3λ+) λ per λ (, 1) ( 1, 0) (1, ) iperbole eq. cnonic: - per λ (, 1): Y = 1 dove = e b = 3 λ+1 λ(λ 3λ+) λ - per λ ( 1, 0) (1, ): = 1 dove = λ λ 3λ+ λ. B) Si dt l mtrice A = i) Si determini, se esiste, un mtrice ortogonle H tle che H t AH è digonle ii) Si determini, se esiste, un mtrice non ortogonle K tle che K 1 AK è digonle. R. i) si esiste un tle H perchè A è simmetric e quindi è ortogonlmente digonlizzbile. H h come colonne un bse O.N. di R 3 formt d utovettori di A H = ii) Per qunto detto l punto i) A è digonlizzbile. È sufficiente considerre un mtrice K che h sulle colonne un bse di utovettori K = B) Nel pino crtesino sino dte l rett r : x + 3y = 0 e l rett s : 3x + y 1 = 0. Si determininino le equzioni delle circonferenze che sino contempornemente - tngenti r in (0, 0) - tngenti s. R. γ 1 = (x 1 10 ) + (y ) = 1 10 γ = (x ) + (y 3 10 ) = 1 10.